如何求R^n維的超立方體下R^i（i=1...n）維超平面的個數

04-30

在大一下被《線性代數》虐的體無完膚之後，既煩惱於其「婆婆媽媽」般的亂七八糟的繁瑣的定理，又感嘆於自己大腦想像力的局限性——超過三維空間的維是根本無法直觀想像的，更不用說n維的了。然而就是這種不可想像的神秘性才上高維線性空間多了一層魅力。大二暑假又準備重新看一下。然而終日頹頹而碌碌然也，散漫而隨意，並沒有穩步的進展。在看到Gilbert Strang的《Introduction to Linear Algebra》前面的一點點內容後被其課後習題的一個問題吸引住了。

原題：How many corners does a cube have in 4 dimensions? How many 3D faces? How many edges? A typical corner is (0,0,1,0) .

其實四維空間下就已經很難想像有多少個「三維立方體」，多少個「平面、邊了」，如果能找出來則可以比較容易地推廣到n維線性空間。如果推廣到 $R^n$ 為空間的話，在維空間下不僅僅只有「點( $R^0$ )」，「線( $R^1$ )，「面( $R^{2}$ )」這三個維度，有從「點( $R^0$ )」到 $R^i$ 維度的「超平面」，外加一個 $R^n$ 的「超立方體」。樓主想要求出一般性的R^n維的「超立方體」下有多少個「 $R^i$ (i=0,1,2,,,n)」的超平面。

由於高維線性空間的不可想像性，樓主這裡希望通過代數和排列組合的方法求解。

先看 $R^1$ 維情況：「單位立方體」——單位線段長度。有1條邊( $R^1$ )，2個頂點( $R^0$ ) ,坐標是實數 $a_{0}$ ,頂點坐標0,1

$R^{2}$ 維：「單位正方形」。坐標是向量( $a_{0}$ , $a_{1}$ )，1= $R^{2}$ （即有1個平面）；4= $R^1$ （即有4條邊）;4= $R^0$ （四個頂點）（之後為了方便就這樣寫）

$R^3$ ——「單位立方體」。坐標是向量( $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_2$ )，1= $R^3$ ; 6= $R^{2}$ ; 12= $R^1$ ; 8= $R^0$

接下來進入無法啟動顯卡的空間。。。。注意到前面都提及了表示坐標的( $a_{0}$ , $a_{1}$ ,..., $a_i$ )是為了為之後的思路做鋪墊。

$R^4$ ——「單位超立方體」。坐標是向量( $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_2$ ， $a_3$ )，顯然有1= $R^4$ ; 16= $2^4$ = $R^0$ （每個 $a_i$ 有兩種可能，4個a的數值一種組合構成一個「頂點（ $R^0$ ））。那麼有多少個 $R^3$ ——三維立方體，多少個 $R^{2}$ ——平面呢？樓主在想了許久後想到了一下思路：

在( $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_2$ ， $a_3$ )的4個分量里，每3個分量的組合在一起，其全部的數字組合可能構成一個三維立方體。比如 $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_2$ 這三個分量的組合在一起，( $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_2$ )其全部的數字組合——8個頂點「架構」一個三維立方體。剩下的分量 $a_3$ =0,1。那麼以 $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_2$ 為組合分量構成的立方體就有2個，分別對應於 $a_3$ =0和a3=1。我們知道從4個裡面選3個組合數是 $C_4^3$ =4，每三分量的組合構成的立方體的個數是2，所以 $R^4$ 「單位超立方體」有8= $C_4^3$ *2= $R^3$ 個

那麼 $R^4$ 超立方體的平面個數呢？類比上述的思路，從( $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_2$ ， $a_3$ )四個分量裡面選出兩個分量（比如( $a_{1}$ , $a_3$ )），它們的所有數值組合(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)構成一個平面，剩下的兩個分量有 $2^2$ =4中數值組合，所以的平面個數就是 $C_4^2$ * $2^2$ =6*4=24= $R^{2}$ 個。同理 $R^1$ = $C_4^1$ * $2^3$ =32，即有32條棱。

我們可以用 $R^3$ 情況下的立方體來檢驗和強化這種思路。見圖（圖太low，大家見諒哈）

好了，至此我們可以推廣到 $R^n$ 線性空間了（折騰了這麼久，終於可以從特殊到一般了T.T）。 $R^n$ 線性空間的坐標表示為( $a_{0}$ , $a_{1}$ ,..., $a_{n-1}$ )，設其擁有k個 $R^i$ 維的「超平面」，i=0,1,2,...,n。則k= $C_n^{i}$ * $2^{n-i}$ = $frac{i!}{n!}$ * $2^{n-i}$ ，最後我們可以發現當i=0時k= $2^n$ ，i=n時k=1，與實際情況時一致的。

用 $C_n^{i}$ * $2^{n-i}$ = $R^i$ 這個公式檢驗一下。「正方形有四條邊」—— $C_2^1$ * $2^{2-1}$ =4= $R^1$ ；「立方體有6個面」—— $C_3^2$ *2=6= $R^{2}$ ; 「立方體有8個頂點」—— $C_3^0$ * $2^3$

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參考及推薦書目----Gilbert Strang.《Introduction to Linear Algebra》