轉載：可測空間、測度空間及σ-代數

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「一個村子裡有一個理髮師，他在自己的理髮店立了塊招牌，說他只給村子裡那些不給自己理髮的人理髮。然後有個人問他：「您的頭髮由誰來理？」

定義為A={x|x不屬於A}。設想，假設有一個元素x不屬於A，那麼它就滿足A的定義，所以x就應該屬於A；而如果x屬於A，那麼它就不滿足A的定義，因此就應該不屬於A。無論如何，都會產生矛盾。

（1）羅素上個世紀提出了一個悖論，使得集合論的推理髮生了嚴重的危機，也就是說基本的假設按照通常的推理會出現問題，這個問題大家又解決不了，但這個世界上聰明人很多，既然解決不了那就不解決，把這個問題繞過去，於是可測集的概念就應運而生，不是對那種極端的情況處理不了嗎，那就不考慮極端的情況，把能處理的情況放在一起，這樣推論就不會產生矛盾了。X是任意集合，F是把X中極端的情況去掉後由X的子集所組成的集合，這樣去掉了不能處理的集合，剩下來的都是可以處理的，所以（X，F）就叫可測集了，不知道這樣解釋能不能懂。

（2）空間往往是帶有一定結構或運算的集合，而不是簡單的集合。例如，

1、在集合X中的任意兩個元素x，y之間定義距離d（x，y），d滿足距離概念的基本要求，那麼（X，d）這個二元組就叫做一個距離空間。有時候簡稱X為距離空間，但不能忘了那個d；

2、將集合X的一些子集放到一起記做O，要求O里的元素滿足一定的條件，例如對有限交和任意並封閉，包含X和空集，那麼（X，O）叫做拓撲空間，O里的元素叫開集。這是學習概率論的必備空間；

3、如果在對X中元素之間定義了順序關係<，滿足一定的要求，例如傳遞性等，那麼（X，<）叫序空間。

4、定義了代數運算的集合叫代數空間；

等等。數學的每個分支基本上都是在某個空間討論問題，而不是一個孤零零的集合。

（3）什麼是可測空間呢？二元組（X，F），但是記住F只要滿足三個條件就可以了，這樣的話我們就可以對F中的元素定義測度了，所以F中的元素叫可測集。

但是這時許多人會犯一個致命的錯誤，認為對F加了限制，排除了一些不可測集。其實我們可以取F為X的子集全體，這時（X，F）就是一個可測空間，我們可以給F中的元素定義測度。

問題出在哪裡呢？把可測空間和測度空間的概念混淆了，出在「定義測度」這個步驟！定義了測度（例如記做m）的可測空間叫測度空間，記做（X，F，m），是個三元組。

F取得太大，可能導致無法定義合適的測度。例如取R的全體子集作為F，那麼我們沒有辦法將區間長度這個合適的測度概念定義在F的每個元素上，F太大了。縮小F為小一點的σ域F，使得F 包括所有的區間，而且其中的元素都有測度L，而且L是區間長度概念的自然推廣，就得到所謂勒貝格測度空間(R,F,L)，F 中的元素叫勒貝格可測集，而相應的測度L叫勒貝格測度。 所以可測空間中的可測集和測度無關，測度空間中的可測集和測度有關。 概率論研究的概率空間就是一個測度空間（X，F，P），其中P是定義在F中的測度，叫概率測度。集合X我們一般叫做樣本空間，F中的元素叫可測集，但是我們更願意叫做事件，而把F叫做事件域。任取F中元素A，它是X的子集，這時是一個事件，它的測度P（A）就是事件A的概率。可見這三元組（X，F，P）中的東西缺一不可。

（4）進一步對可測空間和測度空間討論： 我們知道任一事件都是樣本空間的子集，但樣本空間的子集卻不一定是事件。為了討論方便，還是用一個比較好理解的現象作一個比喻。

假設研究人的性取向，這樣樣本空間X={男，女，不男不女}，由於不男不女不好確定其性取向，這樣在研究時就將這種情況排出，只研究男和女。或者說，樣本空間是Ω={全體男人和女人}，是個有限集，其對應的事件域取F={Ω的子集全體}完全可以，(Ω, F)就是可測空間。你說的性取向問題對應的F上的概率測度P是未知的，需要用統計方法確定。更常見的做法是在(Ω, F,P)上定義一個隨機變數，用統計方法確定隨機變數的分布而不是P本身。例如任取ω∈Ω，定義

X(ω)=0,若ω是和尚， X(ω)=1,若ω是尼姑， X(ω)=2,若ω是丈夫， X(ω)=3,若ω是妻子， X(ω)=4，其他。 再定義

N(ω)=-1，若ω是情人中的男子， N(ω)=1，若ω是情人中的女子， N(ω)=0，其他。

這樣的話，你說的那些事件就可以用隨機變數表達清楚了。

例如 A={X=0}就是和尚的全體，B={1

你完全可以只取Ω的部分子集作為σ域子，例如和尚全體A，尼姑全體B，丈夫全體為C，妻子全體為D，男同性戀全體E，女同性戀全體F，將這些集合及其這些集合的交，並，補等放到一起構成一個σ域F 來研究，這時(Ω, F )是可測空間，但是這不能保證你可以在(Ω, F ,P)上定義足夠多的隨機變數。總之，σ域要大到將你感興趣的所有事件都包括進去且滿足基本數學要求。

（5）樣本空間就是一個集合，事件必須是其子集。反之不然。再舉一例：

擲一顆骰子，則可取Ω={1,2,3,4,5,6}, F為其子集全體，F把你能考慮到的事件都包括進去了。定義X=1，2，3，4，5，6對應相應的點數，則(Ω, F)是一個可測空間，X是(Ω, F,P)上隨機變數，例如A={X<4}表示點數不超過3這個事件。用統計方法搞清楚X的分布，就搞清楚測度P了。如果要考慮點數不超過3時甲贏，否則甲輸這樣的問題，定義Y=1，若點數為1，2，或3；否則Y=-1，則Y也是隨機變數。搞清楚Y的分布就是你的任務了，不一定要求出概率測度P。當然能求出來最好。

這時其實你可以取事件域F ={{1,2,3},{4,5,6},Ω,Φ}，當然這個事件域比F小多了。(Ω, F )也是一個可測空間，但是你不能在(Ω, F ,P )上定義足夠多的隨機變數。例如上面那個X就不是這個概率空間上的隨機變數，比如{X<5}就不是F中的元素，故X不是隨機變數。但是Y顯然在這裡還是隨機變數。當然這個P也不是那個P了。不過這對你的問題已經足夠了。 可測空間取多大？依問題需要和數學要求而定。