基礎群論(一): 商群相關

04-30

序

一直就覺得有必要寫點筆記，可總覺得用筆記本記不方便整理，而用LaTeX比較耗時間。聽說申請專欄不是很難通過，於是就來申請了，沒想到竟然通過了

說下背景。我只學過一點基礎的線代和數分，大概屬於大一入門的知識水平。覺得代數挺有意思的，決定讀一些代數書。這個專欄就用來記錄學習代數時的一些想法或體會。限於我還在入門，我的筆記的內容肯定很幼稚、很trivial，應該只有部分大一的學生才可能會看這些內容吧（笑）。不過沒關係，我開這個專欄的目的基本上是整理複習，理清思路。同時也可以留下學習的「腳印」，或許多年後會回味無窮呢。

我想，初學數學的時候，誰都有些naive吧。現在開這個專欄，希望以後能看到自己的進步！

我對中文術語不太了解，參考了中文wiki，而沒找到詞條的則多是自己翻譯的，如有錯誤歡迎指出。

另外，如果有和我興趣、水平相仿的，歡迎加入討論學習！

代數學中最不需要預備知識的應該就是簡單的群論了. 目前學的內容是基本的群論知識, 我覺得可以叫做general group theory, 暫且稱為基礎群論.

這是第一篇筆記, 省略了同態、子群等, 內容主要有陪集、Lagrange定理、正規子群、商群、同構定理等. 本節的主要目的是給出基本的定義和結論, 方便後文使用. 具體的性質的討論將出現在後面的筆記中.

符號說明: 如 $G$ 等未經說明的集合都表示群. 函數都寫在右邊, 如函數 $fg$ 表示先 $f$ 後 $g$ . $Hleq G$ 表示 $H$ 是 $G$ 的子群. 平凡群用 $1$ 表示.

陪集與Lagrange定理

首先引入一個記號: 設非空子集 $S,Tsubseteq G$ , 定義 $ST:={st:sin S,tin T}$ . 在這個運算下, $G$ 的非空子集的集合 $mathcal{P}(G)ackslash{varnothing}$ 構成一個幺半群. 再定義 $S^{-1}:={s^{-1}:sin S}$ .

特別地, 當 $Hleq G$ , $ain G$ 時, $Ha:=H{a}$ 稱為 $H$ 在 $G$ 中的右陪集(right coset). 若定義 $G$ 上 $mod H$ 的等價關係 $equiv$ 為 $aequiv b$ 當且僅當 $ab^{-1}in H$ , 則任意 $ain G$ 的等價類恰為 $Ha$ . 從 $equiv$ 的各個等價類中選出一個代表, 組成的集合稱為 $H$ 在 $G$ 中的右橫截(right transversal). 對左陪集有類似的定義. 容易證明

命題設 $Hleq G$ , $T$ 是 $H$ 的右橫截, 則 $T^{-1}$ 是 $G$ 的左橫截. 特別地, $H$ 在 $G$ 中的左陪集數等於右陪集數.

我們定義 $H$ 在 $G$ 中的指數(index)為 $H$ 在 $G$ 中的(右)陪集數, 記作 $[G:H]$ .

注意到任意子群的(右)陪集構成 $G$ 的劃分, 我們得到

定理 (Lagrange) 設 $Hleq G$ , 則 $|G|=[G:H]|H|$ . 特別地, 當 $G$ 是有限群時, $|H|$ 整除 $|G|$ .

定量地說, Lagrange定理揭示了子群的指數與階的關係, 方便了相關的計算; 定性地說, 它給我們提供了對子群階的限制——子群的階一定是群的階的約數. 同時, Lagrange定理是「群的階為結構提供信息」的最簡單的例子. 作為一個應用:

習題證明: 素數階群必為循環群.

一個很自然的問題是, Lagrange定理的逆命題是否成立? 即若 $d$ 是 $|G|$ 的約數, 則 $G$ 是否一定存在 $d$ 階子群? 答案是否定的. 反例: $A_4$ 無 $6$ 階子群. 儘管如此, 對 $d$ 做出一定約束後得到的命題則可能是成立的, 但對此的討論則要困難得多, 將在後面的筆記中記錄.

