第59講：網（1）——融合式待定數組的拓展

今天開始，我們來學習最後一種數獨技巧，這種數獨技巧因為長相特別龐大，就像一張網一樣，所以取名為網（Multi-sector Locked Sets），簡稱MSLS。它的學名為多區域（跨區）數組。在英文里，Locked Set就是數組，所以之前的ALS其實就是Almost數組，即待定數組了；而SDC的學名——雙區域分散式跨區數組，其實是涉及兩個區域的跨區數組結構。因為在MSLS的全稱之中，並未提到Disjointed一詞表示跨區，所以這裡「跨區」一詞打上了括弧。一般來說它肯定是跨區的，所以跨區就是默認項了，也就不那麼重要了。

在我們學習這個技巧之前，先來看一下SDC的拓展。這些SDC拓展都是網，不過今天的內容不會先提網的定義和運用方式。

Part 1 隱性SDC（Hidden SdC）

如圖所示，這個結構涉及了1、3、4、5、7、8、9七種數字，按照SDC來看，確實屬於SDC的規範版本：1、3、9同宮，4、5、7、8同列，所以七個單元格內的七種數字完全不存在重複的情況，意味著七種數字必然填入到這七個單元格之中，且填數種類不多也不少。於是可以得到，c6其餘位置的4、5、7、8以及b5其餘位置的1、3、9都可以刪除，如圖紅色的刪數。

不過，這個結構稍大了一些，我們可以嘗試「翻轉」邏輯，用數組的隱性思維來思考這一點：

如圖所示，這樣就把原本的七個單元格變為了只涉及四個單元格了。觀察c6，3和9的位置只存在於r468c6三格之中；而觀察b5，4和8的位置只存在於r4c56和r6c6三格之中，另外，b5和c6的交集上，結構涉及的兩格里，候選數3、9和4、8都有。

如果r46c6都是紫色候選數，則r46c6可以直接看作39隱性數對，b5內4和8的位置不夠填；如果r46c6都是藍綠色候選數，則r46c6可以看作48隱性數對，c5內3和9的位置不夠填。所以r46c6有一格只有藍綠色候選數，而另外一格則只有紫色候選數。

這樣一來，只有藍綠色的單元格就會和b5之中的r4c5構成48隱性數對；而另外一格則會和c6之中的r8c6構成39隱性數對。所以這樣一樣可以產生兩個獨立的數對。我們能確定的是，隱性數對的刪數只能有涉及的四格之中，而因為r46c6最終哪個只有藍綠色候選數，哪個只有紫色候選數是不確定的，所以刪數只能在構成48數對和39數對的另外一格。於是r4c5<>13、r8c6<>4578。

這樣就解決了SDC結構過大導致不好觀察的問題。這樣的觀察角度也稱為全隱性的SDC。另外，因為SDC涉及兩個區域，所以最終可能產生四種情況：

• 顯性、顯性
• 顯性、隱性
• 隱性、顯性
• 隱性、隱性

第一種就是最基礎的SDC，可以相對於上面的觀察角度，稱為全顯性SDC（Naked SDC）；而第四種，也就是才解釋的技巧，稱為全隱性SDC（Hidden SDC）；而其餘兩種，則一邊用顯性觀察角度，另一邊用隱性觀察角度，稱為顯隱性混合SDC（Mixed SDC）。

接下來我們來看看，SDC從兩個不同的維度進行拓展的類型。

Part 2 多度SDC（Multi-sector DDS）

我們剛才看到，SDC是一種由兩個區域構成的整體跨區的數組結構。那麼SDC能否拓展到涉及更多個區域呢？

如圖所示，我們觀察這個結構，它涉及了三個區域：r5、c8和b6，一共涉及r5c289、r2c24和r4c9這六個單元格和六種不同的候選數4、5、6、7、8、9。

首先我們對這樣六個單元格按照所屬區域塗上顏色：我們發現六格之中，4和5隻出現於同一列上，所以我們暫用綠色標註；6和8隻出現於同一行上，所以我們暫用橙色標註；7和9則只出現於宮內，所以圖上紫色。

此時我們會發現，六格有六種不同的候選數，並且每一種候選數都不會跨區域出現。所以，我們可以這樣思考這個問題：結構在b5內，有多個塗色的單元格一共有三個：r4c8和r5c89。因為上方的r2c8隻有候選數4和5，所以還需要一格，候選數也只有4和5，才可以不出現矛盾（如果三格只有4和5則無法填滿三格；如果只有一格有4和5，則4和5在c8上總有其中一格數不會出現，於是矛盾）。於是r45c8其中一格只能有候選數4和5；同理，r5c2因為只有候選數6和8，所以需要且僅需要一格只有候選數6和8，才不會出現矛盾。所以r5c89其中一格只能有候選數6和8。再觀察b6，結構涉及於b6內還有一格只有候選數7和9，那麼還需要且僅需要一格只有7和9才不會出現矛盾。

