p-可除群的基本性質(II):有限平坦群概形

04-29

希望通過p-可除群理解Abel簇的撓點的結構，而p-可除群是一些有限平坦群概形的極限，為此需要發展有限平坦群概形的理論。這裡我們的討論包括一般的底概形S，這是因為處理Abel簇的約化問題時要考慮 $Bbb Z_p$ 上的群概形和它在 $Bbb Q_p$ 上的基變換的關係。而為了處理p-可除群和Abel簇的聯繫時，我們應當把Abel簇上的操作（取對偶、取Tate模）翻譯到p-可除群上，為此需要建立有限交換平坦群概形的Cartier對偶理論。例如p-可除群也有Tate猜想（對特徵0完備離散賦值環上p-可除群有同構 $Hom(G,H) ightarrow Hom_{Bbb Z [Gamma]}(TG,TH)$ ），其證明對有好約化的Abel簇的Tate猜想是有一定幫助的。

參考：《FINITE FLAT GROUP SCHEMES》 by J. Tate （並補充一些例子和細節）

二. 有限平坦群概形初探

固定概形S，考慮S上概形構成範疇 $Sch/S$ ，其中群對象稱為S上群概形，於是一個群概形G配有S態射 $m: G imes_S G ightarrow G, e:S ightarrow G, i: G ightarrow G$ 作為乘法、單位元、取逆。等價地，S上群概形是一個可表的反變函子 $Sch/S ightarrow ext{Group}$ ，易見群概形在基變換下保持，兩個群概形的fiber product也是群概形。任給一群同態 $f: G ightarrow H$ ，把它看成函子的自然變換 $F_G ightarrow F_H$ ，作為函子的Kernel定義為 $T ightarrow Ker (G(T) ightarrow H(T))$ ，其也是群概形（由 $G imes_{H}S$ 表出，其中 $e_H: S ightarrow H, f: G ightarrow H$ ）

例子：(1) $Bbb G_a, Bbb G_m, GL_n, mu_n$

(2)對任何有限群G，定義 $Sch/S$ 上常數層（fppf拓撲下）：T映為T的連通分支數個G的乘積，其為 $Sch/S ightarrow ext{Group}$ 的函子，由 $igsqcup_{g in G} S$ 表出，對應群概形仍記為G

習題：定義群概形的半直積

定義. 群概形 $G$ 稱為有限/平坦/平展/，若結構映射 $G ightarrow S$ 具有對應性質。

回憶：Finite morphism - Wikipedia，Flat morphism - Wikipedia，étale morphism - Wikipedia

下面總假設 $S= ext{Spec}R$ 仿射，G是有限平坦群概形，R諾特環（下面使用到諾特條件時會特別說明）。此時 $A=O_G(G)$ 是有限生成局部自由R模，其秩稱為G的階，記為 $|G|$ 。將G的運算翻譯到A上，其成為一個Hopf代數（配有R代數同態 $m: A ightarrow A otimes_RA, e:A ightarrow R, i: A ightarrow A$ ），這些運算滿足對應的交換圖，如 $(R ightarrow A overset{e} ightarrow R) =id$ 。定義 $I=Ker(A overset{e} ightarrow R)$ 為配值理想，注意這是一個投射R模。

習題：利用上述性質，說明① $m(x)-x otimes 1 -1 otimes x in I otimes I, forall x in I$ ②|G|在基變換下不變。

例子：

(1) |G|=1時，局部化知 $I=0$ ， $G=S$ ，乘法運算等為恆等映射

(2) |G|=2時，I是秩1投射R模。假設I自由，x是一個生成元，由於I是理想因此可設 $x^2=ax, a in R$ 。則 $A=R1 oplus I$ 作為R代數唯一由a決定。群結構由乘法m唯一決定，由習題①知可設 $m(x)-x otimes 1 -1 otimes x=b(x otimes x), b in R$ ，代入知m為R代數同態的充分必要條件為 $(ab+1)(ab+2)=0$ 。此時G對應的函子是 $T mapsto G(T)={t in T| t^2=at}$ ，乘法運算定義為 $t_1circ t_2 :=t_1+t_2+bt_1t_2, t_i in G(T)$ ，特別地G一定交換（注意到一般情況可把S用一些仿射開集覆蓋使得I限制在其上自由，利用基變換仍知G交換）。注意a，b滿足的條件等價於e=ab+2滿足e^2=e，於是e為冪等元，這給出分解 $S=S_1 igsqcup S_2$ ，故只需處理 $ab+1=0$ ， $ab+2=0$ 的情況。檢查知 $ab=-1$ 時G只為半群而非群，故必須 $ab+2=0$ ，此時得到群概形記為 $G_{a,b}$ 。

