深入淺出基於物理的渲染二

04-30

高光BRDF模型公式推導

這裡讓我們來看看BRDF公式, 並講解一下，除了DFG函數之外其他係數是如何來的: $f(p,omega_o,omega_i)=frac{D(omega_h)G(omega_o,omega_i)F(omega_o)}{4cos heta_ocos heta_i}$

針對方向 $omega_i$ 和 $omega_o$ ，考察方向為half vector $omega_h$ 的微表面的入射微分輻射通量 $dPhi_h$ . 根據輻射亮度定義可知：

$dPhi_h=L_i(omega_i)domega_i dA^ot(omega_h)=L_i(omega_i)domega_i cos heta_hdA(omega_h)$

其中 $dA(omega_h)$ 是法線為 $omega_h$ 的微表面微分面積， $dA^ot(omega_h)$ 為 $dA(omega_h)$ 在入射光方向 $omega_i$ 上的投影微分面積。

針對方向為 $omega_h$ 的微表面微分面積如下:

$dA(omega_h)=D(omega_h)domega_hdA$ 代入此公式，可得：

$dPhi_h=L_i(omega_i)domega_icos heta_hD(omega_h)domega_hdA$

微表面根據菲涅爾定理反射光線，出射通量如下： $dPhi_o=F(omega_o)dPhi_h$

根據輻射亮度定義，出射的輻射亮度為：

$L(omega_o)=frac{dPhi_o}{domega_ocos heta_odA}$

$=frac{F(omega_o)dPhi_h}{domega_ocos heta_odA}$

$=frac{F(omega_o)L_i(omega_i)domega_icos heta_hD(omega_h)domega_h}{domega_ocos heta_o}$ ( $frac{dw_o}{dw_h}=4cos heta_h$ 見下面證明)

$=frac{F(omega_o)L_i(omega_i)D(omega_h)domega_i}{4cos heta_o}$

由BRDF定義可得:

$f(p,omega_o,omega_i)=frac{L_o(omega_o)}{dE_i(omega_i)}$

$=frac{F(omega_o)L_i(omega_i)D(omega_h)domega_i}{4L_i(omega_i)domega_icos heta_icos heta_o}$

$=frac{F(omega_o)D(omega_h)}{4cos heta_icos heta_o}$

模型還要包括了一個幾何衰減項，它描述了被遮擋或處於陰影下的微平面的比例。它可以跟Fresnel項一樣被放入到推導之中。於是整個的公式模型就是：

$f(p,omega_o,omega_i)=frac{D(omega_h)G(omega_o,omega_i)F(omega_o)}{4cos heta_ocos heta_i}$

如下圖[4]，考慮面向 $omega_o$ 的球面坐標系立體角 $domega_i$ 和 $domega_h$ 分別是 $sin heta_id heta_idphi$ 和 $sin heta_hd heta_hdphi$ 並且 $heta_i=2 heta_h$ 所以:

$frac{dw_i}{dw_h}=frac{sin heta_id heta_idphi}{sin heta_hd heta_hdphi}=frac{sin2 heta_h2d heta_h}{sin heta_hd heta_h}=4cos heta_h$

下面換一種證明方法[5]：假設 $h_r$ 為法線方向(0,0,1), 將 $domega_o$ 沿著i方向整體平移，並保持 $domega_o$ 不變（球坐標系整個移動過去）

由half vector定義可知： $ar{h}_r=i+o$ 且 $h_r$ 與i和o等角。 $domega_o$ 與o垂直， $domega_0$ 投影到垂直矢量 $h_r$ 方向為 $domega_ocos heta_i$ 。由上圖可知，投影立體角與立體角 $domega_h$ （與h垂直）關係是:

$frac{domega_h}{domega_ocos heta_i}=(frac{h_r}{i+o})^2Rightarrow frac{dw_h}{dw_o}=frac{ocdot h}{left| i+o ight|^2}$ (注意立體角是面積，所以要取平方)

