讀書筆記-二項分布和Beta分布

參考： 二項分布和Beta分布 - CSDN博客

伯努利試驗：相互獨立，結果非0即1。例如仍硬幣。如果一個改造了的硬幣出正面的概率為0.6，也算伯努利試驗。

二項分布：如果事件發生的概率是P,則不發生的概率q=1-p，N次獨立重複試驗中發生K次的概率是:

P(K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)

關於上式的理解就是，p^k是按特定順序成功k次的概率，(1-p)^(n-k)是按特定順序失敗n-k次的概率，p^k * (1-p)^(n-k)是「按特定順序成功k次且失敗n-k次」的概率，而C(n,k)則是出現「按特定順序成功k次且失敗n-k次」這種情況的總的組合數目（換句話說就是所有的順序的組合），乘起來，就是「成功k次且失敗n-k次」的總概率。

二項分布是說，已知某件事情發生的概率是p，那麼做n次試驗，事情發生的次數就服從於二項分布。二項分布的極限就是正態分布。

下面是擲10次硬幣，得到的二項分布

n = 10

k = np.arange(n+1)

pcoin = stats.binom.pmf(k, n, 0.5)

#結果是 [ 0.00097656, 0.00976563, 0.04394531, 0.1171875 , 0.20507813, 0.24609375, 0.20507813, 0.1171875 , 0.04394531, 0.00976563, 0.00097656])

下面是投擲6次骰子，出現6點的概率分布。

n = 6

k = np.arange(n+1)

pdice = stats.binom.pmf(k, n, 1.0/6)

#結果是 [ 3.34897977e-01, 4.01877572e-01, 2.00938786e-01, 5.35836763e-02, 8.03755144e-03, 6.43004115e-04, 2.14334705e-05])

Beta分布

例如有某種特殊的硬幣，我們事先完全無法確定它出現正面的概率。然後拋10次硬幣，出現5次正面，於是我們認為硬幣出現正面的概率最可能是0.5。

但是即使硬幣出現正面的概率為0.4，也會出現拋10次出現5次正面的情況。

因此我們並不能完全確定硬幣出現正面的概率就是0.5，所以也是一個隨機變數，它符合Beta分布。

Beta分布是一個連續分布，由於它描述概率的分布，因此其取值範圍為0到1。 Beta分布有和兩個參數，其中為成功次數加1，為失敗次數加1。

下面的代碼，用擲硬幣為例，來描述Beta分布。

import pylab as pl

n = 10 #擲硬幣10次

k = 5 #正面5次

p = np.linspace(0, 1, 100) #獲取一個數組，有100個元素，從0到0.989898，構成等差數列。表示概率從0~1，離散成100份。

pbeta = stats.beta.pdf(p, k+1, n-k+1) #獲取Beta分布（pdf是用來獲取分布的函數，+1的目的，是為了避免k=0的特殊情況導致計算出現nan值）

plot(p, pbeta, label="k=5", lw=2) #畫出來一個類似正態分布的曲線，中值在0.5處。

k = 4 #正面4次

pbeta = stats.beta.pdf(p, k+1, n-k+1)

plot(p, pbeta, label="k=4", lw=2) #畫出來一個類似正態分布的曲線，中值在0.4處。

xlabel("$p$")

legend(loc="best")

n = 20 #擲硬幣20次

k = 8 #正面8次

p = np.linspace(0, 1, 100)

pbeta = stats.beta.pdf(p, k+1, n-k+1)

plot(p, pbeta, label="n=20", lw=2) #畫出來的曲線，中值也在0.4處，但更高更尖銳，就像方差更小的正態分布圖形。