下面是一些計數相關的結論, 以後將會經常用到.

命題
(i) 設 $Kleq Hleq G$ , $T$ 是 $K$ 在 $H$ 中的右橫截, $U$ 是 $H$ 在 $G$ 中的右橫截, 則 $TU$ 是 $K$ 在 $G$ 中的右橫截. 特別地, $[G:K]=[G:H][H:K]$ .
(ii) 設 $H,Kleq G$ , 則 $[H:Hcap K]leq[G:K]$ . 若 $[G:K]$ 有限, 則等號成立當且僅當 $G=HK$ .

上述(ii)當 $[G:K]$ 不有限則不成立. 反例: $mathbb{Z} imes1,1leqmathbb{Z} imesmathbb{Z}$ . 有推論:

(iii) $[G:Hcap K]leq[G:H][G:K]$ , 等號成立當且僅當 $HK=G$ . 特別地, 若 $gcd([G:H],[G:K])=1$ , 則 $HK=G$ .
(iv) (Poincaré) 有限個指數有限的子群的交的指數有限.

作為一個推廣和練習, 我們定義雙陪集: 設 $H,Kleq G$ , $ain G$ , 則 $HaK:=H{a}K$ 稱為 $G$ 的 $H$ - $K$ 雙陪集(double coset). 同樣地, 定義等價關係 $equiv$ 為 $aequiv b$ 當且僅當 $a=hbk$ , 其中 $hin H$ , $kin K$ , 則 $ain G$ 的等價類恰為 $HaK$ . 我們有

習題設 $H,Kleq G$ , $ain G$ .
(i) $|HaK|=|K|[H:Hcap aKa^{-1}]=|H|[K:Kcap a^{-1}Ha]$ .
(ii) 設 $G$ 可寫為不交並: $G=igcup_{i=1}^nHg_iK$ , 則 $[G:K]=sum_{i=1}^n[H:Hcap g_iKg_i^{-1}]$ .

在上述(i)中取 $a=1$ , 得到

命題設 $H,Kleq G$ , 則 $|HK||Hcap K|=|H||K|$ .

在上述(ii)中取 $K=1$ 即得到Lagrange定理.

正規子群

易證

命題設 $H,Kleq G$ , 則 $HKleq G$ 當且僅當 $HK=KH$ .

若 $H,Kleq G$ 滿足 $HK=KH$ , 則稱 $H, K$ 可置換(permutable). 若 $Hleq G$ 與任意 $Kleq G$ 都可置換, 則稱子群 $Hleq G$ 為可置換子群(permutable subgroup)或准正規子群(quasinormal subgroup).

我們現在關注的是一類特殊的准正規子群, 即正規子群(normal subgroup), 它是滿足下述條件(之一)的子群:

命題設 $Nleq G$ , 則下述條件等價:
(i) $N$ 的任意右陪集也是 $N$ 的左陪集.
(ii) 對任意 $gin G$ , $Ng=gN$ , 即 $N^g=N$ .
(iii) 對任意 $gin G$ , $N^gsubseteq N$ .

上述命題中 $N^a:=a^{-1}Na$ 稱為 $N$ 的共軛(conjugate). 元素的共軛將在下文說明.

我們用 $Nlhd G$ 表示 $N$ 是 $G$ 的正規子群.

顯然正規子群是准正規子群, 反之則不一定成立. 反例: $D_8, left<(1 2 3) ight>leq S_4$ ( $D_8$ 視為正方形四個頂點上的置換群).

正規子群不具有傳遞性. 反例: $ext{V}lhd A_4lhd S_4$ , 其中 $ext{V}$ 是Klein四元群. 我們可以構造它的傳遞閉包如下: 設 $Nleq G$ , 若存在群列 $N=N_0lhd N_1lhd N_2lhdcdotslhd N_m=G$ , 其中每項都是後一項的正規子群, 則稱 $N$ 是 $G$ 的次正規子群(subnormal subgroup), 記作 $Nlhdlhd G$ . 以後將討論次正規子群的性質.

正規子群組成子群格的子格:

命題設 $N_ilhd G$ , $iin I$ , 則 $igcap_{iin I} N_ilhd G$ 且 $left<N_i:iin I ight>lhd G$ .

