如何理解「總體」「樣本」並進行相關「推斷」和「檢驗」？

前言

• 本文從「總體、樣本」入手，目的在於根據樣本推斷總體的情況；
• 本文涉及不同容量的樣本推斷總體的不同方法；
• 閱讀本文大約需要10分鐘，大神請繞道。如有錯誤，歡迎指正。

一，總體與樣本

• 總體：是我們要研究對象的總和，多數情況是未知的；
• 樣本：是從總體中隨機選取的，用於代表總體的個體集。

注意:

1. 總體是我們要研究的所有對象，我們不知道且不可能確切的知道，況且很多時候一味的追求總體數量也沒有實際意義；
2. 樣本是隨機抽取，不能完全代表總體，只是用於研究總體的一小部分數據集，樣本可以有無數個。而且，樣本本身也可看成是隨機變數，關於總體特徵的隨機變數。

下面根據python中的random包和randint函數，展示總體與樣本。

import randoma=random.randint(0,9)a8# 模擬抽獎過程for i in range(1,11): userID=random.randint(1,395) i=str(i) userID=str(userID) print(第%s位獲獎者的ID是:%s%(i,userID))第1位獲獎者的ID是:182第2位獲獎者的ID是:137第3位獲獎者的ID是:191第4位獲獎者的ID是:263第5位獲獎者的ID是:335第6位獲獎者的ID是:233第7位獲獎者的ID是:132第8位獲獎者的ID是:91第9位獲獎者的ID是:88第10位獲獎者的ID是:188import numpy as npimport pandas as pddf=pd.DataFrame(np.arange(5*4).reshape((5,4)))df

0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 4 5 6 7

2 8 9 10 11

3 12 13 14 15

4 16 17 18 19

# 隨機選取一個n行的子集：注意是n行，子集一定包含所有的列sample1=df.sample(3)sample1

2 8 9 10 11

3 12 13 14 15

4 16 17 18 19

如上，padas的sample可直接抽取樣本，省去了很多自己出樣的麻煩。

二，大樣本與小樣本

如上，樣本容量極大的影響了樣本推斷總體的準確度，則：

1. 當樣本容量n大於30時，屬於大樣本，此時樣本推斷總體，用「中心極限定理」
2. 當樣本容量n小於30時，屬於小樣本，此時樣本推斷總體，用t分布

下面逐步闡述大、小樣本如何推斷總體特徵。

三，大樣本：中心極限定理

定理結論

「隨機變數之和的分布函數向正態分布收斂。「

凡是在一定條件下斷定隨機變數之和的極限分布是正態分布的定理，在概率論中被統稱為「中心極限定理」。

理解

該定理的著眼點是「變數之和的分布」，一個變數服從正態分布的並不多，但多個變數之和的分布服從於正態分布則是普遍存在的。

例如均值，我們知道均值就是多個變數值之和的變換形式，是變數之和的平均值，故樣本均值也是服從正態分布的。

中心極限定理揭示了大部分社會經濟現象表現為正態分布的原因，正是中心極限定理讓正態分布有了如此廣闊的應用。在考慮隨機因素總和的極限分布時，只要那些因素對總體的影響均勻的小，同時又是獨立的，總和達到一定數量，則可認為其服從正態分布。

中心極限定理解讀

1. 樣本均值約等於總體平均值；
2. 不管總體是什麼分布，任意一個總體的樣本均值總會圍繞在總體均值左右，呈現正態分布

如何應用？

如上可知，我們不知道總體的數量和均值，有了中心極限定理我們就可以通過一個抽樣得到的樣本，來推斷總體的特徵，這為我們研究總體的特性指明了一條路。

具體標準作業流程如下：

1. 直接抽取樣本，其容量為n，最好大於30
2. 求出均值和標準差s
3. 根據標準差s，求出標準誤差SE＝
4. 根據置信水平，如95%，查Z表，求出標準分
5. 均值加減標準分個標準誤差，即得出置信區間的上線限