按照圖等腰三角形ioh，可得 $ocdot h=frac{left| o + i ight|}{2}$ ,所以:

${domega_h}=frac{domega_o}{4(ocdot h)}Rightarrowfrac{domega_o}{domega_h}=4cos heta_h$

精確光源(Punctual Light Sources)

經典計算機圖形學中光源有point, directional和spot，由於它們無限小且無限明亮，它們在物理上是不現實的，但它們在許多情況下確實產生了合理的結果並且在計算上非常方便。這些光源都可以抽象成「精確光源」的概念，不考慮從光源到表面之間的衰減。精確光源可以用光源顏色 $c_{light}$ 和光源方向矢量 $l_c$ 兩個參數表示。為了方便藝術家， $c_{light}$ 並不是對光源強度的直接輻射測量，而是定義為：白色的Lambert（ $c_{diff}=1$ ）表面被平行於表面法線（ $l_c=n$ )的光照亮的顏色

精確光源的主要優點是它們極大地簡化了反射方程 $L_o(v)=int_Omega f(l,v)otimes L_i(l)(ncdot l)domega_i$

在這裡，我們定義一個小的以 $l_c$ 天頂角為 $varepsilon$ 的面光源，微面光源照亮表面上一個點的入射輻射亮度為 $L_{tiny}(l)$ . 該方程有兩個屬性[6]

$forall l|angle(l,l_c) > varepsilon$ , $L_{tiny}(l)=0$

如果 $lc=n$ , $c_{light}=frac{c_{white}}{pi}int_Omega L_{tiny}(ncdot l)domega_i$

第一個屬性表示如果給定入射方向 $l$ ，並且 $l$ 和 $l_c$ 的夾角大於 $varepsilon$ ，那麼亮度為0，換句話說，光源不會在其角度 $varepsilon$ 範圍外產生任何光線。第二個性質是從 $c_{light}$ 的定義而來，通過反射方程和漫反射方程 $f_{lambert}(l,v)=frac{c_{diff}}{pi}$ (並設置 $c_{diff}=1$ ).當 $varepsilon$ 趨於0時:

$lc=n$ , $c_{light}=lim_{varepsilon ightarrow 0}left({frac{1}{pi}int_Omega L_{tiny}(ncdot l)domega_i} ight)$

由於 $lc=n$ 並且 $varepsilon=0$ ,我們可以認為 $(ncdot l)=1$ ,可以得到:

$c_{light}=lim_{varepsilon ightarrow 0}left({frac{1}{pi}int_Omega L_{tiny}domega_i} ight)$

請注意，該等式與 $l_c$ 入射方向無關，所以對於任何精確光源方向都是如此，不只是 $l_c=n$ 。簡單的重排將極限值的積分分離出來：

$lim_{varepsilon ightarrow 0}left({int_Omega L_{tiny}domega_i} ight)=pi c_{light}$

現在我們可以把得到的微面光源等式帶入BRDF( $l$ 方向任意)中，並觀察當 $varepsilon$ 趨近於0時，極限的行為, 注意這個公式的 $n$ 是被照亮表面上點的法線。

$L_o(v)=int_Omega f(l,v)otimes L_{tiny}(l)(ncdot l)domega_i$

$=f(l,v)otimeslim_{varepsilon ightarrow 0}{int_{Omega}L_{tiny}(l)domega_i}(ncdot l)$ （因為 $varepsilon ightarrow0$ ,可提出沒有變化的項）

$=pi f(l,v)otimes c_{light}(ncdot l)$

對比與原始的積分反射方程，對於精確光源，我們可以用簡單直接的計算方法代替積分來計算BRDF。注意這裡產生了新的係數 $pi$ ，這也是為什麼最終Shader中經常見不到 $pi$ 這個係數的原因，漫反射直接消除了，高光反射則中從D項消除了這個係數，這樣讓美術比較容易調節，當然也有引擎沒有消除這個係數的，比如UE。

