為什麼是復坐標

04-29

之前一直有一個問題：為什麼物理裡面會經常在實的時空中出現復的坐標？比如，考慮一根弦在時空中運動，會在它的 world sheet 上引入復坐標；再比如，想要考慮二維共形場論的時候，也會引入復的坐標（這兩個事情我感覺其實差不多）；還比如，blabla...

如果只是問「為什麼要這麼做」，那可以就回答「因為方便」就好了：學過複變函數熟知「全純或者反全純都是共形的映射」，所以引入復坐標顯得方便，沒有問題。

所以問題大概是「為什麼可以這麼做，這樣做是否會有所損失？如果有，損失了什麼，是否會有本質的影響；如果沒有，為什麼沒有」。

當然，我沒法說更廣大的情形下為什麼有這麼多復的東西跑出來，因為我甚至不清楚它們具體是怎麼回事，以及起了什麼作用。所以我大概嘗試考慮一下最簡單的情況，也就是開頭提到的，二維的情況。

（其實說起來這個事情很無聊。。只是今天復幾何上課老師順口說了一下等溫坐標，而我畢業論文寫不動看書也看不懂來做些別的事情）

基本的出發點就是複變函數裡面熟知的「全純或者反全純都是共形的映射」了。這個再具體一點說大概是這樣：

Lemma. （線性空間版本）假定 $(V,J)$ 是一個帶有復結構的實向量空間且 $dim_{mathbb R} V = 2$ ，而 $g$ 是 $V$ 上的一個內積且與復結構相容，那麼每個與復結構交換或反交換的實線性同構 $f : V o V$ 都是相對於 $g$ 共形的。

Proof. 換言之看成復向量空間的話這樣的 $f$ 就是複線性或者反線性的，下面只考慮交換的情況，反交換時沒有什麼區別。任取非零向量 $v in V$ ，由內積與復結構相容有 $g(v , Jv) = g(Jv,J^2v) = -g(Jv , v)$ ，故 $v$ 與 $Jv$ 正交，且顯然長度相同。那麼由 $f$ 與 $J$ 交換立即可知 $g(f(v) , f(Jv)) = g(f(v) , J f(v)) = 0$ 與 $g(f(Jv) , f(Jv)) = g(Jf(v) , Jf(v)) = g(f(v) , f(v))$ ，即 $f(v)$ 與 $f(Jv)$ 也正交，且長度仍然相同。因為 $f$ 是同構，引理得證。

Corollary. （流形版本）假定 $M$ 是一個黎曼面，即復一維的複流形，而 $g$ 是其上一個與復結構相容的黎曼度量，那麼 $M$ 的每個全純或反全純的自同構都是相對於 $g$ 共形的。

自然會考慮反過來的事情：

Lemma. （線性空間版本）假定有 $(V,J,g)$ 如上所述，那麼每個共形映射 $f : V o V$ 都是與復結構交換或反交換的，具體由 $f$ 是否改變定向而決定。

Proof. 同樣取一個非零向量 $v in V$ ，那麼已經知道 ${v,Jv}$ 是一組決定了定向的正交基且長度相同。由於 $f$ 是共形的，故 $f(v)$ 與 $f(Jv)$ 也是正交的且長度相同。但是現在只有二維，那麼必須 $f(Jv) = pm Jf(v)$ ，正負號的選取等價於 $f$ 是否改變定向。

Corollary. （流形版本）假定 $(M,g)$ 如上所述，那麼 $M$ 上的每個共形映射都是全純或者反全純的。

換言之，在黎曼面上「共形」和「全純」差不多是一回事。但是在問題的一開始，我們只有黎曼度量而沒有復結構，所以只能談論「共形」而無法談論「全純」。於是現在的問題是，給定一個黎曼流形，能否在其上給出一個相容的復結構？

一般來說當然是不行了，不過我們這裡有很多限制，最大的限制就是只考慮二維的情況。

Lemma. （線性空間版本）假定 $(V,g)$ 是一個二維實線性空間並且帶有內積，則其上只有兩個與內積相容的復結構，且二者互為共軛。

Proof. 要決定一個復結構 $J$ 只需要對某一個非零向量 $v$ 決定 $Jv$ 究竟是誰即可，因為只有二維。相容的條件告訴我們 $Jv$ 要與 $v$ 正交，且有相同的長度，但這樣的向量只有兩個且差一個負號。

Corollary. （向量叢版本）假定 $pi : E o M$ 是一個秩為 $2$ 的定向向量叢而 $g$ 是其上的一個叢度量，則其上存在唯一一個線性近復結構與度量相容且決定的定向與原來的定向相同。特別地，對一個二維定向黎曼流形 $(M,g)$ ，存在唯一一個近復結構與度量相容且誘導的定向與原定向相同。

這裡只是向量叢版本而不是流形版本，因為我們得到的這個近復結構是否可積還未可知。但是，回憶一個事實：

Theorem. （基本事實）二維黎曼流形上任一點附近總是存在等溫坐標系。

雖然微分幾何一定會說這個事情，但我並不會證這個命題，看證明也是看得要死，姑且就承認吧。（還是太分析了）

於是，給定一個二維定向黎曼流形 $(M,g)$ 及其上任一點，總有一個開集 $U$ 和其上的坐標 $(x,y)$ ，使得 $g vert_U = lambda(x,y)^2 , (mathrm d x^2 + mathrm d y^2)$ ，且不妨假定 $mathrm d x wedge mathrm dy$ 給出了這個定向。那麼顯然，上面確定的那個近復結構 $J$ 在局部表現為 $J frac{partial}{partial x} = frac{partial}{partial y} , J frac{partial}{partial y} = -frac{partial}{partial x}$ 。於是，若令 $z = x + i y$ 給出 $U$ 上的復坐標，則這個 $U$ 上的復結構誘導出來的近復結構恰好也就是如此。換言之，此近復結構是可積的，可積這個性質是局部的。於是我們證明了：

