Kunen. Set Theory 第一版第二章無窮組合（三上）

很抱歉耽誤了這麼久才開始整理第三節，在這段時間裡我主要是在整理布爾代數的一些基礎知識。

包佳齊：關於布爾代數的一些筆記（一），包佳齊：關於布爾代數的一些筆記（二）

這倆出不來，這篇也出不來啊。

這一節是關於馬丁公理的幾個等價形式，我們在上一節也已經提到過其中的一些，但並沒有展開，而這就是這一節的內容。由於突如其來的字數限制，這一部分分成上下兩部分。

第三節 馬丁公理的等價形式

我們將要陳述的幾個等價形式中的第一個，在將來證明 的獨立性時比較有用，即我們只需要考慮大小小於 的偏序的情形即可。其它的等價形式則是考慮到某些理論興趣，並且在理解力迫和布爾值模型之間的關係上有著重要的作用。

引理3.1 等價於限制在大小 的偏序集上的 。

證明：某個方向是顯然的，我們證明反方向。假設我們有了限制形式，我們任取 為 c.c.c. 的任意偏序集，取 為 的 的稠密子集族，我們要想方設法把 壓縮成某個 的 且和 十分相似。具體來說， ，且滿足：

(1) ；

(2) 對任意 ， 在 中稠密；

(3) 對任意 ， 與 在 中相容當且僅當它們在 中相容。

由於這些都可以用公式來表達，做模型論的人會很快看出這可以用下行的 LST（L?wenheim-Skolem-Tarski theorem） 定理直接證明。我們這裡則給出一個直接的證明，不過理論上這是用了某種形式的 LST 定理，這種方法也同樣可以用來證明 LST 定理。

對任意 ，令 使得 ，令 使得 。根據選擇公理，這些函數都是合理的。

現在我們令 使得 在 以及 下封閉，且 。我們可以做到這一點是由於之前在本書第一章中證過的一個定理，我們可以在這裡再清晰地陳述一遍。

我們先找到任意的 使得 ，我們取它在 和 下的像，設為 ，再取它在 和 下的像，設為 ，我們這樣一直取下去，即取 為 在 和 下的像。令 ，則 在 以及 下封閉，且 ，滿足條件。

所以現在我們有了這個 ，我們驗證它就是我們正在找尋的那個 ，即它滿足 (1),、(2)、(3)。但這是由於 的定義顯然的。

由於有了 (3)，我們知道 也是 c.c.c. 的，於是，在 上應用 的限制形式，令 是濾且與所有的 相交，我們把 擴充到 的濾 ，這樣就能得證了。我們令 ，這就是我們要的濾。得證。

接下來，我們證明定理2.22 的結論蘊涵 ，在定理2.22 中，我們證明了假設 ，則緊緻 c.c.c. 的豪斯道夫空間中， 個開集的交非空。我們當時也提到了他們其實是等價的，現在就來證明這個結論。

提供直接的證明是可行的，不過我們給出一個通過布爾代數的證明。這樣更能夠揭示 與布爾代數（之後是力迫與布爾代數）的關係。（我假設閱讀這篇文章的你已經了解了比較基本的布爾代數知識，否則的話，文章頂部有關於布爾代數的文章的鏈接可作參考。）

定理3.2 對任意 ， 與 在完備布爾代數上的限制形式。

我們首先澄清一下定義。假設 是一個完備布爾代數。我們稱它是 c.c.c. 的，當且僅當 作為偏序集是 c.c.c. 的，濾就是布爾代數上的濾，稠密也是。 在完備布爾代數上的限制形式就是說：對任意 c.c.c. 的完備布爾代數，以及其上 的稠密子集族 ，存在一個 上的濾滿足它與任意 相交。

為了更好地處理上面的定理，以及揭示偏序集和布爾代數的關係，我們需要以下引理：

引理3.3 令 是一偏序集，則存在一個完備布爾代數 以及 ，滿足：

(1) 在 中稠密；

(2) ；

(3) 。

我們稱 為 的完備化。通常來說，我們希望的這個 應該要具有某些良好的性質，比如它是單的，且 ，但一般不會達到這個條件。例如我們令 中任意元素相容，那麼理論上唯一（在同構的意義下，事實上任何完備化在同構意義下唯一，參見習題18）的 是 ，且對任意 ， 。

回憶起布爾代數完備化的內容，是採用了類似戴德金的方法，而我們現在也試圖用類似的方法來證明這個。首先注意到對任意拓撲空間，其上都有一個自然的布爾代數結構。

令 是一拓撲空間，我們定義正則開代數， ，它其中的元素為 的所有正則開集 （ 是正則開集當且僅當 ，即它閉包的內部是自身），其上布爾代數偏序為 當且僅當 ，布爾代數運算如下： ； ； 。容易驗證，對任意集合 ， ，所以 為正則開集，定義合理。（我們可以證明 是包含 的最小正則開集，這樣它顯然是一個格代數。）

下面驗證它是完備布爾代數（如已知，可略過）。

交換律顯然，結合律只需證加法，首先 ，由於我們有 ，所以

，

所以

，由此結合律成立。（事實上結合律由它是格代數的事實是顯然的。）

下證分配律。只需證 ，另一個分配律是由並與交的分配律顯然的。 是開集，所以它 ；另一方面， ，故分配律成立。

吸收律以及補足律顯然，所以現在只需驗證它完備。注意到對任意 ，它有上確界 以及下確界 ，所以 完備。

下面我們在偏序集 上構造一個拓撲空間，以完成對引理3.3 的證明。（這與我們在布爾代數的完備化的證明是類似的。）

引理3.3 的證明：對任意 ，令 ，則 構成一組拓樸基，這是因為首先 ，其次， ，這意味著若 非空，那麼對任意 ， 。顯然 是包含 的最小開集。

我們仍舊用 來代指上述拓撲空間，則 是它的正則開布爾代數。令 ，我們證明它滿足條件。(2) 顯然。(1) 是因為對任意正則開集 ，令 ，那麼 ，故 ，即 。對(3)，若 ，那麼 ，即 ，反之，若 ，即 ，由於 開，那麼 ，於是 ，對 採用同方法，我們得到 。得證。

引理3.2 的證明：一個方向是顯然的（「 」），證「 」：我們假設 在布爾代數上的限制形式成立，考慮基數 的 c.c.c. 的偏序集 （只需證明這個，根據定理3.1 我們就能得到結論），令 為其上基數為 的稠密子集族。令 是 的完備化， 是見證。首先， 是 c.c.c. 的，這是因為若 是不可數反鏈，那麼根據 (1)，令 ，則由 (3) 互不相容，與 是 c.c.c. 矛盾。其次，對任意 ， 在 下稠密，這是因為對任意 ，由 (1) 存在 ， ，而又由 稠密，存在 滿足 。於是我們運用 在布爾代數上的限制形式，可以找到一個 中的濾 ，使得 與任意 相交非空。令 ，則 與任意 相交非空。我們現在觀察 是否是 的濾。

由 (2)， ，但是 這一條並不一定成立。所以我們考慮 ，我們現在證明它是稠密的，對任意 ，若它有擴張與 或 不相容，則成立，否則特殊地不妨設 與 相容，令 ，若 與 不相容，那麼成立，否則令 ，那麼 。

令 ，顯然，由於 ， ，那麼仍然如上面所構造，令 ， 與所有 相交。

由 是濾以及 (3)， 中元素兩兩相容，故若 ，令 ， 與 相容，所以 。於是 是與 中所有元素相交的濾。得證。

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