等額本息每月還款額是怎麼算出來的，真實利率真如銀行所說嗎？

04-30

我們知道，銀行經常會有些小伎倆來多賺你一點錢。比如信用卡分期，真實利率並不是銀行給你的那個數字，通常需要乘以2。

當你申請了房貸，銀行給了你一張每月還貸的表，看著上面每個月還多少錢，本金多少，利息多少，可能會有點暈，大多數人可能也不會自己去計算一下。本著不過糊塗日子的態度，我決定還是自己計算一下好了。這裡只計算等額本息，因為討論等額本金這種肯定不會用的還款方式沒有意義。

首先是基本原理，利息是由本金對時間累積產生的。每個月欠款額會膨脹一點，然後還掉一點，下個月再膨脹一點，再還掉一點，最後一次剛好還完。欠款曲線大概是這樣（畫的不太准）

設借款A萬元，每月放大係數是y（就是1+月利率），每個月還款x萬元，分T年還清。

一開始借了A萬

一個月後，欠款Ay萬，這時你還了x萬，欠款 $Ay -x$

二個月後，欠款 $Ay^{2} - xy - x$

三個月後，欠款 $Ay^{3}-xy^2-xy-x$

n個月後，欠款 $Ay^n-xy^{(n-1)}-xy^{(n-2)}-ulletulletullet-xy-x$

12T個月後，欠款 $Ay^{(12T)}-xy^{(12T-1)}-xy^{(12T-2)}-ulletulletullet-xy-x=0$

最後一個月欠款為0，通過最後一個等式， $Ay^{(12T)}=x(y^{(12T-1)}+y^{(12T-2)}+ulletulletullet+y+1)$

我們能算出每個月還款額 $x=Ay^{(12T)}/(y^{(12T-1)}+y^{(12T-2)}+ulletulletullet+y+1)=A(y-1)/(1-y^{(-12T)})$

來算個實際例子，小明貸款500萬，30年還清，利率按照現在首套年利率5.39%來算，每個月要還多少呢？

年利率是5.39%，那麼月放大係數y就是 $(1+5.39\%)^{(1/12)}$ 嘍。

每個月還款額 $x=A(y-1)/(1-y^{(-12T)})＝2.764505702754205萬$

嗯，算完了。

咦，銀行給的還款單似乎比這個還多呢，是2.804534萬。

為啥每個月要多還400呢？每個月多還400相當於一年多還4800，也是一筆不小的開支呢！

30年累積下來你就要多還銀行14.4萬，相當於你立刻損失了7萬。

那麼多出來的400元究竟是什麼呢？我琢磨了一陣子，覺得應該是利率的計算上銀行可能用了比較粗暴的方法。突然看到了這篇文章第一句話，等額本息按揭還貸計算方法探討，才明白原來在計算月利率的時候，銀行不是用 $y=(1+5.39\%)^{(1/12)}$ ，而是用 $y=1+5.39\%/12$ 的。用這個代進去再算，算出來的就是 2.804534萬。

結論：在房貸計算上，銀行依然會再賺你一小筆錢。

這麼看來，在5.39%的房貸利率下，你理財收益得達到5.52%，才能跑贏房貸，才能在多貸的情況下不吃虧。