習題：驗證 $G_{-2,1} cong mu_2, G_{1,-2} cong Bbb Z/2Bbb Z$ ， $G_{a,b} cong G_{c,d} Leftrightarrow exists uin R^{ imes}, a=cu, b=du^{-1}$

於是我們得到

定理 1. 設p=2，則R上p階有限平坦群概形都是交換的。進一步假設R是主理想整環，則R上p階有限平坦群概形與 ${(a,b) in R^{ imes} |ab+2=0}/ R^{ imes}$ 一一對應。

例子：R是 $Bbb Z$ 或特徵非2的域，則只有 $mu_2, Bbb Z/2Bbb Z$ ；R是特徵為2的域，則有 $mu_2, Bbb Z/2 Bbb Z, alpha_2= ext{Spec} Bbb F_2[x]/(x^2) imes S cong G_{0,0}$ 三種

上面的討論給人一種感覺，特徵p的域上有限p群概形的理論更豐富。

類比有限群自由、可容許作用在概形上（可容許即每一個軌道都含於某個仿射開集）可以良好定義有限群的商，對帶有有限群概形的自由可容許作用也可以定義商，這裡略去細節。特別地，對於有限平坦閉子群概形 $H subseteq G$ ，可以定義S上有限平坦的商概形 $G/H$ （這裡有限平坦類似Artin-Tate lemma，需要諾特性），其秩稱為H的指標，記為 $[G:H]=frac{|G|}{|H|}$ 。H正規(定義為H在G/H上左作用平凡)時G/H可配有有限群概形結構，有正合列 $1 ightarrow H ightarrow G ightarrow G/H ightarrow 1$ （正合是指 $G ightarrow G/H$ 為忠實平坦且Kernel為H）

註：對S上scheme T，只能得到抽象群的正合列 $1 ightarrow H(T) ightarrow G(T) ightarrow G/H(T)$ 而最右邊通常不正合；一種理解方式是將群概形看成函子，H和G都是fppf拓撲下的層，但Naive的quotient得到的預層並不是層，G/H實際上是它的層化（通過f.f descent），因此上述 $1 ightarrow H ightarrow G ightarrow G/H ightarrow 1$ 應看成fppf sheaf (取值為群)的正合列，下同。

一類有限平坦群概形是常值群概形G（上面的例子(2)），不難看出G對應的函子 $F_G$ 滿足性質：任給S上kernel冪零閉浸入 $T ightarrow T$ (從而給出拓撲空間的同胚)， $F_G(T) ightarrow F_G(T)$ 是雙射，因此根據平展的無窮小判別法，我們得到：

性質. G是S上有限平展群概形。

註：同理n與域k特徵互素時， $mu_n$ 在k上是平展的，當 $mu_n ot subseteq k$ 時這給出平展但不常值的例子。

我們下一個目標是分類所有有限平展群概形，下設S連通。finite表明G to S是閉映射，flat表明 G to S是開映射，由S的連通性我們得到G to S是滿射，故忠實平坦。由於G平坦，其平展等價於非分歧，根據Kahler微分的兩個標準正合列， $(R ightarrow A overset{e} ightarrow R) =id$ 以及m的性質可知 $Omega^1_{G/S}=I/I^2 otimes_R A$ ，再根據忠實平坦性和I的有限生成性（S諾特）我們得到：

性質. G是S上有限平坦群概形，則G平展等價於 $I=I^2$ 等價於 $e: S ightarrow G$ 是開浸入（注意e本身就是閉浸入）

習題：證明 $G ightarrow S$ separated 當且僅當 $e: S ightarrow G$ 是閉浸入（由於有限態射一定仿射從而separated，故e本身確實是閉浸入；證明有一邊是顯然的，另一邊注意到對角映射實際上是e的基變換）

另一個分類方式是Grothendieck的Galois理論：取S一個幾何點 $eta$ 定義平展基本群 $pi_1(S,eta)$ ，定理2. {有限平展概形/S} 與 {帶有 $pi_1(S,eta)$ 作用的有限集}範疇等價

推論：（1）{有限平展群概形/S} 與{帶有 $pi_1(S,eta)$ 作用的有限群}範疇等價（注意這裡的作用都要求是群自同構，下同）；

（2）{有限平展交換群概形/S} 與 { $pi_1(S,eta)$ 在有限交換群上的表示}範疇等價；

（3）假設 $S= ext{Spec}R$ ，R是代數閉域（更一般地，嚴格Hensel環），則S上任何有限平展群概形都是常值的。

（4）對任何域k上有限平展群概形G，存在有限Galois擴張L/k使得G_L是常值的。

於是我們得到有限平展群概形的分類。現在希望考慮一般群概形，這必然要對S加好的假設（也是實際中會用到的情況，下面某些結果可通過局部環的Hensel化過渡到任何S）

假設. $S= ext{Spec}R$ ，R為Hensel局部環（特例是完備諾特局部環），m是R極大理想，k=R/m是剩餘類域。

此時 $pi_1(S,eta)cong Gal(k^s/k)$ , {有限平展群概形/S}與{帶有 $pi_1(S,eta)$ 作用的有限群}範疇的具體等價函子是 $G ightarrow G(overline k)$ 。