對任意 $Ssubseteq G$ , 定義 $S$ 的正規閉包(normal closure)為 $S^G:=igcap_{Sleq Nlhd G} N$ . 對偶地, 定義 $Ssubseteq G$ 的核心(core)或正規內部(normal interior)為: $varnothing_G=1$ ; $S eqvarnothing$ 時 $S_G:=left<Nleq S:Nlhd G ight>$ . 易得

命題 (i) 設 $Ssubseteq G$ , 則 $S^G=left<S^g:gin G ight>$ .
(ii) 當 $Hleq G$ 時, 有 $H_G=igcap_{gin G}H^g$ .

設 $gin G$ , 則 $a^g:=g^{-1}ag$ 稱為 $a$ 的共軛(conjugate). 由 $g$ 誘導自同構 $gamma_g:G o G,amapsto a^g$ . 這樣的自同構稱為內自同構(inner automorphism). 容易驗證, 內自同構集組成自同構群的子群, 記為 $operatorname{Inn} G$ . 易知 $gamma_ggamma_h=gamma_{gh}$ , $gamma_g^varphi=varphi^{-1}gamma_gvarphi=gamma_{g^varphi}$ , 其中 $g,hin G$ , $varphiinoperatorname{End}G$ . 自同構群的內容以後討論.

有了上面的定義, 正規子群即在自同構作用下不變的子群. 這自然地引出了兩個更強的定義:

設 $Hleq G$ . 若對任意 $varphiinoperatorname{Aut}G$ , 都有 $varphi(H)leq H$ , 則稱 $H$ 為 $G$ 的特徵子群(characteristic subgroup), 記作 $Hoperatorname{char} G$ . 事實上, $Hoperatorname{char}G$ 當且僅當對任意 $varphiinoperatorname{Aut}G$ 都有 $varphi(H)=H$ .

設 $Hleq G$ . 若對任意 $varphiinoperatorname{End}G$ , 都有 $varphi(H)leq H$ , 則稱 $H$ 為 $G$ 的全不變子群(fully-invariant subgroup).

特徵子群和全不變子群都具有傳遞性:

命題設 $Hleq Kleq G$ .
(i) 若 $Hoperatorname{char}K$ 且 $Koperatorname{char}G$ , 則 $Hoperatorname{char}G$ .
(ii) 若 $H$ 是 $K$ 的全不變子群, $K$ 是 $G$ 的全不變子群, 則 $H$ 是 $G$ 的全不變子群.

(iii) 若 $Hoperatorname{char}K$ 且 $Klhd G$ , 則 $Hlhd G$ .

顯然, 全不變子群一定是特徵子群, 特徵子群一定是正規子群. 反之則不成立. 一些例子: 正規子群不一定是特徵子群. 反例: $mathbb{Z} imes1lhdmathbb{Z} imesmathbb{Z}$ . 群的中心 $mathbf{Z}(G)operatorname{char} G$ , 但不一定是全不變子群. 反例: $S_3 imesmathbb{Z}_2$ . 導群 $G$ 是 $G$ 的全不變子群.

若 $Hoperatorname{char}G$ , $Hleq Kleq G$ , 則不一定有 $Hoperatorname{char}K$ . 反例: $mathbb{Z}_4 imesmathbb{Z}_2$ .

目前我們有: 全不變子群 $Rightarrow$ 特徵子群 $Rightarrow$ 正規子群 $Rightarrow$ 准正規子群/次正規子群. 事實上, 以後會證明, 在一大類群(包括所有有限群)中, 准正規子群 $Rightarrow$ 次正規子群.

商群與同構定理

設 $Nleq G$ , 考慮 $N$ 的所有右陪集的集合. 我們希望 $(Na)(Nb)=Nab$ 對任意 $a,bin G$ 成立. 易證, 這個條件等價於 $Nlhd G$ . 這解釋了我們定義正規子群的動機——正規子群恰好是能夠做商的子群. 在這種情況下, 我們稱 $N$ 的所有(右)陪集在上述運算下的群為 $G$ 在 $N$ 上的商群(quotient group), 記作 $G/N$ . 由商群誘導出的標準投影(canonical projection)或標準滿同態(canonical epimorphism)定義為 $pi: G o G/N, gmapsto Ng$ . 容易驗證, $pi$ 是滿同態且 $kerpi=N$ .

