橢圓曲線——克羅內克青春之夢

04-30

我們來考慮定義在複數域 $mathbb{C}$ 上的橢圓曲線 $E|mathbb{C}$ ，我們對它有兩種看法，一種是代數的，另一種是解析的。

一、代數觀點

橢圓曲線 $E|mathbb{C}$ 是由方程：

$y^2=x^3+ax+bquad (a,binmathbb{C})$

給出的一條光滑曲線。我們先從代數的角度來研究它，也就是說，我們不去解這個方程，而是利用一些代數的操作來研究這個方程所具有的性質。首要問題是橢圓曲線的分類問題：什麼是橢圓曲線之間的同構？如何判斷兩條橢圓曲線是否同構？

這裡橢圓曲線之間的態射就是多項式映射，特別地，

$y^2=x^3+ax+b, y^2=x^3+ax+b$

之間的同構為Weierstrass 坐標變換：

$left{ egin{array}{ll} x=u^2x\ y=u^3y end{array} ight.$

（註：此時需要 $left{ egin{array}{ll} a=u^4a\ b=u^6b end{array} ight.$ ）

容易發現，在同構映射下，有不變數

$j(E)=1728cdotfrac{4a^3}{4a^3+27b^2}$

反過來，如果 $j(E)=j(E)$ ，那麼就有 $Econg E$ 。

也就是說， $j$ -不變數完全分類了橢圓曲線的同構關係：

$j(E)=j(E) Longleftrightarrow Econg E$

代數幾何提供了一種系統地研究多項式方程解集性質的代數方法，利用代數幾何的理論，橢圓曲線將被發現具有更多的代數性質，例如：在橢圓曲線上可以自然地定義群結構，並且橢圓曲線之間的多項式映射自動地成為群同態。利用代數幾何來抽象地來定義橢圓曲線，就是虧格為 $1$ 的光滑一維射影代數曲線。

二、解析觀點

人們發現利用複平面上的雙周期亞純函數可以給出橢圓曲線的方程的通解。具體來說，對於複平面 $mathbb{C}$ 上的一個格子 $Lambda=mathbb{Z}omega_1oplusmathbb{Z}omega_2$ ，定義Weierstrass函數：

$wp(z;Lambda)=frac{1}{z^2}+sum_{substack{omegainLambda\omega eq0}}(frac{1}{(z-omega)^2}-frac{1}{omega^2})$

這是一個以 $omega_1,omega_2$ 為周期的、僅在格點上有二階極點的、偶的亞純函數。其導函數：

$wp(z;Lambda)=-2sum_{omegainLambda}frac{1}{(z-omega)^3}$

是以 $omega_1,omega_2$ 為周期的、僅在格點上有三階極點的、奇的亞純函數。它們各自的展開式直接蘊涵了關係：

$wp(z)^2=4wp(z)^3-g_2(Lambda)wp(z)-g_3(Lambda)$

這與橢圓曲線的定義式如出一轍。實際上我們有格子與橢圓曲線的一一對應：

定理（Uniformization Theorem）：任一條定義在 $mathbb{C}$ 上的橢圓曲線 $E: y^2=x^3+ax+bquad (a,binmathbb{C})$ 都一一對應著一個複平面 $mathbb{C}$ 上的格子 $Lambda$ ，使得

$Phi: mathbb{C}/Lambdalongrightarrow E \ zlongmapsto (wp(z),wp(z))$

是復李群同構。

也就是說從解析的角度，橢圓曲線 $Econgmathbb{C}/Lambda$ 。

於是橢圓曲線之間的態射就一一對應於 $mathbb{C}/Lambda$ 這些復環面之間的全純映射：

其中 $alpha$ 是一個複數，使得 $alphaLambda_1subseteqLambda_2$ ，這是復乘：

$operatorname{Hom}(Lambda_1,Lambda_2)={alphainmathbb{C} | alphaLambda_1subseteqLambda_2}$

三、理想作用在格子上

給定 $mathbb{C}$ 中的虛二次數域 $K$ ，記 $mathcal{O}_K$ 是它的整數環。

我們知道， $K$ 中的分式理想 $mathfrak{a}$ 也是一個格子，並且它還可以通過理想的乘法作用在以 $mathcal{O}_K$ 為自同態環（ $operatorname{End}(Lambda)=mathcal{O}_K$ ）的格子 $Lambda$ 上：

$Lambdalongmapstomathfrak{a}^{-1}Lambda$

這其實通過解析同構 $Econgmathbb{C}/Lambda$ ，成為理想對橢圓曲線的作用：

$Elongmapstomathfrak{a}*E=mathbb{C}/mathfrak{a}^{-1}Lambda$

四、Galois群作用在橢圓曲線上

對於 $sigmainoperatorname{Gal}(overline{mathbb{Q}}|mathbb{Q})$ ，定義 $E^sigma$ 是以 $sigma(j(E))$ 為 $j$ -不變數的橢圓曲線，也即 $j(E^sigma)=sigma(j(E))$ 。這定義了Galois群對橢圓曲線的同構類的作用：