能量守恆

當你使用漫反射和鏡面反射的能量守恆模型時，很容易確定組合模型也必須是節能的。只需要確保漫反射和高光反射的顏色總和不能超過1：

$k_d+k_sleq1$

如果是高光流pbr, 漫反射和高光都有貼圖，需要美術自己加去平衡。

如果是金屬流pbr. 只輸入一張albedo貼圖，可通過金屬度來計算高光顏色:

specColor = lerp(0.04, albedo, metallic);

diffuseColor = albedo * lerp(1-0.04, 0, metallic);

0.04是一般非金屬電解質最常見的反射係數。

整合渲染方程 $L_o(p,omega_o)=L_e(p, omega_o)+int_{Omega}f(p,omega_o,omega_i) L_i(p,omega_i)cos heta_idomega_i$

帶入漫反射和高光反射公式後，我們可以得到如下方程：

$L_o(p,omega_o)=L_e(p, omega_o)+int_{Omega}left( frac{k_d}{pi}+k_sfrac{DFG}{4(ncdotomega_o)(ncdotomega_i)} ight) L_i(p,omega_i)(ncdotomega_i)domega_i$

其中 $L_e$ 是自發光輻射亮度， $L_i$ 是入射輻射亮度， $L_o$ 是出射光輻射亮度， $omega_i$ 是入射方向， $omega_o$ 是出射方向， $n$ 是法線方向， $p$ 表示所在點， $k_d$ 和 $k_s$ 是能量守恆係數。

現在選擇下面的公式來實現GGX Shader

$D_{GGX}(h)=frac{a^2}{pi ((ncdot h)^2(a^2-1)+1)^2}$

$V_{GGX}(l,v,h)=frac{0.5}{(ncdot l)*((ncdot v)*(1-a)+a)+((ncdot v))*((ncdot l)*(1-a)+a)}$ $F_{Schlick}(F_{0}, l, h) = F_{0}+(1-F_{0})(1-vcdot h)^{5}$

