素理想在擴域中的分解（1）

04-29

代數數論的一個重要主題是刻畫素理想在擴域中的分解情況。這篇筆記我們討論Galois擴張（或者更強：Abel擴張）的情形。在Galois擴張中，素理想的分解形式非常「整齊」：

定理1. 假設 $K$ 是一個數域， $L$ 是 $K$ 的（有限）Galois擴張。 $A$ 是 $mathbb{Z}$ 在 $K$ 中的整閉包， $B$ 是 $A$ 在 $L$ 中的整閉包， $mathfrak{p}$ 是 $K$ 中的非零素理想。那麼 $mathfrak{p}$ 在 $B$ 中分解為： $mathfrak{p}B=(mathfrak{B}_{1}mathfrak{B}_{2}cdotcdotcdotmathfrak{B}_{g})^{e}$ ，這裡 $mathfrak{B}_{i}$ 是 $B$ 中素理想。

由於在Galois情形下每個 $mathfrak{p}$ 上素理想的分歧指數 $e$ 相同，剩餘域擴張次數 $f$ 也相同，所以當我們想刻畫 $e$ 和 $f$ 時，只需要考慮其中任何一個素理想。描述 $e,f,g$ 三個量的方法是把它們和Galois群 $ext{Gal}(L/K)$ 的某些子群聯繫起來：分解群和慣性群描述的就是 $mathfrak{p}$ 上某個素理想分裂、分歧的情況。然而還不能完全確定這些群內部「長什麼樣子」（除了特殊情形如二次域和分圓域），因此不嚴格地，我們稱之為對素理想分解「invisible」的描述方式。

後續的筆記我們會說明Frobenius element $ext{Frob}_{mathfrak{p}}$ 確定了素理想的分解情況，以及idele class group和Ray class group是相對「visible」的對象，因此一旦確定了 $ext{Frob}_{mathfrak{p}}$ 在idele class group和Ray class group的樣子，便可以更清晰地描述素理想的分解。

（一）Local-global

一開始我們說：「Galois情形下每個 $mathfrak{p}$ 上素理想的分歧指數 $e$ 相同，剩餘域擴張次數 $f$ 相同，只需要考慮其中任何一個。」這個意思就是，我們可以通過局部的情形來反映整體的情形，這個準則被描述成下面兩個引理：

引理1. $K$ 是一個數域， $L$ 是 $K$ 的有限可分擴張， $mathfrak{p}$ 是 $K$ 中的非零素理想。 $L$ 中 $mathfrak{p}$ 上的非零素理想為 $mathfrak{q}_{1},....mathfrak{q}_{g}$ ， $f= ext{irr}(alpha,K)$ , $L=K(alpha)$ 。那麼有同構： $Lotimes_{K}K_{mathfrak{p}}=prod_{i=1}^{g}L_{mathfrak{q}_{i}}$ 。具體地， $f$ 在 $K_{mathfrak{p}}$ 中分解為 $g$ 個不可約多項式 $f_{i}$ 的乘積，調整下標後有： $K_{mathfrak{p}}[x]/(f_{i}(x))simeq L_{mathfrak{q}_{i}}$ ，並且 $[L:K]= ext{deg}f=sum_{i=1}^{g} ext{deg}f_{i}=sum_{i=1}^{g}[L_{mathfrak{q}_{i}}:K_{mathfrak{p}}]$ 。

引理2. $K$ 是一個數域， $L$ 是 $K$ 的有限可分擴張， $mathfrak{p}$ 是 $K$ 中的非零素理想。 $mathfrak{q}$ 是 $L$ 中 $mathfrak{p}$ 上的非零素理想。那麼： $e(mathfrak{q}B_{mathfrak{q}}/mathfrak{p}A_{mathfrak{p}})=e(mathfrak{q}/mathfrak{p}),f(mathfrak{q}B_{mathfrak{q}}/mathfrak{p}A_{mathfrak{p}})=f(mathfrak{q}/mathfrak{p})$ 。