$Elongmapsto E^sigma$

五、解析-代數對應

我們已經從解析和代數兩種角度分別得到了

理想類群對橢圓曲線的作用；
Galois群對橢圓曲線的作用。

自然要問他們之間的關係是什麼，一個理想把一條橢圓曲線映到另一條，那麼是哪個域自同構也是把這條橢圓曲線映到那一條的呢？

他們之間的聯繫是：Artin互反律

引理（Class Field Theory）： $K$ 是數域， $H$ 是 $K$ 的極大非分歧擴張，那麼有 $K$ 的理想類群與Galois群之間的典範同構：

$operatorname{Art}_{H|K}: mathcal{CL}(mathcal{O}_K)stackrel{sim}{longrightarrow}operatorname{Gal}(H|K) \ mathfrak{a}longmapsto (mathfrak{a},H|K)$

定理： $K$ 是 $mathbb{C}$ 中的虛二次數域， $E|mathbb{C}$ 是一條以 $mathcal{O}_K$ 為自同態環的橢圓曲線，那麼

$H=K(j(E))$

就是 $K$ 的極大非分歧擴張，並且若理想 $mathfrak{a}$ 把 $E$ 映到另一條橢圓曲線，那麼域自同構 $(mathfrak{a},H|K)$ 就把 $E$ 映到同一條橢圓曲線，也即

$j(E)^{(mathfrak{a},H|K)}=j(mathfrak{a}*E)$

這件事情十分精彩，它用類域論把橢圓曲線的代數觀點和解析觀點串聯起來，實現了多個數學分支的緊密聯繫！

六、克羅內克青春之夢

類域論總結了數域的abelian擴張和類群之間的關係，對於有理數域 $mathbb{Q}$ 的極大abelian擴張，我們有具體的刻畫：

$mathbb{Q}^{ extrm{ab}}=mathbb{Q}(zeta_{n} | ngeq 1)$

也就是說， $mathbb{Q}$ 的極大abelian擴張是由 $mathbb{Q}$ 添加指數函數的一些特殊值，或者說是添加了 $mathbb{C}^ imes$ 的torsion點 $zeta_n (ngeq1)$ 得到的。

一般來說，我們關心一般數域 $K$ 的極大abelian擴張是否可以通過添加特殊的生成元得到，並且類群和類域的具體對應是什麼。

特別地，對虛二次數域 $K$ ，猜想 $K$ 的極大abelian擴張是由 $K$ 添加橢圓函數的一些特殊值，或者說是添加了 $E$ 的torsion點得到的，這被稱為克羅內克青春之夢（Kroneckers Jugendtraum）。而用上面的解析-代數對應可以輕鬆地證明它。我們僅僅引述它的表述：

定理（Kroneckers Jugendtraum）： $K$ 是 $mathbb{C}$ 中的虛二次數域， $E|mathbb{C}$ 是一條以 $mathcal{O}_K$ 為自同態環的橢圓曲線， $H$ 是 $K$ 的極大非分歧擴張。設 $E$ 定義在 $H$ 上， $h:E omathbb{P}^1$ 是 $x$ -坐標Weber函數，那麼對 $K$ 的任一整理想 $mathfrak{c}$ ，記 $E[mathfrak{c}]$ 為 $E$ 的 $mathfrak{c}$ -torsion點集，那麼

$K_{mathfrak{c}}=K(j(E),h(E[mathfrak{c}]))$

就是 $K$ 模 $mathfrak{c}$ 的束類域。

七、參考文獻

Silverman, Joseph H.(1-BRN) The arithmetic of elliptic curves. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer, Dordrecht, 2009. xx+513 pp. ISBN: 978-0-387-09493-9 11-02 (11G05 11G20 14H52 14K15)
Silverman, Joseph H.(1-BRN) Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves. (English summary) Graduate Texts in Mathematics, 151. Springer-Verlag, New York, 1994. xiv+525 pp. ISBN: 0-387-94328-5 11G05 (11G07 11G15 11G40 14H52)
Lang, Serge(1-YALE) Algebraic number theory. (English summary) Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 110. Springer-Verlag, New York, 1994. xiv+357 pp. ISBN: 0-387-94225-4 11Rxx (11-01 11-02)

關於代數數論的基礎知識可以參看我學長寫的

陸zz：代數數論：總集篇?

zhuanlan.zhihu.com

關於橢圓曲線的詳細知識可以參看我學長寫的

陸zz：橢圓曲線的一些基礎性質?

zhuanlan.zhihu.com

這篇文章是科普向的，意在讓初學代數數論或橢圓曲線的同學看到二者之間的聯繫，所以文中的表述大都不嚴謹，其目的還是希望大家體會大方向的想法而不是具體的技術細節，但也請大家原諒。