從幾何直覺到自然數冪和

「若能為一個晦澀的證明補上一個幾何類比，那麼定理的真諦將不證自明。」 —— 馬丁·加德納

目錄

1. 「題目」
2. 二次冪和
3. 三次冪和
4. K次冪和
5. 隨便聊聊之巴塞爾問題

1、「題目」

一次洗澡，想到高斯對於等差數列和所作出的精巧演算法：頭尾調轉相加除以疊加次數，即為所求。其中將首尾調轉加和這一做法非常具有現實的動作感，類似於將兩條密度均勻上升的繩子逆向擰成麻花後，再從中剖開。公式及其地好記憶。

然而為何未曾聽聞二次及以上的求和公式的直觀理解？（其實是有的，如垛積術）

於是提出問題：

對於二次及以上的自然數冪和，能否用類似的手法作出直觀理解呢？

2、二次冪和

那麼，直接給出二次方時的自然數冪和直觀演算法：

• 解釋左邊。可看成賦予平方和結構。將Sn寫成1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + … + n*n後，再進行排列。
• 解釋右邊。每一個2n+1都是前面三個三角形疊加而成的。取右邊上頂點為例，值即原三角形上頂點加兩個下頂點加和的值。可以驗算，加和形成的三角形每一個值都相等。

那麼不妨就只計算頂點，即可知全部項的值。其中，左邊 值2n+1 的項個數可求，即為一次方時的求和公式1+2+3+…+n=n(n+1)/2。以此乘上2n+1即可求右邊三角形所有項相加之後的和。

由於，左邊每一個三角陣列中所有數字的加和都為二次冪的和Sn，那麼最後一個三角陣列中所有數字的和即為3*Sn。此時可以從一次項的求和公式直接給出二次項的求和公式為：

稍作總結：

可以說是非常直觀和優美了。個人是非常滿意的。再繼續深究之前，先再總結一下，以及解釋為什麼這樣構造。

1. 直觀理解構造目的。分析高斯的演算法，相當於是對一維情況下線的操作。對一個權值等差增加的線進行旋轉180°後，疊加，抵消權值連續增加這一特性。便可用乘法快速計算。那麼，可以聯想，將二次冪視作對面的操作。要對面進行疊加，這樣就可以用乘法快速計算求和了。
2. 分析問題關鍵。問題關鍵平方項限制了我們不能像求一維時直接進行線性加和。那麼，在這裡做所蘊藏的信息拆分。將n^2的第一個n儲存在維度中，在二維情況下即是該行有多少個數據。第二個n即作為數據，而這個n即是將進行線性加和的對象。二維情況下，即可它們拆寫成n+n+n+…+n，作為二維平面上的一行。//如果此處不理解，可以帶著去看三次冪和。
3. 構造基本思路。1、構造出中心對稱的幾何體。2、計算每一項數值：因為猜想各個值都是一樣的，所以算一個點就行，不妨就算頂點。通過旋轉對頂點加和。3、計算出項數，乘以項的值。求出的是疊加後的所有項數數值的和 n*Sn。4、除以旋轉次數，也即頂點個數。即可得Sn。
4. 總結：給出一般情況。那麼，參照二維的求法，可以寫出理想的遞推公式：

3、三次冪和

但是，如果仿照上面那個式子寫出三次冪和時，結果如下。

和我們熟知的 相比，差了一點的東西。暫且稱直接由 得來的公式為偽理想公式。

那麼，和真正的理想公式比起來，究竟差了什麼呢？

• 進行直觀上的分析：不難發現，如果要滿足二次冪和的公式，面應該是正方形。但如果繼續套用三維空間最基本的幾何體正四面體，會發現一個面就不能以球心為中心對稱地塞下所有項了。要塞下必須得用四稜錐，可是四稜錐又不具備中心對稱性。陷入兩難僵局。

在這裡，作出一些修正。對前提進行辯證，為什麼滿足二次冪和公式的就應該是面？能不能通過其他擬合的方式構造出具有對稱性的圖形？分析原理可以得出，這種演算法的主要原理即是對稱性。那麼為了滿足對稱性，不妨修改一下定義。

將二次冪和公式的直觀圖形由「面」改成「層」。可以給出特別優美與令人熟知的同志：

考察這個圖，就能發現問題所在了。以1+2^3為子結構驗算，會發現中心多了1。而我們默認的即是以頂點的值代表所有其他項的值。可見這就是為什麼偽理想公式會比理想公式少值。