第一個引理是說 $mathfrak{p}$ 完全分解等價於每個 $L_{mathfrak{q}}$ 不帶來 $K_{mathfrak{p}}$ 的擴張：

$mathfrak{p}$ 完全分解 $Leftrightarrow g=[L:K]Leftrightarrow ext{For every}~mathfrak{q}_{i}~,~[L_{mathfrak{q}_{i}}:K_{mathfrak{p}}]=1$

第二個引理是說，整體域的剩餘域擴張、分歧的情形和局部域上的情況一樣。

我們關心的是Galois擴張的情形，這時每個 $mathfrak{p}$ 上素理想的分歧指數 $e$ 相同，剩餘域擴張次數 $f$ 相同，再結合引理2，我們發現每個 $[L_{mathfrak{q}_{i}}:K_{mathfrak{p}}]$ 也相同。那麼引理1最後那個等式就可以寫成： $[L:K]=g[L_{mathfrak{q}}:K_{mathfrak{p}}]=gef=ge(mathfrak{q}B_{mathfrak{q}}/mathfrak{p}A_{mathfrak{p}})f(mathfrak{q}B_{mathfrak{q}}/mathfrak{p}A_{mathfrak{p}})$ 。

Ex1. $L/K$ Galois時， $L_{mathfrak{q}}/K_{mathfrak{p}},l/k$ 也是Galois擴張。（ $l,k$ 分別是 $B,A$ 的剩餘域）

（二）分解群（為了描述 $g$ ）

首先我們注意到下面的性質：

Ex2. $ext{Gal}(L/K) imes{ ext{nonzero prime ideals over}~mathfrak{p}} ightarrow { ext{nonzero prime ideals over}~mathfrak{p}}$ 是一個可遷作用（transitive action）

而我們知道對於可遷作用： $G imes X ightarrow X$ ，有雙射： $G/ ext{Stab}(x)leftrightarrow X$ 。因此在上面的作用里， $mathfrak{p}$ 上素理想的個數 $g=#{ ext{nonzero prime ideals over}~mathfrak{p}}=# ext{Gal}(L/K)/ ext{Stab}({mathfrak{q}})$ ，其中 $mathfrak{q}$ 是 $mathfrak{p}$ 上任一個非零素理想。這裡 $ext{Gal}(L/K)$ 的子群 $ext{Stab}({mathfrak{q}})$ 稱為 ${mathfrak{q}}$ 的分解群，記為 $D_{mathfrak{q}}$ 。於是立即得到：

${mathfrak{q}}$ 在 $L$ 中完全分解 $Leftrightarrow$ $g=# ext{Gal}(L/K)/ ext{Stab}({mathfrak{q}})=# ext{Gal}(L/K)$ $Leftrightarrow$ $D_{mathfrak{q}}={1}$

由此可知，分解群描述的是 $mathfrak{p}$ 在 $L$ 中分裂情況： $D_{mathfrak{q}}$ 越大， $mathfrak{p}$ 分裂出的素理想越少。

Ex3. $ext{Gal}(L_{mathfrak{q}}/K_{mathfrak{p}})simeq D_{mathfrak{q}}$

這裡我們還要更細緻地描述 $mathfrak{p}$ 是怎麼分裂的。下面的討論都假設 $L/K$ 是Abel擴張。假設 $D_{mathfrak{q}}$ 在Galois對應下的域為 $Z_{mathfrak{q}}$ ，考慮extension tower： $Ksubset Z_{mathfrak{q}}subset L$ ；假設 $mathfrak{q} cap Z_{mathfrak{q}}=mathfrak{q}_{Z}$ 。

