電磁波-平面波解麥克斯韋方程組

04-30

先看電磁學理論的麥克斯韋方程組（Maxwell equations）兩種形式

積分形式：

$ext{(1-1)} quad oint_{partial V} mathbf{E} cdot dmathbf{a} = frac{Q_V}{epsilon_0},$

$ext{(1-2)} quad oint_{partial S} mathbf{E} cdot dmathbf{l} = -frac{d}{dt} int_{S} mathbf{B} cdot dmathbf{a},$

$ext{(1-3)} quad oint_{partial V} mathbf{B} cdot dmathbf{a} = 0,$

$ext{(1-4)} quad oint_{partial S} mathbf{B} cdot dmathbf{l} = mu_0 I_S + mu_0 epsilon_0 frac{d}{dt} int_{S} mathbf{E} cdot dmathbf{a}.$

微分形式：

$ext{(2-1)} quad abla cdot mathbf{E} = frac{ ho}{epsilon_0},$

$ext{(2-2)} quad abla imes mathbf{E} = -frac{partial}{partial t} mathbf{B},$

$ext{(2-3)} quad abla cdot mathbf{B} = 0,$

$ext{(2-4)} quad abla imes mathbf{B} = mu_0 mathbf{J} + mu_0 epsilon_0 frac{partial}{partial t} mathbf{E}.$

當用來描述電磁波在真空中傳播時，麥克斯韋方程組的微分形式變成了：

$ext{(1)} quad abla cdot mathbf{E} = 0,$

$ext{(2)} quad abla imes mathbf{E} = -frac{partial}{partial t} mathbf{B}$

$ext{(3)} quad abla cdot mathbf{B} = 0,$

$ext{(4)} quad abla imes mathbf{B} = mu_0 epsilon_0 frac{partial}{partial t} mathbf{E}.$

推導 $abla imes( abla imes mathbf{E} )= abla imes(-frac{partial}{partial t} mathbf{B})=-frac{partial}{partial t} ( abla imes mathbf{B} )=-frac{partial}{partial t} (mu_0 epsilon_0 frac{partial}{partial t} mathbf{E} )=-mu_0 epsilon_0 frac{partial^2}{partial t^2} mathbf{E}$

同理 $abla imes( abla imes mathbf{B} )= abla imes(mu_0 epsilon_0frac{partial}{partial t} mathbf{E})=mu_0 epsilon_0frac{partial}{partial t} ( abla imes mathbf{E} )=mu_0 epsilon_0frac{partial}{partial t} (- frac{partial}{partial t} mathbf{B} )=-mu_0 epsilon_0 frac{partial^2}{partial t^2} mathbf{B}$

根據 $abla imes( abla imes mathbf{E} )= abla cdot( abla cdotmathbf{E} )- abla ^2mathbf{E}$

$abla imes( abla imes mathbf{B} )= abla cdot( abla cdotmathbf{B} )- abla ^2mathbf{B}$

而在真空中有

$abla cdot mathbf{E} = 0$

$abla cdot mathbf{B} = 0$

最終得到真空中的電磁波：

$abla^2 mathbf{E} = mu_0 epsilon_0 frac{partial^2 mathbf{E}}{partial t^2}$

$abla^2 mathbf{B} = mu_0 epsilon_0 frac{partial^2 mathbf{B}}{partial t^2}$

得到電磁波傳播的速度：

$c = frac{1}{sqrt{mu_0 epsilon_0}}$

現在假設一列偏振電磁波沿著z軸方向傳播，電場沿著x軸方向振蕩，磁場沿著y軸方向振蕩

$mathbf{E}_x=mathbf{E}_0cos(omega t-kz){hat{x}}$

$mathbf{E}_y=0$

$mathbf{E}_z=0$

$frac{ abla^2 mathbf{E} }{partial t^2}= mu_0 epsilon_0 frac{partial^2 mathbf{E}}{partial z^2}$

根據矢量場旋度公式，

$abla imes mathbf{E} = left( frac{partial E_z}{partial y} - frac{partial E_y}{partial z} ight) mathbf{hat{x}} + left( frac{partial E_x}{partial z} - frac{partial E_z}{partial x} ight) mathbf{hat{y}} + left( frac{partial E_y}{partial x} - frac{partial E_x}{partial y} ight) mathbf{hat{z}}.$