這樣一來，r4c8和r5c89這三格有一格只有7和9、有一格只有6和8、有一格只有4和5。這樣剛好用完這三格，所以這樣看來，c8總會出現45數對、r5總會出現68數對、b6總會出現79數對，於是刪除c8、r5、b6其餘位置各自出現的數對而得到的刪數，圖中紅色的均為刪數。

這樣的結構就是SDC的拓展，把原本涉及的兩個區域變為涉及了三個區域，所以稱為三區域分散式跨區數組（Three-sector DDS），另也可以直接叫作二度SDC（SDC Degree 2）。注意，結構涉及n個區域，則稱為(n-1)度SDC。最基本的SDC也可以被稱為一度SDC（SDC Degree 1），千萬不要搞錯了名字。

Part 3 多段SDC（Domino Chain）

除了這樣從涉及區域來拓展結構的，還可以直接將推導情況接起來形成鏈條形式。

如圖所示，我們從r5c468起推。r5c46其中一格只能有6和8，和r5c8(68)構成68數對（r5c46都沒有6和8和都只有6和8都是矛盾的，這一點和上面的思路是一致的，這裡就不闡述了）。因為r5c46其中一格只有6和8，所以另一格就不會有6和8、只有4和5。此時r46c5其中一格也只能有4和5，構成45數對；而r46c5其中一格只有4和5，所以另外一格則只有6和7，此時和r7c5形成67數對。所以推導過程可以得到r5形成68數對、b5形成45數對、c5形成67數對，於是其餘單元格對應數對的刪數就都可以刪除了。

這個結構和剛才的結構不太一樣的地方是，多度SDC（多區域分散式跨區數組）是「發散形」的，而這個結構則是「鏈條形」的。所以這個結構也可以看作多段不同的待定數組共同構成的結構，並稱為多段SDC或多米諾鏈（Domino Chain），是不是很像多米諾骨牌那樣一個一個順次倒下的感覺呢？覺得沒有的話，我們再看長一些的吧！

另外，上圖由三段構成，所以是三段SDC。

如圖所示，c7之中有兩格只有候選數4、8、9，則還需要一個單元格只有候選數4、8、9才不會出現矛盾；發現r45c7其一是4、8、9就可以，於是r45c7另外一格只有候選數2和5，於是還需要恰好一格只有候選數2和5才不會出現矛盾，此時發現r6c89其中一格只有2和5就可以，於是另外一格則只有候選數6和8，此時需要r6c23其中一格只有候選數6和8才不會矛盾；r6c23其中一格只有候選數6和8，所以另外一格則只有候選數2、4、5，於是和b4內只有候選數2、4、5、7的r4c1、r5c13三格共同構成2457四數組。

所以總的來說，c7總會出現489三數組、b6總會出現25數對、r6總會出現68數對、b4總會出現2457四數組。所以各自對應的區域下的數組的刪數就都可以刪除掉了。

這個結構在推導時被分為四個部分，所以稱為四段SDC。

那麼，這裡再來一個練習，請自行觀察啦！這個結構有些複雜：六段SDC！

大致的推導過程是從r3、b2、c5、b8、r7、b7的順序推導的哦！就提示到這裡了！當然了，從推導過程之中，你也可以發現，多段SDC的推導是不論方向的，所以倒著推導也是可以的。

它非常像是鏈，但和鏈不同的是，鏈如果不首尾拼接形成環的話，是無法刪除那麼多數字的，而多段SDC雖然很像是鏈的形式順次推導，但是它在不封閉的情況下也是可以刪除很多數字的哦。那麼，多段SDC封閉起來構成環路會怎麼樣呢？

Part 4 多米諾環/柯爾扎斯環（Domino Loop/SK Loop）

如圖所示，我們只看綠色的單元格。這個顏色塗得有點彆扭，因為圖是很早的了hhhh

我們這麼去想，任找一點，比如r2c13，不妨假設其中一格只有候選數68，則r2c79其中一格只有候選數6和8，構成68數對，而另一格則只有1和5，與r13c8構成15數對，另外一格則是68，和r79c8其中一格形成68數對，另外一格則只有29，和r8c79其中一格構成29數對，而r8c79另外一格則只有候選數4和6，則會和r8c13其中一格構成46數對，則另外一格是15，會和r79c2其中一格構成15數對，另外一格則只有候選數6和8，會和r13c2其中一格構成68數對，而另外一格則只有候選數2和9，會和r2c13其中一格構成29數對。而最開始r2c13假設的其中一格是候選數6和8，那另外一格必然肯定只有候選數2和9了。