由Galois基本定理立即可知： $D_{mathfrak{q}}= ext{Gal}(L/Z_{mathfrak{q}})$ ， $ext{Gal}(Z_{mathfrak{q}}/K)= ext{Gal}(L/K)/ ext{Gal}(L/Z_{mathfrak{q}})$ ；由分解群的定義： $# ext{Gal}(Z_{mathfrak{q}}/K)=# ext{Gal}(L/K)/ ext{Gal}(L/Z_{mathfrak{q}})=gRightarrow#D_{mathfrak{q}}=# ext{Gal}(L/Z_{mathfrak{q}})=ef$ 。

Claim1. $mathfrak{q}_{Z}$ 在 $L$ 中不分裂，並且 $e(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{Z})=e,f(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{Z})=f$ ; $e(mathfrak{q}_{Z}/mathfrak{q})=1,f(mathfrak{q}_{Z}/mathfrak{q})=1$ 。

Proof. 對於第一個斷言，我們只需要考慮在Galois擴張 $Z_{mathfrak{q}}subset L$ 中， $mathfrak{q}$ 的分解群 $D^{prime}_{mathfrak{q}}$ 。事實上，根據定義可知 $ext{Gal}(L/Z_{mathfrak{q}})$ 中任一個元素都固定 $mathfrak{q}$ ，那麼 $D^{prime}_{mathfrak{q}}= ext{Gal}(L/Z_{mathfrak{q}})=D_{mathfrak{q}}$ ， $mathfrak{q}_{Z}$ 上素理想個數為 $# ext{Gal}(L/Z_{mathfrak{q}})/D^{prime}_{mathfrak{q}}=1$ 。其次，注意到：

(1) $e(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{Z})f(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{Z})cdot1=[L:Z_{mathfrak{q}}]=#D_{mathfrak{q}}=ef$ ;

(2) $e(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{Z})e(mathfrak{q}_{Z}/mathfrak{q})=e,f(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{Z})f(mathfrak{q}_{Z}/mathfrak{q})=f$ 。

所以， $e(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{Z})=e,f(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{Z})=f$ ; $e(mathfrak{q}_{Z}/mathfrak{q})=1,f(mathfrak{q}_{Z}/mathfrak{q})=1$ 。

因此這個過程可看作： $mathfrak{p}$ 先在 $Z_{mathfrak{q}}$ 中分裂成 $g$ 個不同素理想，但剩餘域不發生擴張，也不發生分歧。然後這 $g$ 個不同素理想在 $L$ 分歧（分歧指數為 $e$ ），剩餘域發生 $f$ 次擴張，不再分裂出新的素理想。

然而我們還不清楚這 $g$ 個不同素理想到底是在 $Z_{mathfrak{q}}subset L$ 的哪個中間域發生的剩餘域的擴張和分歧，為此我們需要考慮慣性群。

（三）慣性群（為了描述 $e$ ）

第一種定義方式：

定義 ${mathfrak{q}}$ 的慣性群 $I_{mathfrak{q}}$ 為 $ext{Ker}(D_{mathfrak{q}} ightarrow ext{Gal}(l/k))$ 。（Ex1和 $D_{mathfrak{q}}$ 的定義使得該映射是良定義的）

那麼我們立即發現 $#I_{mathfrak{q}}=e$ 。因此 ${mathfrak{q}}$ 不分歧 $Leftrightarrow$ $I_{mathfrak{q}}={1}$ 。

Ex4. $D_{mathfrak{q}} ightarrow ext{Gal}(l/k)$ 是滿射

第二種定義方式：

首先我們回憶局部域非分歧擴張的性質（注意我們說「非分歧」指的是分歧指數為 $1$ 並且剩餘域擴張是可分的）：

引理3. 設 $K$ 是一個局部域， $k$ 是其剩餘域， $L/K$ 是有限可分擴張。那麼我們有一一對應：

{包含在 $L$ 中的 $K$ 的非分歧擴張 $K^{prime}$ } $Leftrightarrow$ {包含在 $l$ 中的 $k$ 的有限可分擴張 $l^{prime}$ }

