範疇論學習筆記16：函子範疇、範疇的等價

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第 22-23 章。

圏論勉強１６：関手圏

函子範疇/関手圏（functor category）

定義102

從 $mathscr{C}$ 到 $mathscr{D}$ 的函子範疇，記為 $[mathscr{C,D}]$ ，是以所有的協變函子 $F:mathscr{C o D}$ 為對象，以函子之間的自然變換為箭頭的範疇。

逆變函子組成的範疇記為 $[mathscr{C^{op} o D}]$ 。

離散範疇 $ar{2}$ 只有兩個對象： $ullet$ 和 $star$ ，以及它們各自的恆等箭頭（此前筆記中我一直將identity arrow 翻譯成「單位箭頭」，現改譯為恆等箭頭） $1_ullet, 1_star$ 。函子範疇 $[ar{2},mathscr{C}]$ 的數據是什麼呢？

它的對象是函子 $F:ar{2} o mathscr{C}$ ，和一對 $mathscr{C}$ 對象 $(X,Y)$ 之間存在雙射；平行函子 $F,F$ 之間的自然變換就是它的箭頭，就是任何一對 $mathscr{C}$ 箭頭 $(j:X o X,k:Y o Y)$ 。因此，該函子箭頭本質上就是積範疇 $mathscr{C imes C}$ ，或更嚴格地說，和這個積範疇是同構的。

回憶初等數學裡， $x^2 = x imes x$ 。

定理108

函子範疇 $[mathscr{C,D}]$ 中的同構就是自然變換 $psi:FRightarrow G$ ，其中 $mathscr{C}Rightarrow_{G}^{F}mathscr{D}$ 。

從函子範疇構建的 hom-函子

定義103

我們用 $Nat(F,G)$ 來指代從 $F$ 到 $G$ 的自然變換的集合，如果這樣的自然變換存在的話。

定義104

我們用 $Nat(-,G)$ 來指代逆變 hom-函子 $[mathscr{C,D}](-,G):[mathscr{C,D}] o sf Set$ ；用 $Nat(F,-)$ 來指代同變 hom-函子 $[mathscr{C,D}](F,-)$ 。

賦值和對角函子

定義105

函子 $ev_A:[mathscr{C,D}] omathscr{D}$ 將函子 $F:mathscr{C o D}$ 映射到 $FA$ 上，將自然變換 $alpha :FRightarrow G$ 映射到 $alpha_A:FA o GA$ 上。

回顧函子（F10）：

設 $mathscr{C,D}$ 為非空範疇， $D$ 是任意 $mathscr{D}$ 對象。那麼存在一個對應的「坍塌至 $D$ 」的常函子 $Delta_D:mathscr{C o D}$ ，將所有的 $mathscr{C}$ 對象都映射到 $D$ ，將所有的 $mathscr{C}$ 箭頭都映射到 $1_D$ 。

定義106

函子 $Delta_ extsf{J}:mathscr{C} o[ extsf{J},mathscr{C}]$ 將一個對象 $C$ 映射到函子 $Delta_C: extsf{J} o mathscr{C}$ 上，將箭頭 $f:C o C$ 映射到從 $Delta_C$ 到 $Delta_C$ 的自然變換上，自然變換的每一個構件又都是 $f$ 。

參考 F10 的定義，將上面的左圖加以歸約，就可以得到右圖。所以我們可以確信上述自然變換的每一個構件也都是 $f$ 。
逗號範疇 $(Delta_ extsf{J}downarrow D)$ 正是 $D$ 上的錐範疇。於是，我們可認為 $D$ 上的一個錐就是逗號範疇 $(Delta_ extsf{J}downarrow D)$ 中的一個對象，而一個極限錐就是這個範疇里的終對象。

作為自然變換的椎體

讓我們關注一個小範疇 $extbf{J}$ 。考慮函子 $[ extbf{J},mathscr{C}]$ ，其對象為「作為函子的範疇圖」 $D: extbf{J} o mathscr{C}$ ，其箭頭為這些函子之間的自然變換。

$[ extbf{J},mathscr{C}]$ 中一種特殊的對象是諸如 $Delta_C: extbf{J} o mathscr{C}$ 的常函子，即將所有的 $extbf{J}$ 對象都映射到 $C$ ，將每一個 $extbf{J}$ 箭頭都映射到 $1_C$ 的函子範疇圖。

那麼從 $Delta_C$ 到另一個函子範疇圖 $D$ 的自然變換是什麼呢？這個自然變換就是一組用 $Jin extbf{J}$ 做指數（index）的 $extbf{J}$ 箭頭 $alpha_J:Delta_C(J) o D(J)$ ，也就是箭頭 $alpha_J:C o D(J)$ ，使得對於每一個 $extbf{J}$ 中的 $d:K o L$ ，下面的正方形在 $mathscr{C}$ 中都是可交換的，相應的三角形也是（平凡）可交換的。