這樣一來就會構成涉及r28c28b1379八個區域的環形八段SDC，且各自區域上恰會構成一個簡單的數對。這樣的結構是多米諾鏈的環形版本，所以直接可以成為多米諾環（Domino Loop），簡稱為DL，或稱為柯爾扎斯環（SK Loop）或SK環。

結構是由一位叫Stephen Kurzhals的人發現的技巧，所以為了紀念他，採用了他的名字直接稱呼這樣的環，即S.K. Loop。

另外，我們可以對這樣的多段SDC的推導過程利用數學符號的方式簡寫，而不是用上面複雜的文本描述。

B1379(68) -> {AC8, B79}(15) -> ACGI8(68) -> {GI8, H79}(29) -> H1379(46) -> {GI2, H13}(15) -> ACGI2(68) -> {AC2, B13}(29)

另外，多米諾環還有一個示例：

它的表述如下。

D5689(7) -> {D89, EF7}(459) -> EFHI7(6) -> {G89, HI7}(125) -> G5689(8) -> {G56, HI4}(249) -> EFHI4(3) -> {D56, EF4}(125)

Part 5 SDC內的強關係

SDC也可以嵌入到鏈之中，不過有些時候理解起來會比較麻煩。

如圖所示，鏈表述如下：

(r1c7=r8c8)(1) => r78c7<>1

這條鏈只有一個強關係構成，沒有弱關係。強關係即「兩端不同假」。那麼它為什麼不同假呢？思考一下，如果r1c7(1)和r8c8(1)同假時，結構涉及五個單元格，但只有2、3、6、7四種不同的候選數，而且6和7在結構之中只出現於c8上，2和3在結構之中只出現於b3內，所以內部也不可能有重複的數字出現。那意味著，2、3、6、7需要在不重複的情況下填滿五個單元格，這是顯然不可能的，總有一格是沒有填數的，所以是錯誤的，所以兩端是不同假的。於是這樣就直接可以得到刪數了。

另外，這樣的結構稱為超鏈置SDC，或SDC超鏈（Hyper AIC With SDC）。

那麼，帶有SDC的超鏈結構不總是剛才那樣幸運、只有一個強關係就可以直接刪數。如圖所示，鏈如下所述：

(r2c6=r1c6-r1c2379=r3c3)(5) => r2c123<>5

推導過程是這樣的：r2c6(5)為假，則r1c6(5)真、r1c2379(5)假。當這四格的候選數5全為假後，觀察r1c2379和r3c3這五個單元格，就只剩下2、3、4、8四種數字了，而這四種數字和上面的示例一樣，不能有重複的填數情況，所以是填不夠五格的，所以r1c2379(5)和r3c3(5)為強關係，即當r1c2379(5)假時，r3c3(5)為真。所以，總體來說，r2c6(5)和r3c3(5)至少一個為真，刪掉它們的交集。

最後來看一則最難的示例，它用到了強制鏈的思路，不過強制思想是嵌入到同一條鏈之中的。

鏈如下表示：

r5c8(7)=r5c5(7-5)=r2c5(5-3)=r23c4(3)-r4c4(3): =r5c9(2)-r4c8(2)=r14c8(68) -r5c9(2)={r4c489, r5c9}(2468)=> r5c8<>6

當設r5c8(7)為假時，則順次可以得到r4c4(3)為假。但是下面就無法繼續進行推導了，於是我們借用矛盾的情況，分為真假兩種情況進行推導：

如果r5c9(2)為真時，r4c8(2)為假，此時r14c8就會構成68數對，這樣可以刪除r5c8(6)；如果r5c9(2)為假時，r4c489、r5c9四格就會構成關於2、4、6、8的SDC結構。由於4、6隻同宮出現，而2、8隻同行出現，所以最終r4會出現28數對，而b6內會出現46數對。所以此時r5c8(6)也應為假（被刪除掉）。

所以當r4c4(3)為假時，不論r5c9(2)的真假，均可以刪除r5c8(6)，而根據鏈的刪數原理（刪除交集），所以r5c8<>6成立。

這個就是稍微複雜一些的鏈了。那麼，SDC的拓展我們就講到這裡，下一節我們來看一下，網的使用方式。