邊邊角（SSA）就一定不能證明三角形全等嗎？

可先看結論，見 總結

我們知道證明兩個三角形全等的方法有：

角角邊（AAS），角邊角（ASA），邊邊邊（SSS），邊角邊（SAS），斜邊直角（HL）

但是沒有邊邊角（SSA）。

SSA 之所以不能證明三角形全等，是因為：當固定長度的兩邊，及固定的一角 構造三角形的時候，三角形不是唯一的，如圖：

與 符合SSA，但顯然這兩個三角形不全等

邊邊角（SSA）就一定不能證明三角形全等嗎，當然不是，其實HL就是SSA，即當三角形是直角三角形時SSA就可用了。

難道SSA就只有這一點用處了嗎，當然也不是了。在對SSA進行探究的時候，會發現對三角形進行一些限制的「特殊」三角形，SSA完全可以證明其全等。

而且，能用SSA的「特殊」三角形並不特殊，就是說大部分三角形都可以運用SSA證明其全等，不能用SSA證明全等的三角形反而是少數。

第一部分 直觀的感受

上圖中SSA不能用，是因為兩邊和一角構造出了兩個不同的三角形。

如果兩邊和一角能構造出唯一的一個三角形，那麼SSA就可以用來證明三角形全等。

我們可以這樣考慮，有兩根木條AO和BO，A點和O點固定在桌面上，這樣木條AO就固定不動了，木條BO是可以繞著O點轉動，然後在桌面上過A點作一條射線，與AO成固定銳角。這樣就有了兩條固定長度的邊（這裡是固定長度，並不是長度相等），和一個固定角度的角。

轉動木條BO，可能會出現上圖的情況，那麼我們更換一根更長的木條BO （木條BO在轉動過程中長度是保持不變的），就可能出現下圖的情況：

顯然構造出了唯一的一個三角形AOB，很明顯我們能看出BO>AO，這時SSA是可用的。

現在縮短木條BO，盡量的縮短，我們會看到這種情況：

顯然這樣是構造不出一個三角形的情況。

但是在這伸長縮短的過程中，我們還會發現兩種特殊的情況：

很明顯這是HL的情形，這也就是前面所說的HL就是SSA，這時SSA是可用的。

若木條BO和木條AO等長的時候，也只能構造唯一的一個三角形，所以在等腰三角形中，SSA是可用的

前面考慮的都是固定角為銳角的情況，現在我們看看固定叫為鈍角的情況。

會有出現這兩種情形：

其一構造不出三角形，這種就不用考慮了。

另一種BO>AO能構造出三角形，而且構造出的三角形具有唯一性，即當固定角為鈍角時，SSA是可用的。

注意：我這裡說的是當固定角為鈍角時，並不是說的鈍角三角形。

從上面圖形情況我們可以直觀的看到當時，SSA是可用的。

第二部分 定量的分析

固定邊AO=b,BO=a，固定角A=，由余弦定理可得：

a,b,固定已知，o未知，把上式看成是關於o的一元二次方程：

為了看著更習慣，將o換成x，變成關於x的一元二次方程：

要使夠造的三角形唯一，即要求x有唯一正根

若 有唯一根，即

由正弦定理可得：

即 ∠B=

此時SSA是可用的，△AOB是直角三角形

若 有兩個不同根，即

雖然此時有兩根，但如果兩根一正一負（），因為三角形邊長只能為正，所以構造出的三角形仍然是唯一的。

根據韋達定理：

即

a,b為三角形的邊，所以都為正，所以

此時SSA是可用的

如果 (即鈍角），顯然若構成三角形，一定有 ，如圖：

當固定角為鈍角時，SSA是可用的

特別的，若，則一元二次方程變為：

（可排除）

構造出的三角形是唯一的，SSA是可用的，此時△AOB是等腰三角形

總結：

ASA，AAS，SSS，SAS等方法證明三角形全等時，針對的三角形是所有三角形。

如果三角形滿足一定條件，邊邊角（SSA）也可用於證明三角形全等。

△AOB，固定兩邊a,b，固定角為∠A=

如果a,b 滿足：，那麼SSA可以用於證明全等。

更特殊的：兩個三角形均為等腰三角形，直角三角形，銳角三角形，SSA都可用於證明其全等。

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