並且成立： $[K^{prime}:K]=[k^{prime}:k]$ ; $K^{prime}/K$ Galois $Leftrightarrow$ $k^{prime}/k$ Galois， $ext{Gal}(K^{prime}/K)simeq ext{Gal}(k^{prime}/k)$ 。

對於Abel擴張 $L/K$ ，假設 $K_{0}$ 包含於 $L_{mathfrak{q}}$ 的 $K_{mathfrak{p}}$ 的最大非分歧擴張，剩餘域分別為 $l_{mathfrak{q}},k_{mathfrak{p}}$ 。注意到我們考慮的是數域的Abel擴張，所以 $l_{mathfrak{q}}/k_{mathfrak{p}}$ 是可分的（它們都是有限域的有限擴張）。那麼由引理3可知 $ext{Gal}(K_{0}/K_{mathfrak{p}})simeq ext{Gal}(l_{mathfrak{q}}/k_{mathfrak{p}})$ 。

這裡定義慣性群 $I_{mathfrak{q}}={sigmain ext{Gal}(L_{mathfrak{q}}/K_{mathfrak{p}})|~sigma xequiv x~ ext{mod}~mathfrak{q}, ext{for all}~xin B_{mathfrak{q}}}$ ，注意到這和第一種定義是一樣的。其次在這裡可以把 $I_{mathfrak{q}}$ 看作 $ext{Ker}( ext{Gal}(L_{mathfrak{q}}/K_{mathfrak{p}}) ightarrow ext{Gal}(l_{mathfrak{q}}/k_{mathfrak{p}}))$ ，即可得同構：

$ext{Gal}(L_{mathfrak{q}}/K_{mathfrak{p}})/I_{mathfrak{q}}= ext{Gal}(K_{0}/K_{mathfrak{p}})simeq ext{Gal}(l_{mathfrak{q}}/k_{mathfrak{p}})$ 。

以及exact sequence： $1 ightarrow I_{mathfrak{q}} ightarrow D_{mathfrak{q}} ightarrow ext{Gal}(l_{mathfrak{q}}/k_{mathfrak{p}})= ext{Gal}(l/k) ightarrow1$

對於extension tower： $Ksubset Z_{mathfrak{q}}subset T_{mathfrak{q}}subset L$ ，設 $I_{mathfrak{q}}$ 在Galois對應下的域為 $T_{mathfrak{q}}$ ，由Galois基本定理立即得到：

$ext{Gal}(L/T_{mathfrak{q}})=I_{mathfrak{q}}, ext{Gal}(T_{mathfrak{q}}/Z_{mathfrak{q}})=Z_{mathfrak{q}}/I_{mathfrak{q}}$ ；

$# ext{Gal}(T_{mathfrak{q}}/K)=fg,# ext{Gal}(T_{mathfrak{q}}/Z_{mathfrak{q}})=f$ 。

Ex5. 只要求 $L_{mathfrak{q}}/K_{mathfrak{p}}$ 是Galois擴張（不必Abel），也可得到 $I_{mathfrak{q}}$ 是 $ext{Gal}(L_{mathfrak{q}}/K_{mathfrak{p}})$ 的正規子群。

與討論分解群的時候一樣，我們考察 $mathfrak{p}$ 在 $Ksubset Z_{mathfrak{q}}subset T_{mathfrak{q}}subset L$ 中的分解過程，設 $mathfrak{q} cap T_{mathfrak{q}}=mathfrak{q}_{T}$ 。

Claim2. $e(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{T})=e,f(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{T})=1;e(mathfrak{q}_{T}/mathfrak{q}_{Z})=1,f(mathfrak{q}_{T}/mathfrak{q}_{Z})=f$ 。

