「廣義相對論的鑰匙：張量」專題之三

04-29

「張量」是稍微高級一點的數學概念，這一系列的專題文章會對「張量是什麼」儘力去解釋，但是閱讀需要一定的線代基礎。有興趣學習線代基礎的同學，可以參加我們的「線代基礎課程」（報名方法：關注微信公眾號：馬同學高等數學，公眾號ID：matongxue314，點擊菜單欄的「線代課程」）。

專題的過往文章：

「廣義相對論的鑰匙：張量」專題之一
「廣義相對論的鑰匙：張量」專題之二

上一節，我們研究了向量空間以及其中的向量：

向量空間的基和向量都是張量：

下面來介紹線性代數中另外一個重要組成部分，余向量以及對偶空間。

1 余向量

1.1 什麼是余向量（covector）？

空間中的直線、平面這些「線性」的幾何對象，也是線性代數所關心的。

比如平面中的一條直線，很顯然與坐標無關，是一個幾何對象：

此直線在不同的基下有不同的代數表示：

直線符合之前說的張量的特點：

直線是一個幾何對象，它與基無關
不同的基下，有不同的代數表達
並且，不同的坐標值之間有明確的轉換規則

表示直線、平面這些「線性」的幾何對象的就是余向量，也是張量的一種。

1.2 余向量的細節

剛才的直線，在直角坐標系下：

對應的直線方程為：

$2x+y=0$

在正交單位基下，可以用這個式子來表示：

此處，可認為行向量 $egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}$ ，就代表了這根直線，也就是所謂的余向量。

更嚴格來說，應該把余向量看作表示這根直線的線性函數：

$mathcal{L}(overrightarrow {v})=0$

給行向量一個符號：

$alpha =egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}$

那麼，這樣表示看著是不是更像函數：

值得注意的是，余向量是 $egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}$ 的話，它代表的線性函數並沒有指定等號右邊必須為0：

實際上，它代表了所有平行的直線。

寫成線性函數的樣子就是這樣的：

1.3 余向量的幾何表示方法

介紹一下余向量的幾何表示方法，還是拿余向量 $egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}$ 來說事吧。

提醒一下， $egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}$ 是在單位正交基下得到的，所以下面的幾何表示方法也是在單位正交基下。

余向量表示的是一系列平行的直線，所以把這些平行的直線都畫出來（為了不顯得太亂，只畫出單位正交基，不畫出網格了）：

下面和右面標出的數字指明了是哪一根直線，比如：

上圖數字6對應的就是下面這根直線：

$egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}=6$

如果有某個向量和其中一根直線相交，比如：

向量 $egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}$ 和直線3相交，這是因為：

$egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}=3$

這樣的幾何表示方法可以幫助後面更好的理解和展示余向量。

2 對偶空間

2.1 余向量的線性組合

我們來定義一下余向量的：

數乘： $(nalpha )(overrightarrow {v})=nalpha (overrightarrow {v})$
加法： $(alpha +eta )(overrightarrow {v})=alpha (overrightarrow {v})+eta (overrightarrow {v})$

其中 $alpha ,eta$ 是余向量。

這樣定義是合理的、自洽的，用具體的值來試算一下，令：

$alpha =egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}quad eta =egin{pmatrix} 1 & 2 end{pmatrix}$

數乘：

$egin{pmatrix} ncdot 2 & ncdot 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}=ncdot egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$

加法：

$(egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}+egin{pmatrix} 1 & 2 end{pmatrix})egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}=egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}+egin{pmatrix} 1 & 2 end{pmatrix}egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$

從幾何直觀來看， $alpha$ 對應的直線是：

而 $eta$ 對應的直線是：

而 $alpha +eta =egin{pmatrix} 3 & 3 end{pmatrix}$ 對應的直線是：

可以認為這根直線是之前兩根直線的線性組合。

2.2 對偶空間

向量空間定義是這樣的：

設 $V$ 為一向量組，如果 $V$ 非空，且 $V$ 對於向量的加法及數乘兩種運算封閉，那麼就稱 $V$ 為向量空間。所謂封閉，是指在 $V$ 中向量進行數乘和加減，其結果依然在 $V$ 中。具體的說，就是:

若 $overrightarrow {a}in V,overrightarrow {b}in V$ ，則 $overrightarrow {a}+overrightarrow {b} in V$
若 $overrightarrow {a}in V,kin mathbb {R}$ ，則 $koverrightarrow {a} in V$