Proposition. （流形版本）給定一個二維定向黎曼流形，其上存在唯一一個復結構，使得它與黎曼結構相容且誘導的定向與原定向相同。更進一步，由於維數的限制，它是一個凱勒流形。

我們還是來嘗試看一下轉移函數。假定有兩個開集和其上的定向等溫坐標系 $(U,x,y)$ 與 $(V,u,v)$ ，如上所述給出復坐標 $z = x+iy$ 與 $w = u+iv$ ，那麼這兩個復坐標系之間的轉移函數如何？

在實的情形，轉移函數的微分的矩陣當然是 $egin{pmatrix}frac{partial u}{partial x} & frac{partial u}{partial y} \ frac{partial v}{partial x} & frac{partial v}{partial y}end{pmatrix}$ ，這本身並沒有任何特別的，特別之處在於等溫。設 $g vert_U = lambda(x,y)^2 , (mathrm d x^2 + mathrm d y^2)$ 與 $g vert_V = mu(u,v)^2 , (mathrm d u^2 + mathrm d v^2)$ ，那麼有等式 $egin{pmatrix}frac{partial u}{partial x} & frac{partial v}{partial x} \ frac{partial u}{partial y} & frac{partial v}{partial y}end{pmatrix} egin{pmatrix}mu^2 & 0 \ 0 & mu^2end{pmatrix} egin{pmatrix}frac{partial u}{partial x} & frac{partial u}{partial y} \ frac{partial v}{partial x} & frac{partial v}{partial y}end{pmatrix} = egin{pmatrix}lambda^2 & 0 \ 0 & lambda^2end{pmatrix}$ 。換言之，這個微分的矩陣乘以 $frac{mu}{lambda}$ 之後是正交矩陣。又因為定向，所以其實是在 $mathrm{SO}(2)$ 裡面的。標準的論證知道 $mathrm{SO}(2)$ 裡面的矩陣都是 $egin{pmatrix}a & -b \ b & aend{pmatrix}$ 這樣的，所以立即得到 $frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y} ， frac{partial u}{partial y} = - frac{partial v}{partial x}$ ，也就是柯西-黎曼方程。於是，兩個復坐標系之間的轉移函數是全純的，正如我們所預期的那樣。

比較關鍵的點大概在於，兩個李群 $mathrm{SO}(2)$ 和 $mathrm{U}(1)$ 是同構的。

最後我們嘗試把話說得更好聽一點。定義一個流形上的共形結構為給定一個黎曼度量的共形等價類，於是一個黎曼結構確定了一個共形結構。前面的定理表明，二維定向流形上的一個黎曼結構能確定一個復結構，且從證明過程中顯然兩個共形等價的黎曼度量給出相同的復結構，即一個共形結構能給出一個復結構。

反過來，給定一個復結構，我們考慮與復結構相容的黎曼度量。這樣的度量當然是存在的，但有很多。但二維的時候比較特別：

Lemma. （線性空間版本）假定 $(V,J)$ 是一個二維實線性空間帶有復結構，而 $g_1 , g_2$ 是其上的內積且與復結構相容，則這兩個內積共形等價。

Proof. 與前面一樣，隨便取一個非零向量 $v in V$ 考慮即可，證明很簡單。

Corollary. （流形版本）假定 $M$ 是一個黎曼面，則其上所有與復結構相容的度量都相互共形等價。

換言之，在一個二維流形上給定一個復結構，就存在唯一一個共形結構與其相容，即此等價類中的任一黎曼度量都與復結構相容。

從已經得到的這兩個「存在唯一」容易看出：

Proposition. 一個二維定向流形，其上的復結構與共形結構有一個自然的一一對應。

那麼回到問題的開始，我們試圖考慮與一個二維流形上的共形結構相關的事情，那麼使用復坐標是很自然的了，也沒有損失任何的東西，因為這個復結構是被唯一確定的；想要考慮共形的變換，完全等價於考慮全純或者反全純的變換。這不僅在局部是正確的，而且在整體來看也是正確的。

說個題外話：之前看弦論的時候，大家動不動就是把度規變成 $egin{pmatrix}h & 0 \ 0 & hend{pmatrix}$ 的樣子，理由不外乎是「規範等價」「數一數自由度」之類的。當時一直想不清楚為什麼，現在突然想起來，這就是等溫坐標啊。這件事往壞了說就是「物理學家們真不嚴謹，這麼不顯然的事情也敢直接往上寫，幸好對了」，往好了說就是「物理學家們真厲害，數自由度這個方法用到天荒地老都沒問題」。一想到我的畢業論文差不多也是把「數自由度」數出來的東西重新嚴格數一遍，不免感慨萬千。

另一個題外話：這裡當然只考慮黎曼度量，即正定的情況；如果要考慮洛倫茲度量，又該怎麼辦？當然，我不打算繼續考慮下去了。