具體數學-第6課（下降階乘冪）

原文鏈接：

具體數學-第6課 - WeiYang Blog?

godweiyang.com

上節課講到下降階乘冪和差分運算，這節課繼續講它和差分的各種性質。

性質1

首先在後面章節會證明， 的二項展開形式和普通的 是一樣的，這裡提一下，暫時用不到。

性質2

接下來給出下降階乘冪為負數的定義：

性質3

和普通冪 不同，下降階乘冪有如下性質：

性質4

上一節課說到，定義下降階乘冪的好處就是為了求差分方便，下降階乘冪的差分為：

反之，類比不定積分，它的不定和為：

但是這裡 ，那要是 怎麼辦呢？

直接運用差分定義可以求出

所以

性質5

在微積分裡面， 的導數是它自身。那麼什麼函數的差分是自身呢？

通過定義可以很容易算出來：

進一步推廣可以得到：

所以得到如下一種新的等比數列計算方式：

性質6

結合律和分配律在差分運算里也適用。

性質7

類似分部積分，這裡也可以分部來求差分。

這裡給出一個新的記號叫做移位運算：

所以就得到了差分的分部運演算法則：

對兩邊求和，又可以得到不定求和的分部運演算法則：

這個分部法則非常有用，下面舉兩個例子來說明一下怎麼用。

例1

一道老題，計算：

首先計算

在這裡可以令

所以

那麼求和式就可以轉化為不定求和來算了：

例2

計算

首先計算

這裡注意要令

不能倒過來哦，因為 的不定和很難求出來的。所以

所以

無限求和

回顧一下以前我們是怎麼計算下面求和式的。

首先兩邊同時乘2，得到：

解出

那麼可不可以用同樣的方法計算下面式子呢？

兩邊同時乘2，得到：

解出

顯然不可能，因為這裡的 是發散的，所以不能這麼求。那麼如何用一般的方法來求解呢？

首先我們只考慮正數求和，求解 ，其中 是一個無限集合。

那麼，如果存在 ，使得對任意 ，都有

那麼我們說這個最小的 就是 的結果。

如果不存在這麼一個 ，那麼這個求和式就是發散的，即結果為正無窮。

一般使用中，對於 ，我們可以令

所以

舉兩個例子，比如

再如：

剩下的問題就是如何求有正有負的和式？

可以考慮的方案就是用不同的配對，將正負組合在一起，從而相消求和。

但是不同的組合方式會得到不同的答案。就比如：

有兩種組合方式：

和

得到了兩種不同的結果。

事實上，我們可以將正數和負數分開求和，因為正數求和我們已經解決了，所以我們定義：

其中

所以求和式可以分成兩部分分別求和：

最後推廣到二重求和：

這裡也沒啥好細說的，就先了解了解吧。

推薦閱讀：