聲輻射阻抗

聲源與介質都是運動的載體,聲源在媒介中運動使媒介產生稀疏交替的形變,在這個過程中聲源對媒介施加了力或者說做了功,從這個角度來看,媒介(比如空氣和水)可以看成是聲源的一個負載(可以類比電路中的電阻、電感、電容這些負載),而形容負載能力可以類比電阻抗,聲學裡叫聲阻抗。

形象化的球面波(圖片來自百度,具體出處沒找到,侵刪)

先分析下聲源對媒介施加的作用力,這個可以從反作用力著手,這個反作用力的大小等於聲源表面的聲壓 p 與其面積 S 乘積來算,比如球

F_r=-S*p|_{r=r_0}

球的情況比較簡單,簡單分析下。下面是公式部分,可以忽略


從波動方程出發可以得到球面波解

p=frac{A}{r}exp(jwt-jkr)

很直觀,距離越遠聲音越小。聲場中質點振速

v=-frac{1}{
ho}int_{}^{}frac{partial p}{partial r}dt=-frac{A}{ r
ho c }(1+1/jkr)exp(jwt-jkr)

小球表面振速

u=u_0exp(jwt-jkr_0)

利用邊界條件 v|_{r=r_0}=u 可以解得

frac{A}{r_0}=frac{
ho ckr_0u_0}{1+(kr_0)^2}(kr_0+j)

那麼反作用力為

F_r=-
ho c{frac{(kr_0)^2}{ [1+(kr_0)^2]}+jfrac{kr_0}{ [1+(kr_0)^2]}}Su


如果將表面振速看為系統輸入量,而作用力看為系統輸出量的話,則可以得到作用力對振速的響應函數(即聲阻抗)

I(k)=-F_r/u=
ho cS{frac{(kr_0)^2}{ [1+(kr_0)^2]}+jfrac{kr_0}{ [1+(kr_0)^2]}}

k=2pi f/c

其幅頻響應圖

脈動小球源聲阻抗響應幅頻響應

聲阻抗中有實部、虛部,實部代表著損耗項,反映了聲源能量的損耗,能量以聲波的形式傳播出去了,而虛部代表著能量的貯存。從曲線可以看出,在聲源尺寸一定的時候,頻率越高損耗越厲害。


附:公式部分的詳細推導見《聲學基礎》第三版P203


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