這個三角形就是 $C$ 加上 $alpha_J$ 構成的一個在 $D$ 上的椎體（的一個側面）。反之，椎體也構成了自然變換 $alpha:Delta_CRightarrow D$ 。

定理109

在 $D: extbf{J} o mathscr{C}$ 上的一個以 $C$ 為頂點（vertex）的椎體包含 $C$ 和一個從平凡函子 $Delta_C:J omathscr{C}$ 到 $D$ 的自然變換。

極限函子（limit functors）

定義107

假設每一個形狀為 $sf J$ 的範疇圖 $D$ 都在 $mathscr{C}$ 中有一個極限，那麼函子 $lim_{leftarrow extsf{J}}:[ extsf{J},mathscr{C}] omathscr{C}$

將 $[ extsf{J},mathscr{C}]$ 對象 $D$ 發送到（在 $D$ 上選取的一個極限錐 $[lim D,pi_J]$ ）的頂點 $lim D$ 上。
將 $[ extsf{J},mathscr{C}]$ 箭頭 $alpha :DRightarrow D$ 發送到滿足「對於所有 $sf J$ 中的 $J$ ， $pi_Jcirc u_alpha = alpha_Jcirc pi_J$ 」的箭頭 $u_alpha:lim D o lim D$ 上。

定理110

假設上圖相關的形狀的極限是存在的，那麼，如果我們有一個自然同構 $Dcong D$ ，則有 $lim Dcong lim D$ 。

定理111

假設 $mathscr{C}$ 擁有所有形如 $sf J$ 的極限，那麼對於函子 $F:mathscr{C o D}$ 保存的每一個 $D: extsf{J} o mathscr{C}$ ， $F(lim_{leftarrow extsf{J}}D)cong lim_{leftarrow extsf{J}}(Fcirc D)$ 。簡而言之： $F$ 和 $lim_{leftarrow extsf{J}}$ 可交換。

定義108

對於所有小範疇 $extsf{J}$ ，和形狀為 $extsf{J}$ 的極限可交換的函子，是連續（continuous）的。

範疇的等價是比「上至同構」更弱的一種關係。

定義109

範疇 $mathscr{C}$ 和 $mathscr{D}$ 是等價（equivalent）的，記為 $mathscr{C}simeq mathscr{D}$ ，當且僅當存在函子 $F:mathscr{C o D}, F:mathscr{D o C}$ ，以及一對自然同構 $alpha:1_mathscr{C}Rightarrow GF; eta:FGRightarrow 1_mathscr{D}$ 。

定義113

假定一個足夠強的選擇原則（a sufficiently strong choice principle），函子 $F:mathscr{C o D}$ 是 $mathscr{C}$ 和 $mathscr{D}$ 的等價的一部分，當且僅當 $F$ 是忠實（faithful）、全乎（full）和對於對象是本質滿射（essentially surjective on objects）。

感謝 @愛笑的馬叔老師轉述的一個關於範疇等價的形象說法：

範疇等價的刻畫是全乎，忠實，稠密。Baez-Baertles-Dolan給了一個「形象」描述。
如若一個函子不全乎，則它忘卻了結構。 如若不忠實，則它忘卻了填料（stuff）。 如若不稠密，則它忘卻了性質。 https://ncatlab.org/nlab/show/stuff%2C+structure%2C+property

其中稠密（dense）是本質滿射的另一種說法。

另外，南京師範大學賀偉老師在其所著的《範疇論》中，將 faithful 翻譯為「局部單」（針對函子）；將 full 翻譯為「局部滿」（針對函子）。我將 faithful 簡單地翻譯成「忠實」，將「full」簡單地翻譯成「全[乎]」，為了把修飾子範疇的 full （滿）相區別。

定理112

Set 和 Pfn 不是同構的。

定理114

$sf Pfnsimeq Set$ .

定理115

$sf FinOrdnsimeq FinSet$ . 其中 FinOrdn 是包含空集和所有形如 ${0,1,2,dots,n-1}$ 的集合以及它們之間的函數的 FinSet 的全乎子範疇。

骨架和邪靈（skeletons and evil）

定義110

範疇 $mathscr{C}$ 被稱為範疇 $mathscr{C}$ 的骨架（skeleton，或譯為骸骨），如果 $mathscr{S}$ 是 $mathscr{C}$ 的一個滿子範疇，且只包含每個 $mathscr{C}$ 中的同態對象類（class of isomorphic objects）中的一個對象。如果一個範疇是另一個範疇的骨架，我們稱這個範疇是骨架範疇（skeletal）。