下面由E. Noether闡述的同構定理將會經常用到:

定理 (同構第一定理) 設 $varphi:G o H$ 是同態, 則 $kervarphilhd G$ 且 $G/kervarphicongoperatorname{im}varphi$ .

於是有 $Nlhd G$ 當且僅當 $N$ 是某個 $G$ 上同態的核. 另外, 這還說明在同構意義下, 同態像就是商群, 這也體現了商群的重要性.

定理 (同構第二定理) 設 $Nlhd G$ , $Kleq G$ , 則 $Ncap Klhd K$ 且 $K/(Ncap K)cong NK/N$ .
定理 (同構第三定理) 設 $Kleq Hleq G$ 且 $K,Hlhd G$ , 則 $H/Klhd G/K$ 且 $(G/K)/(H/K)cong G/H$ .

在給出對應定理之前, 我們先引入一個方便的記號. 設 $Nlhd G$ , $pi:G o G/N$ 為標準投影, 則對任意 $Hleq G$ , 記 $overline{H}:=H^pi$ .

定理 (對應定理) 設 $Nlhd G$ , $pi:G o G/N$ 為標準投影. 則 $Hmapstooverline{H}$ 是從 $G$ 中包含 $N$ 的所有子群的集合到 $G/N$ 的所有子群的集合的一一對應, 且
(i) $Kleq H$ 當且僅當 $overline{K}leqoverline{H}$ , 且此時 $[H:K]=[overline{H}:overline{K}]$ .

(ii) $Klhd H$ 當且僅當 $overline{K}lhdoverline{H}$ , 且此時 $H/Kcongoverline{H}/overline{K}$ .

不僅如此, 這個對應還能保持許多其他的性質, 例如 $overline{left<H,K ight>}=langleoverline{H},overline{K} angle$ . 這些都是不難證明的, 故不贅述. 事實上這裡 $pi$ 換成任意滿同態也有類似的對應關係:

定理設 $varphi:G o H$ 是滿同態, 則 $Kmapsto K^varphi$ 是從 $G$ 中包含 $kervarphi$ 的子群的集合到 $H$ 的子群的集合的一一對應.

這個對應也能保持類似的性質, 此處略去. 在實際使用中, 我們則可能需要根據不同的情況靈活運用這些定理的變形.

再給出兩個子群格的性質:

命題 (模律) 設 $A,B,Cleq G$ , $Aleq B$ . 若 $Acap C=Bcap C$ , $AC=BC$ , 則 $A=B$ .

除去 $Aleq B$ 的條件則結論不成立. 反例: $left<(1 2) ight>, left<(1 3) ight>, left<(1 2 3) ight>leq S_3$ .

命題 (Dedekind律) 設 $H,K,Lleq G$ , $Hleq L$ , 則 $HKcap L=H(Kcap L)$ .

Dedekind律實際上是一種分配律, 即 $HKcap L=(Hcap L)(Kcap L)$ , 但這當 $H leq L$ 時不一定成立. 反例同上.

作為一個練習, 證明

引理 (Zassenhaus) 設 $Alhd A^*$ , $Blhd B^*$ 為 $G$ 的子群. 則 $A(A^*cap B)lhd A(A^*cap B^*)$ , $B(B^*cap A)lhd B(B^*cap A^*)$ ,
且 $frac{A(A^*cap B^*)}{A(A^*cap B)}congfrac{B(B^*cap A^*)}{B(B^*cap A)}$ .
證明兩個子群都同構於 $frac{A^*cap B^*}{(A^*cap B)(Acap B^*)}$ .

畫出這個引理涉及的子群的Hasse圖後可以得到一隻蝴蝶, 因此Zassenhaus引理也叫蝴蝶引理(圖參見wiki). 用它能給出Jordan–H?lder定理的一個優雅證明.

備註

商群相關的結果是我學習群論得到的第一組結果，都是十分基本的結果，證明也大都routine。要學好用好，應該是無他，唯手熟爾吧。

我對群論的認識肯定是很膚淺的，如有錯誤希望有人能指出，謝謝