聲輻射阻抗

04-29

聲源與介質都是運動的載體，聲源在媒介中運動使媒介產生稀疏交替的形變，在這個過程中聲源對媒介施加了力或者說做了功，從這個角度來看，媒介（比如空氣和水）可以看成是聲源的一個負載（可以類比電路中的電阻、電感、電容這些負載），而形容負載能力可以類比電阻抗，聲學裡叫聲阻抗。

形象化的球面波（圖片來自百度，具體出處沒找到，侵刪）

先分析下聲源對媒介施加的作用力，這個可以從反作用力著手，這個反作用力的大小等於聲源表面的聲壓 p 與其面積 S 乘積來算，比如球

$F_r=-S*p|_{r=r_0}$

球的情況比較簡單，簡單分析下。下面是公式部分，可以忽略

從波動方程出發可以得到球面波解

$p=frac{A}{r}exp(jwt-jkr)$

很直觀，距離越遠聲音越小。聲場中質點振速

$v=-frac{1}{ ho}int_{}^{}frac{partial p}{partial r}dt=-frac{A}{ r ho c }(1+1/jkr)exp(jwt-jkr)$

小球表面振速

$u=u_0exp(jwt-jkr_0)$

利用邊界條件 $v|_{r=r_0}=u$ 可以解得

$frac{A}{r_0}=frac{ ho ckr_0u_0}{1+(kr_0)^2}(kr_0+j)$

那麼反作用力為

$F_r=- ho c{frac{(kr_0)^2}{ [1+(kr_0)^2]}+jfrac{kr_0}{ [1+(kr_0)^2]}}Su$

如果將表面振速看為系統輸入量，而作用力看為系統輸出量的話，則可以得到作用力對振速的響應函數（即聲阻抗）

$I(k)=-F_r/u= ho cS{frac{(kr_0)^2}{ [1+(kr_0)^2]}+jfrac{kr_0}{ [1+(kr_0)^2]}}$

$k=2pi f/c$

其幅頻響應圖

脈動小球源聲阻抗響應幅頻響應

聲阻抗中有實部、虛部，實部代表著損耗項，反映了聲源能量的損耗，能量以聲波的形式傳播出去了，而虛部代表著能量的貯存。從曲線可以看出，在聲源尺寸一定的時候，頻率越高損耗越厲害。

附：公式部分的詳細推導見《聲學基礎》第三版P203