（精算師考試必會）如何利用計算器求解高次方程

利用普通計算器求解高次方程的解（轉自人人）

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摘要：介紹了一種利用普通計算器求解高次方程解的方法，具有很強實用性。

關鍵詞：普通計算器，一元三次方程，牛頓迭代法

0 引言

一元二次方程我們在初中就知道怎麼解了，一元三次方程也有解析解，但太複雜，沒多少人能記住，除了少部分通過觀察可以進行因式分解求解，大部分都沒那麼簡單能一眼猜出來。

遇到這些高次方程，一般用matlab求下，很簡單，但其最大的缺點是要用電腦。

其實只要我們手上有下圖所示「計算器」就可以解一般的三次方程，甚至是更複雜的高次方程。這裡所謂的「普通計算器」是指一般學生使用的卡西歐計算器等，如下圖，普及率應該很高。

以求一元三次方程 2x^3-7x^2+x-15=0 為例，

1 原理

原理為迭代法，「數值分析」的知識就強大在這裡。

對於一般的方程：f(x)=0

求 x0 使得 f(x0)=0 。

轉化 f(x) 的形式，f(x)=x-G(x) ，x=G(x)

使用牛頓迭代法，G(x) 的形式為：G(x)=x - f(x)/f(x) ，（牛頓！），帶入可見 f(x)=0 自然成立。

我們給 G(x) 中的 x 一個初值，計算得到的值可以再作為 x 帶入G(x) 計算，直到 x 穩定在某一個值，此時 G(x0)=x0 ，這個穩定的值 x0 就是方程的一個根，（不動點）。

2、原理完了，就是實際的操作。

圖示計算器內置有10個變數，A-F，X，Y，M，以及Ans，可以分別賦值並帶入表達式計算。

其中，Ans是一個很特別的變數，它是每次計算的結果，"Answer"。我們要用的就是它！

f(x) 的導數，f(x)=6x^2-14x+1

在計算器中輸入，

Ans-(2Ans^3-7Ans^2+Ans-15)/(6Ans^2-14Ans+1)

2Ans表示2*Ans，乘號可省略，「/」 是除號。Ans鍵就在計算器右下角，等號旁邊的那個。

好戲開始了。

輸入完畢，按等號鍵「=」，出現一個值，什麼都別動，再按一次「=」，出現的值變了吧。

繼續按個7、8次。前幾個值會相差很大，到最後，結果會逐漸穩定，直到穩定在

3.871283138

接下來，你再按個幾萬次，它都不會變了。哈哈~~，這個就是方程的一個解。

知道了一個根，其他兩個通過因式分解就很容易求解，

展開上式，得到 b=0.742， c=3.875

然後就是解一元二次方程了，得到兩個虛根，

-0.186 + 1.382i

-0.186 - 1.382i

至此，上面一元三次方程的三個根都解出來了。

在Matlab中，只要輸入一行代碼就搞定，roots([2,-7,1,-15]) 。

Matlab的結果（準確解）：

3.8713

-0.1856 + 1.3794i

-0.1856 - 1.3794i

是不是很有意思？呵呵~

3、再介紹下給 Ans 賦初值

不同的初值迭代速度不同。有的初值甚至不收斂，也就是怎麼按等號，結果也不會穩定。牛頓迭代法的收斂速度是很快的（二階收斂），所以一般按個10次，結果還沒穩定，可以換個初值試試。而且不同初值可能收斂到不同的結果，那更好，只要收斂，那麼所得結果就是一個根。

言歸正傳，給Ans變數賦初值，在計算器中隨便輸入個數值，例如10，或0，或-5等，按一次等號「=」，Ans就被賦予以上你輸入的值了。接著輸入那一串的式子，Ans……。操作類似。

也可以換不同的初值試試，而且不需要再次輸入那一串長式子，圖示的計算器有存儲功能，這個用過的人應該都知道。給 Ans 換個值，按「向上鍵」調出之前的式子，接著按「=」號就可以了，很簡單吧。

更複雜的高次方程也可借鑒上面的方法試試，如果確定有實根，並且知道解的範圍，不難得到結果，只是找到所有解包括虛根就有些困難。

4 結論

迭代法很強大，更多知識請參考工科研究生必修課「數值分析」。 PS：牛頓不是一般人