以下Shader代碼基於Unity cg格式

Shader "topameng/LightingGGX" { Properties { _Color ("Color", Color) = (1,1,1,1) _MainTex ("Albedo (RGB)", 2D) = "white" {} _BumpMap ("Normalmap", 2D) = "bump" {} [Gamma]_Metallic ("Metallic", Range(0,1)) = 0.0 _RoughRange("Roughness range", Vector) = (1,1,1,1) _BRDFLut("BRDF Lut", 2D) = "white" {} } SubShader { Tags { "RenderType"="Opaque" } LOD 200 CGPROGRAM #pragma target 3.0 #include "UnityPBSLighting.cginc" #pragma surface surf GGX fullforwardshadows exclude_path:deferred struct Input { float2 uv_MainTex; float2 uv_BumpMap; }; sampler2D _MainTex; sampler2D _BumpMap; sampler2D _BRDFLut; half4 _Color; half _Metallic; half4 _RoughRange; UNITY_INSTANCING_CBUFFER_START(Props) UNITY_INSTANCING_CBUFFER_END struct SurfaceOutputGGX { half3 Albedo; half3 Specular; half3 Normal; half3 Emission; half Smoothness; half Occlusion; half Alpha; }; // [Schlick 1994, "An Inexpensive BRDF Model for Physically-Based Rendering"] inline half3 F_Schlick(half3 f0, half vh) { half fc = pow(1 - vh, 5); // 1 sub, 3 mul return fc + (1 - fc) * f0; // 1 add, 3 mad } // GGX / Trowbridge-Reitz // [Walter et al. 2007, "Microfacet models for refraction through rough surfaces"] inline half D_GGX(half roughness, half nh) { half a = roughness * roughness; half a2 = a * a; half d = (nh * a2 - nh) * nh + 1.00001h; // 2 mad return a2 / (d * d + 1e-7); // 4 mul, 1 rcp } // Appoximation of joint Smith term for GGX // [Heitz 2014, "Understanding the Masking-Shadowing Function in Microfacet-Based BRDFs"] inline half Vis_SmithJointApprox(half roughness, half nv, half nl) { half a = roughness * roughness; half smithV = nl * ( nv * ( 1 - a ) + a ); half smithL = nv * ( nl * ( 1 - a ) + a ); return 0.5 / (smithV + smithL + 1e-5f); } inline half4 LightingGGX(SurfaceOutputGGX s, half3 viewDir, UnityGI gi) { half3 normal = normalize(s.Normal); half roughness = 1 - s.Smoothness; half3 specColor = s.Specular; half3 lightDir = gi.light.dir; half3 halfDir = normalize(lightDir + viewDir); half nv = saturate(dot(normal, viewDir)); half nl = saturate(dot(normal, lightDir)); half nh = saturate(dot(normal, halfDir)); half lh = saturate(dot(lightDir, halfDir)); half2 AB = tex2D(_BRDFLut, float2(nv, roughness)).xy; half3 F0 = specColor * AB.x + AB.y; //D half D = D_GGX(roughness, nh); half V = Vis_SmithJointApprox(roughness, nv, nl); half3 F = F_Schlick(specColor, lh); half3 specular = D * V * F; half3 color = (s.Albedo + specular) * _LightColor0.rgb * nl + s.Albedo * gi.indirect.diffuse + gi.indirect.specular * F0; return half4(color, 1); } inline void LightingGGX_GI (SurfaceOutputGGX s, UnityGIInput data, inout UnityGI gi) { UNITY_GI(gi, s, data); } void surf (Input IN, inout SurfaceOutputGGX o) { half4 albedo = tex2D (_MainTex, IN.uv_MainTex) * _Color; half3 normal = UnpackNormal(tex2D(_BumpMap, IN.uv_BumpMap)); half3 specColor = lerp(unity_ColorSpaceDielectricSpec.rgb, albedo, _Metallic); half oneMinusReflectivity = (1 - _Metallic) * unity_ColorSpaceDielectricSpec.a; half roughness = lerp(_RoughRange.x, _RoughRange.y, albedo.a); o.Albedo = albedo * oneMinusReflectivity; o.Specular = specColor; o.Normal = normal; o.Smoothness = 1 - roughness; o.Alpha = 1; o.Occlusion = 1; } ENDCG } FallBack "Diffuse"}

注:上面僅為示意代碼，不代表可以工程應用。

代碼沒有涉及到IBL部分，關於IBL的計算和擬合會在新的章節里進行

LightingGGX_GI 函數是Unity Surface Shader中負責設置UnityGI 變數的函數，也就是在LightingGGX函數參數中的UnityGI gi， UnityGI定義的結構如下

struct UnityLight{ half3 color; //光源顏色 half3 dir; //光源方向};struct UnityIndirect{ half3 diffuse; //低頻漫反射信息 half3 specular; //高頻高光信息};struct UnityGI{ UnityLight light; //直接光源信息 UnityIndirect indirect; //間接光源信息};

LightingGGX_GI 主要為gi.indirect 賦值，UnityIndirect 中的diffuse 由球諧SH函數以及lightmap（如果改物件被烘培）提供， specular 通過反射探針Reflection Probe對應的cubemap查詢獲取，包括mipmap選取等，將在IBL章節展開。

對於Phong我們選擇下面的公式來組合Shader

$D_{Blinn}(h)=frac{1}{pialpha^2}(rcdot l)^{(frac{2}{alpha^2}-2)}$

$V_{Kelemen}(l,v,h)=frac{1}{4(lcdot h)^2}$

$F_{Schlick}(F_{0}, l, h) = F_{0}+(1-F_{0})(1-vcdot h)^{5}$

這裡補充下，UE Mobile環境使用的D項，對歸一化Blinn-Phong做了球形高斯近似

$D_{Blinn}(h)=frac{1}{pialpha^2}(ncdot h)^{(frac{2}{alpha^2}-2)}approx=frac{1}{pialpha^2}(rcdot l)^{(frac{2}{alpha^2}-2)}$