Proof. 首先我們考察 $Z_{mathfrak{q}}subset T_{mathfrak{q}}$ 中 $mathfrak{q}_{T}$ 的分解群 $D^{prime}_{mathfrak{q}_{T}}$ ，由定義可知其分解群即 $ext{Gal}(T_{mathfrak{q}}/Z_{mathfrak{q}})$ 。即 $mathfrak{q}_{Z}$ 在 $T_{mathfrak{q}}$ 中不分裂(分裂已在 $Ksubset Z_{mathfrak{q}}$ 完成），於是：

$e(mathfrak{q}_{T}/mathfrak{q}_{Z})f(mathfrak{q}_{T}/mathfrak{q}_{Z})cdot1=[T_{mathfrak{q}}:Z_{mathfrak{q}}]=f$ 。

其次，考慮 $T_{mathfrak{q}}subset L$ 中 $mathfrak{q}$ 的慣性群 $I^{prime}_{mathfrak{q}}= ext{Ker}(D^{prime}_{mathfrak{q}} ightarrow ext{Gal}(l/l({mathfrak{q}_{T}})))$ ，這裡 $l({mathfrak{q}_{T}})$ 是 $T_{mathfrak{q}}/K$ 的剩餘域；以及 $Ksubset L$ 中 ${mathfrak{q}}$ 的慣性群 $I_{mathfrak{q}}= ext{Ker}(D_{mathfrak{q}} ightarrow ext{Gal}(l/k))$ ，根據定義可知二者相等：

$T_{mathfrak{q}}subset L$ 中 ${mathfrak{q}}$ 的分解群 $D^{prime}_{mathfrak{q}}$ 是 $ext{Gal}(L/T_{mathfrak{q}})subset ext{Gal}(L/Z_{mathfrak{q}})=D_{mathfrak{q}}$ 中固定 $mathfrak{q}$ 的元素，即 $ext{Gal}(L/T_{mathfrak{q}})$ ，於是 $I^{prime}_{mathfrak{q}}= ext{Ker}(I_{mathfrak{q}} ightarrow ext{Gal}(l/l({mathfrak{q}_{T}})))=I_{mathfrak{q}}$ 。而Ex4告訴我們 $I_{mathfrak{q}} ightarrow ext{Gal}(l/l({mathfrak{q}_{T}}))$ 是滿射，因此 $ext{Gal}(l/l({mathfrak{q}_{T}}))={1}$ 。

於是 $T_{mathfrak{q}}$ 和 $L$ 的剩餘域相同： $l=l({mathfrak{q}_{T}})$ ， $f(mathfrak{q}_{T}/mathfrak{p})=f(mathfrak{q}/mathfrak{p})=f$ 。那麼：

$f(mathfrak{q}_{T}/mathfrak{p})=f(mathfrak{q}_{T}/mathfrak{q}_{Z})f(mathfrak{q}_{Z}/mathfrak{p})=f(mathfrak{q}_{T}/mathfrak{q}_{Z})=f$ ；

$e(mathfrak{q}_{T}/mathfrak{q}_{Z})=1$ ， $f(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{T})=1$ ， $e(mathfrak{q}/mathfrak{q}_{T})=e$ 。

總結下來就是， $mathfrak{p}$ 在 $Ksubset Z_{mathfrak{q}}subset T_{mathfrak{q}}subset L$ 中的分解過程為：

$mathfrak{p}$ 先在 $Z_{mathfrak{q}}$ 中分裂成 $g$ 個不同素理想，但剩餘域不發生擴張，也不發生分歧；

這 $g$ 個不同素理想在 $T_{mathfrak{q}}$ 中發生次數為 $f$ 的剩餘域擴張，但仍然不發生分歧；

$T_{mathfrak{q}}$ 中 $g$ 個不同素理想在 $L$ 中發生分歧。

即分裂、剩餘域擴張、分歧分別只在第一次、第二次、第三次擴張中發生。

（關於Claim2，可以看Milne的講義Algebraic Number Theory P138中的交換圖）