也就是說，向量空間 $V$ 是對向量的數乘和加法封閉的空間。

同樣的道理，有個數乘和加法之後就可以定義對偶空間了。

對於余向量的數乘和加法封閉的空間，稱為對偶空間，一般記為 $V^*$ （其實余向量也是向量，對偶空間也是向量空間）。

3 坐標轉換

3.1 余向量的基

對於向量而言：

首先要把向量用基來表示，才能去討論如何進行坐標轉換：

$overrightarrow {v}=v^1overrightarrow {e_1}+v^2overrightarrow {e_2}quad overrightarrow {v}=v^1overrightarrow {e_1}+v^2overrightarrow {e_2}$

所以要談論余向量在不同坐標下的表示：

首先要定義出余向量的基。

說來也簡單，定義這樣一個線性函數作為余向量的基（余向量的基用的是上標，也就是說它是逆變數，這個後面再解釋）：

$egin{cases} epsilon ^1(overrightarrow {e_1})=1quad epsilon ^1(overrightarrow {e_2})=0 \ epsilon ^2(overrightarrow {e_1})=0quad epsilon ^2(overrightarrow {e_2})=1 end{cases}$

上面用 $epsilon$ 來表示余向量的基，看著和向量的基 $overrightarrow {e}$ 有點像，但是又可以區分開來。

這樣的定義也不難理解，對於單位正交基下的余向量 $egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}$ ，它的基是：

$egin{cases} epsilon ^1=egin{pmatrix} 1 & 0 end{pmatrix}\ epsilon ^2=egin{pmatrix} 0 & 1 end{pmatrix}end{cases}$

驗算一下：

$egin{cases} epsilon ^1(overrightarrow {e_1})=egin{pmatrix} 1 & 0 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}=1 \ epsilon ^1(overrightarrow {e_2})=egin{pmatrix} 1 & 0 end{pmatrix}egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix}=0 \ epsilon ^2(overrightarrow {e_1})=egin{pmatrix} 0 & 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}=0 \ epsilon ^2(overrightarrow {e_2})=egin{pmatrix} 0 & 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix}=1 end{cases}$

可見，這樣的定義是符合直覺的。之前我們的余向量也可以用基的線性組合來表示：

$egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}=2egin{pmatrix} 1 & 0 end{pmatrix}+1egin{pmatrix} 0 & 1 end{pmatrix}$

為了更方便記憶，引入一個函數，可見我們只需要關心 $i,j$ 是否相等：

$epsilon ^ i(overrightarrow {e_ j})=delta _{ij}= egin{cases} 1quad i=j\ 0quad i e j end{cases}$

來看下這兩個基的幾何表示（標出 $-2,0,2$ 方便知道哪邊是正、哪邊是負）：

$overrightarrow {e_1}$ 與直線交於1， $overrightarrow {e_2}$ 與直線交於0，是符合之前關於余向量的基的定義的。

另外一個基：

余向量用基的線性組合來表示：

上面是用單位正交基來舉的例子，後面我用代數推一下，證明余向量可以被基線性表示。

3.2 余向量的基作用在向量上

先來算一下，余向量的基和向量之間的計算結果是什麼？

$egin{align*} epsilon ^1(overrightarrow {v}) & =epsilon ^1(v^1overrightarrow {e_1}+v^2overrightarrow {e_2})\ & =epsilon ^1(v^1overrightarrow {e_1})+epsilon ^1(v^2overrightarrow {e_2})\ & =v^1underbrace{epsilon ^1(overrightarrow {e_1})}_{1}+v^2underbrace{epsilon ^1(overrightarrow {e_2})}_{0}\ & =v^1 end{align*}$

同理：

$egin{align*} epsilon ^2(overrightarrow {v}) & =epsilon ^2(v^1overrightarrow {e_1}+v^2overrightarrow {e_2})\ & =epsilon ^2(v^1overrightarrow {e_1})+epsilon ^1(v^2overrightarrow {e_2})\ & =v^1underbrace{epsilon ^2(overrightarrow {e_1})}_{0}+v^2underbrace{epsilon ^2(overrightarrow {e_2})}_{1}\ & =v^2 end{align*}$

看來，余向量的基有把坐標的分量分離出來的作用：

$egin{cases} v^1=epsilon ^1(overrightarrow {v})\ v^2=epsilon ^2(overrightarrow {v}) end{cases}$