$r=2(ncdot v)n-v$

按球形高斯近似公式 $x^{n}approx e^{(n+0.775)(x-1)}$ 和對數換底公式 $log_{a}^{e} = frac{1}{log_{e}^{a}}=frac{1}{lna}$

可得：

$2^{frac{x}{ln2}}= (2^{frac{1}{ln2}})^x=(2^{log_{2}^{e}})^{x} =e^x$

$x^{n}approx e^{(n+0.775)(x-1)}=2^{frac{(n+0.775)(x-1)}{ln2}}$

$(rcdot l)^{frac{1}{2a^{2}}-frac{1}{2}}=e^{(frac{1}{2a^2}+0.275)(rcdot l-1)}$

$=2^{(frac{(frac{1}{2a^2}+0.275)rcdot l - (frac{1}{2a^2}+0.275)}{ln2}}=2 ^{(frac{0.72134752}{a^2}+0.39674113)rcdot l-frac{0.72134752}{a^2}+0.39674113)}$

對於現代GPU作用不大，主要對於PS3,XBOX360是個優化

Shader "topameng/LightingPhong" { Properties { _Color ("Color", Color) = (1,1,1,1) _MainTex ("Albedo (RGB)", 2D) = "white" {} _BumpMap ("Normalmap", 2D) = "bump" {} [Gamma]_Metallic ("Metallic", Range(0,1)) = 0.0 _RoughRange("Roughness range", Vector) = (1,1,1,1) _BRDFLut("BRDF Lut", 2D) = "white" {} } SubShader { Tags { "RenderType"="Opaque" } LOD 200 CGPROGRAM #pragma target 3.0 #include "UnityPBSLighting.cginc" #pragma surface surf Phong fullforwardshadows exclude_path:deferred struct Input { float2 uv_MainTex; float2 uv_BumpMap; float3 worldViewDir; }; sampler2D _MainTex; sampler2D _BumpMap; sampler2D _BRDFLut; half4 _Color; half _Metallic; half4 _RoughRange; UNITY_INSTANCING_CBUFFER_START(Props) UNITY_INSTANCING_CBUFFER_END struct SurfaceOutputPhong { half3 Albedo; half3 Specular; half3 Normal; half3 Emission; half3 ViewDir; half Smoothness; half Occlusion; half Alpha; }; // [Schlick 1994, "An Inexpensive BRDF Model for Physically-Based Rendering"] inline half3 F_Schlick(half3 f0, half vh) { half fc = pow(1 - vh, 5); // 1 sub, 3 mul return fc + (1 - fc) * f0; // 1 add, 3 mad } half PhongApprox(half roughness, half rl) { half a = roughness * roughness; // 1 mul //!! Ronin Hack? a = max(a, 0.012); // avoid underflow in FP16, next sqr should be bigger than 6.1e-5 half a2 = a * a; // 1 mul half rcp_a2 = 1/a2; // 1 rcp //half rcp_a2 = exp2( -6.88886882 * Roughness + 6.88886882 ); // Spherical Gaussian approximation: pow( x, n ) ~= exp( (n + 0.775) * (x - 1) ) // Phong: n = 0.5 / a2 - 0.5 // 0.5 / ln(2), 0.275 / ln(2) half c = 0.72134752 * rcp_a2 + 0.39674113; // 1 mad half p = rcp_a2 * exp2(c * rl - c); // 2 mad, 1 exp2, 1 mul // Total 7 instr return min(p, rcp_a2); // Avoid overflow/underflow on Mali GPUs } inline half4 LightingPhong(SurfaceOutputPhong s, half3 viewDir, UnityGI gi) { half3 normal = normalize(s.Normal); half roughness = 1 - s.Smoothness; half3 specColor = s.Specular; half3 lightDir = gi.light.dir; half3 halfDir = normalize(lightDir + viewDir); half nv = saturate(dot(normal, viewDir)); half nl = saturate(dot(normal, lightDir)); half lh = saturate(dot(lightDir, halfDir)); half2 AB = tex2D(_BRDFLut, float2(nv, roughness)).xy; half3 F0 = specColor * AB.x + AB.y; half3 r = reflect(-s.ViewDir, normal); half rl = saturate(dot(r, lightDir)); //D half D = PhongApprox(roughness, rl); half V = 0.25 / (lh * lh); half3 F = F_Schlick(specColor, lh); half3 specular = D * V * F; half3 color = (s.Albedo + specular) * _LightColor0.rgb * nl + s.Albedo * gi.indirect.diffuse + gi.indirect.specular * F0; return half4(color, 1); } inline void LightingPhong_GI (SurfaceOutputPhong s, UnityGIInput data, inout UnityGI gi) { UNITY_GI(gi, s, data); } void surf (Input IN, inout SurfaceOutputPhong o) { half4 albedo = tex2D (_MainTex, IN.uv_MainTex) * _Color; half3 normal = UnpackNormal(tex2D(_BumpMap, IN.uv_BumpMap)); half3 specColor = lerp(unity_ColorSpaceDielectricSpec.rgb, albedo, _Metallic); half oneMinusReflectivity = (1 - _Metallic) * unity_ColorSpaceDielectricSpec.a; half roughness = lerp(_RoughRange.x, _RoughRange.y, albedo.a); o.Albedo = albedo * oneMinusReflectivity; o.Specular = specColor; o.Normal = normal; o.Smoothness = 1 - roughness; o.Alpha = 1; o.Occlusion = 1; o.ViewDir = IN.worldViewDir; } ENDCG } FallBack "Diffuse"}