進行驗算之後會發現，每一個子結構的中心都會差1。下圖紅點即是所差值的數字結構。

至此，所差值的根源便找到了。現在的任務即是，能否寫出這些點的部分和？顯然可以輕易列出它的部分和。

這個函數一眼看不出什麼名堂。故先分析一下數據，把這個函數在坐標繫上左移一位。相當於把n=1時余項等於0的特殊情況給刪掉。那麼根據數感，有：

可以拆成兩個低維的冪和。那麼至此，三維的理想公式就求出來了，即理想公式加上此余項。不妨記余項 為：

美中不足的是，要求三維的和，必須先知道二維和一維的和才能湊出三維的余項。這樣一來，遞推公式也變得繁複。

事實上，到這一步為止，我們的目標就已經完成了。 已經找到了我們能產生幾何直覺的所有維度中所對應幾何體。四維之後回到抽象的嚴肅數學之中分析，猶如通過伯努利數等等之類，將會是更迅捷的方法。 但為了讓整個體系完整，下面還是強行補上k次冪和的驗算。

4、k次冪和

是否余項都可以拆成低次冪和的和的形式？倘若可以，便可將遞推公式寫成如下形式。

以四維作為驗證。

（題外話：……這個余項的值是k階正方形中非正方形矩形的數量。）

余項依然為高階等差數列，求出數列通項：

仍舊觀察發現：

此式子的意義即在於驗證了4維情況拆分依舊是可行的。大膽猜想余項由所有低維的和乘以係數構成的。

然而不知道前面的 係數有什麼規律。解肯定是可以解出來。運用線性代數的知識，余項是由所有低維的和乘以係數構成，而這些函數項各個次數不同，因此線性無關。強行列出k-1個方程組解k-1個未知係數即可。

雖然看起來很複雜。然而優化空間是巨大的。事實上，主要的運算量只在求bi而已。在這裡留下問題：

1. 如何進行優化？
2. 數背後是否有聯繫？

這些便是筆者我所力不能及的地方。看日後的將來能否解決。最後給出全套的公式。

5、巴塞爾問題的幾何解釋

一下內容更是隨意探索的部分。當做是隨便聊聊吧。

對於負數，沒有幾何基礎去構造。第一，零維已經是一個點，還能怎麼存放數據？第二，乘方之所以能拆開計算，是因為其在當前數域，乘法是加法的的累加。加法是容易構造幾何意義的。在這裡，除法很像沒有明顯的幾何意義。

那麼結束了嗎？我嘗試了一下，然而嘗試後的結果是，差點就能不結束了。

還是說說思路。主要是轉化思想。

既然問題都找到了那麼便去解決。根據直覺和之前已經展示過的歸納能力。在這裡，我推測點的值存放在圓周上。而除法是一個比較難辦的東西，暫時同樣理解成是某種拆分。而且同樣考慮，正數時的特性也部分繼承了下來，猶如對稱性。

為什麼是圓周上啊？我只能說，正數時在圓或者全對稱體（頂點當然可以不在對稱體上，畢竟那個全對稱圖形根本不存在），那麼負數有道理在圓上吧。其實這種民科的想法我也不不能說服自己，支撐我走下去的還是那著名的巴塞爾問題：

思路其一。

注意到值域處於0到1，不妨構造一個周長為2的圓。每個半圓都是為0至1的值域，將1, 1/2^k, 1/3^k, …… 1/n^k 按大小貼在圓周上。這是一種拆分。那麼現在就找關係，看如何能將值和對稱性聯繫在一起。既然圓的周長性質被佔用了，我試試能不能聯繫面積。半徑是1/π，感覺也是個挺吉利的數字。

構造直角三角形。期望能以面積的信息代替一這P級數的部分和。

類似於如上形式。不一定是面積，只要構造的等式中出現p級數，即可化出其值。

思路其二。

會覺得第一種方法對稱性體現得不夠完美，那麼是否存在第二種分配方式有如下全對稱性呢？

還有，如果是這種方式，那麼該怎麼加和呢？加和是看對對稱中心點的影響，還是對零點的影響？……

以上我給出的兩個思路其實都是處理圓內接多邊形的問題。所以看看有沒有什麼現成的幾何公式可以套用。在探索過程中，我發現了一個非常優美與以及相當符合當前局勢的式子——勾股定理的變式（下圖三式）：

我也曾圍繞這個式子分割了很久（兩個小時……爾），但是我第二步就卡住了。所以就此放下。

至此，所有思考結束。以上內容都是在2017年11月份左右總結的。之所以現在拿出來，是因為，我看到了關於這個式子正確的表示方法。在如下這篇論文之中找到。

而這個機緣，則來自於3Blue1Brown近期的一個視頻，關於從光學角度講解巴塞爾問題的。

分解方法的論文就在其視頻之下，有興趣的朋友可以去查閱一番。思路是一脈相成的。