正態分布表如下：

至此我們會得出一個可信度為95%的區間，也就是說總體均值有95%的可能性落在這個區間里。這樣我們僅通過一個樣本的分析，就得到了不可能知曉的總體的均值的一個範圍。

需要注意的是，大樣本的估計本質上是，根據中心極限定理應用正態分布，求Z值，來計算置信區間。

四，小樣本：t分布估計

當n小於30時，可用t分布來估計，其方法與大樣本的方法類似：

1. 確定要求解的問題；
2. 求樣本的平均值和標準差，進而求出標準誤差SE＝$s/ sqrt n$，其中s表示樣本標準差，n表示樣本數量；
3. 根據置信水平，也就是要求的精度，如95%，查t表格。需要注意的是，查t表格的方法與查正態分布的z表格不同，應根據自由度df＝n-1對應的置信水平查找對應的t值；
4. 得到t值後，則置信區間的上下限為樣本均值加減t值個標準誤差。

t表格如下：

至此，我們僅用一個數量小於30的小樣本，就推斷出總體均值的一個可能性為95%的區間。

1. 總體方差已知：隨機抽樣來自正態分布的總體，且方差已知，則樣本平均數的分布也為正態分布，可以把觀測值轉化成標準正態分布，用Z值分布表來查詢從總體中取特定值的概率；
2. 總體方差未知：t分布也是正態分布的一種，從正態總體中抽取隨機樣本，若總體方差未知，則樣本平均數為t分布。t分布是更高狹的正態分布，當n趨向於無限大時，t分布會越來越接近正態分布，；

我們總結一下求置信區間的4個步驟：

求置信區間的4個步驟

1. 確定要求解的問題；
2. 求樣本的平均值和標準誤差，注意：標準誤差SE＝$s/ sqrt n$，其中s表示樣本標準差，n表示樣本數量
3. 確定置信水平，如95%；
4. 求置信區間的上下限值：

根據置信水平求出顯著性水平，如2.5%；根據2.5%，查表，查0.025對應的標準分；上下限等於均值加減標準分個標準誤差

如上，無論是大、小樣本均可應用上述標準流程往裡套。區別只是在於大小樣本查表、求標準分的過程略有不同：

1. 大樣本：查正態分布的z表；
2. 小樣本：查t分布表，其中應注意自由度的演算法為n-1

五，自由度

t分布中涉及的自由度，其定義為：

1. 自由度是指在不影響給定限制條件的情況下，可以自由變換信息的數量；
2. 自由度可看做，估算其他信息時可有的獨立信息數量。

如何理解t分布的自由度為n-1？

自由度表示估算其他信息時可有的獨立信息數量，舉個例子，若一個樣本容量為4的樣本，我們已經知道來其均值為5，則在選擇這4個樣本元素的時候，我們可以自由選擇幾個元素呢？答案是3個，因為前3個我們可以自由選，但最後一個由於已知了均值，則其值已經定了，就不能自由選了。也就是說，4次機會，在我們已知均值的時候，已經用掉了一次，只能有4-1次了。

推廣開來看，

• 推斷樣本的時候，由於已知了樣本均值，則自由度為n－1；
• 而推斷總體時，由於我們對總體情況不知，故自由度為n。

這就說明了：

• 我們知道的越多，已知條件就越多，相應的自由度越小；
• 對於總體，我們不知道的信息多，約束條件少，自由度就大。

六，樣本方差和標準差

• 樣本方差和標準差的分布為卡方分布，方便多組比較；卡方分布也是正偏態分布，所得值也為正，而且卡方分布具有可加性，n個隨機變數平方的分布就是卡方分布。
• F分布是正偏態分布，分布曲線隨著分子分母自由度的增加而逐漸趨向於正態分布，F值總是正值，因為F是組間方差和組內方差的比率，當分子自由度為1(也就是只有兩組樣本作比較)，當分母自由度為任意值（也就是組內數據個數不限）時，F值與分母自由度相同概率的t值平方相等；也就是兩樣本方差之比服從F分布。 F分布是兩個或者多個樣本方差之比的分布，通過比較組間差異和所有樣本間差異來判斷組間差異是否顯著，如顯著則說明試驗干預發揮了作用，所以F值要大於1才有意義，越大差異月顯著。

七，小結

• 本文主要是闡述大小樣本及對應的置信區間、水平的求解方法；
• 既然是抽樣獲取樣本，必然會有誤差。誤差思維有助於我們更好的理解這些問題，並且生活中的一些標題黨，大多是沒有統計基礎和誤差思維導致的；
• 假設檢驗和區間估計，本質上是互逆命題，其實並不複雜；
• 樣本均值推斷總體均值，用t分布和正態分布；樣本方差推斷總體方差，用卡方分布和F分布。只是還需要多家練習；
• 檢驗指標，除了顯著性水平，還有一個更重要的指標就是p值。p值表示對原假設的支持程度，p值越大則越應支持原假設。

以上就是本文的全部，我自己也有不知道的餓地方，等我慢慢補全了自己的知識體系後再逐漸豐滿本文吧，謝謝。

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