注:上面僅為示意測試代碼，不代表可以工程應用。

PhongApprox 取自UE Mobile Shader[7]。計算過程見上一章。這裡添加了V和F項，實際上UE中的Shader完全省略掉了V和F，這樣就可以省掉更多的計算指令，比如不需要halfDir, 不需要lh等。其實也可以認為UE, V項對應 $G_{implect}=(ncdot l)(ncdot v)$ , F 簡單取SpecularColor。

在Unity Shader里也有一個簡化VF的操作，把VF合併為[8] : $VF = frac{specColor}{(lh*lh)*(roughness^2+0.5)}$

對應Shader輸入參數如下，記得Unity需要切換為線性空間渲染：

BRDF Lut 貼圖可以參考基於物理的環境光渲染一自己生成，或直接取用

下圖是一個鋼鐵金屬球效果對比

如果只看高光信息，對比如下：

通過對比可以看出GGX的高光有更柔和的衰減。

不過UE mobile的pbr實現的早一些。而Unity pbr在u5才開始實現，前面也是phong版本，直到後面才變成首選GGX演算法，並且到Unity5.3.2 IBL項才包含surfaceReduction並且穩定下來。

內容可能會不斷修改，謝絕轉載。

參考文獻:

[0]TomasAkenine-M?ller, Real-Time Rendering

[1]Eric Heitz 2014, "Understanding the Masking-Shadowing Function in Microfacet-Based BRDFs"

[2]Brian Karis, Specular BRDF Reference

[3]Trent, Physically Based Shading and Image Based Lighting

[4]Matt Pharr, Physically Based Rendering From Theory to Implementation

[5]Bruce Walter等, Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces

[6]Naty Hoffman, Physically-Based Shading Models in Film and Game Production

[7] Brian Karis, 移動平台上基於物理的著色

[8]Renaldas Zioma, Optimizing PBR for Mobile