這點從幾何上也可以看出，比如，這個向量與 $epsilon ^1$ 交於 $1$ ：

與 $epsilon ^2$ 交於 $2$ :

上面這個向量確實就是：

3.3 余向量通過基來表示

把之前的余向量用符號來表示：

$alpha =egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}$

看看它是怎麼作用到向量上的：

$egin{align*} alpha (overrightarrow {v}) & =alpha (v^1overrightarrow {e_1}+v^2overrightarrow {e_2})\ & =alpha (v^1overrightarrow {e_1})+alpha (v^2overrightarrow {e_2})\ & =v^1alpha (overrightarrow {e_1})+v^2alpha (overrightarrow {e_2}) end{align*}$

令：

$alpha (overrightarrow {e_1})=a_1quad alpha (overrightarrow {e_2})=a_2$

其中， $a_1,a_2in mathbb {R}$ （余向量是輸入向量，輸出實數的線性函數）

並且根據剛才的結論：

$egin{cases} v^1=epsilon ^1(overrightarrow {v})\ v^2=epsilon ^2(overrightarrow {v}) end{cases}$

所以上式可以變為：

$egin{align*} alpha (overrightarrow {v}) & =v^1alpha (overrightarrow {e_1})+v^2alpha (overrightarrow {e_2})\ & =epsilon ^1(overrightarrow {v})a_1+epsilon ^2(overrightarrow {v})a_1\ & =(a_1epsilon ^1+a_2epsilon ^2)(overrightarrow {v}) end{align*}$

可見余向量可以由余向量的基來線性表示：

$alpha =a_1epsilon ^1+a_2epsilon ^2$

其中：

$egin{cases} a_1=alpha (overrightarrow {e_1})\ a_2=alpha (overrightarrow {e_2}) end{cases}$

$a_1,a_2$ 可以稱為此基下的坐標，我這裡用的是下標，大家應該就明白是協變數了，後面還會對此進行說明。

3.4 小結

停頓下，至此，得到了下面這些結論，注意，雖然上面舉例子畫圖用的是單位正交基，但是下面的結論對所有基都成立。

余向量的基的定義：

$epsilon ^ i(overrightarrow {e_ j})=delta _{ij}= egin{cases} 1quad i=j\ 0quad i e j end{cases}$

余向量與向量之間的作用：

$v^ i=epsilon ^ i(overrightarrow {v})$

余向量用基來表示（用了愛因斯塔標記法，把 $sum$ 符號去掉了）：

$alpha =a_ iepsilon ^ i$

其中：

$a_ i=alpha (overrightarrow {e_ i})$

4 轉換規則

終於做好準備了，讓我們看看在不同基下余向量應該怎麼轉換吧。

4.1 明確目標

用實際的例子進行說明，在這兩個基下，余向量應該怎麼表示：

上圖中的左邊的基就是單位正交基，代數形式為：

$vec{e_1}=egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}quad vec{e_2}=egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix}$

上圖中的右邊的基為：

$vec{e_1}=egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}quad vec{e_2}=egin{pmatrix} -1 \ 1 end{pmatrix}$

兩個基的轉換圖為：

轉換矩陣具體是：

$F=egin{pmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{pmatrix}quad B=egin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \ -0.5 & 0.5 end{pmatrix}$

4.2 余向量的轉換

根據之前我們得出的結論：

$alpha =a_ iepsilon ^ i$

其中：

$a_ i=alpha (overrightarrow {e_ i})$

可知，余向量的坐標可以由余向量與基來決定。

根據這個結論，其實可以通過幾何看出余向量是什麼。比如，之前 $egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}$ ：

$overrightarrow {e_1}$ 與余向量交於 $2$ ， $overrightarrow {e_2}$ 與余向量交於 $1$ ，所以余向量為 $egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}$ 。

在我們關心的另外一個基下：

$overrightarrow {e_1}$ 與余向量交於 $3$ ， $overrightarrow {e_2}$ 與余向量交於 $-1$ ，所以余向量為 $egin{pmatrix} 3 & -1 end{pmatrix}$ 。

從代數上這麼求：

$egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}F=egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{pmatrix}=egin{pmatrix} 3 & -1 end{pmatrix}$

轉回來可以這麼算：

$egin{pmatrix} 3 & -1 end{pmatrix}B=egin{pmatrix} 3 & -1 end{pmatrix}egin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \ -0.5 & 0.5 end{pmatrix}=egin{pmatrix} 2 & 1 end{pmatrix}$