回憶Hensel局部環的刻畫性質是其上作為模有限的代數都是局部環的乘積，而完備離散賦值環的賦值可以向上唯一延拓成完備賦值。

推論：給局部環間的有限擴張 $B_1 ightarrow B_2$ ，如果 $B_1$ 是Hensel，則 $B_2$ 也是

$e:S ightarrow G$ 的像（由於S連通，e為閉浸入，像為連通閉集）所在連通分支記為 $G^0$ 。則根據上面討論， $G^0$ 是一個完備離散賦值環（Hensel局部環） $A^0$ 的素譜( $A^0$ 是 $A$ 作為R代數分解成局部環乘積中的一項)，且 $A^0$ 有限生成平坦R模（這裡不需要諾特，因為 $A^0$ 是直和因子）。注意局部環間平坦同態一定是局部同態，因此由 $(R ightarrow A overset{e} ightarrow R) =id$ 可知 $A^0$ 的剩餘類域與R相同。現在關鍵是說明 $G^0$ 是一個子群概形，即說明 $G^0 imes_S G^0 ightarrow G$ 能通過 $G^0$ 分解。這等價於說明 $G^0 imes_S G^0$ 是連通的。由於Hensel局部環上作為模有限的代數的素譜連通分支和它的special fiber的連通分支有一一對應（從分解成局部環看出，也可以考慮用Hensel引理得到冪等元的唯一提升性），我們可以化歸到R是一個域的情況。

回憶：對域k上有限型概形X，可定義0階平展同倫群 $pi_0(X)$ 為k上有限平展概形， $pi_0(X)$ 作為集合與X的連通分支一一對應。 $pi_0$ 為一與基域變換交換的函子，有自然的滿射 $X ightarrow pi_0(X)$ 。

Pf: 參考J.S Milne的代數群，或見unpublished note by [???]

推論1：X幾何連通（即 $X_Y:=X imes_k Y$ 連通對所有Y）當且僅當 $pi_0(X)= ext{Spec}k$

推論2：假設X連通且有k有理點，則X幾何連通

Pf: 1是由於可做基域變換假設可分閉；2是將 $pi_0$ 函子作用到Spec k to X to Spec k上。

推論2的另一個證明見Tag 0361: Geometrically connected schemes，作為應用我們得到 $G^0 imes_S G^0$ 是連通的(由於 $pi_0(G^0)= ext{Spec} k$ )，並且對任何基變換有 $(G^0)_{S^{}}=(G_{S})^0$ 。因此 $G^0$ 是G的有限正規平坦子概形（正規性容易從共軛作用保持S看出），不難看出R是域時 $G/G^0=pi_0(G)$ ：之前的性質表明有限平坦概形是平展的當且僅當S的像是開且閉的即 $G^0$ 就是S，由此可知 $G/G^0$ 平展，並且G到有限平展群概形的同態都通過 $G/G^0$ ，再注意到也通過 $pi_0(G)$ (函子性)。一般情況定義 $pi_0(G)=G/G^0$ （作為概形而非僅僅集合），於是我們得到

定理3

S滿足之前的假設，則任何S上有限平坦群概形G都可分解成連通和平展的部分。更精確來說，有對G具有函子性的短正合列（稱為連通-平展正合列）：

$1 ightarrow G^0 ightarrow G ightarrow G^{et} ightarrow 1$

其中 $G^{et}=pi_0(G)$ 是有限平展群概形， $G^0$ 是有限連通群概形且整體截面是剩餘類域為k的局部環。

習題：證明 $G^0, pi_0(G)$ 都是正合函子。

註：可能存在 $(G^0)_T ot= (G_T)^0$ 的情況（對基變換S to T），一個例子是 $Bbb Z_p ightarrow Bbb Q_p$ , $G=mu_p$ ：由於 $Bbb Z_p[x]/(x^p-1)$ 是局部環，故 $G^0=G$ ， $(G^0)_{Bbb Q_p}=mu_p$ 但 $(G_{Bbb Q_p})^0= ext{Spec} Bbb Q_p$ 平凡（特徵0域上有限群概形都平展）

習題：假設 $S ightarrow T$ 是局部同態且T滿足假設，證明 $G^0, G^{et}$ 及上述正合列與S到T的基變換相容。（注意Hensel局部環上有限概形的連通分支與其special fiber的一樣）

註：我們的證明和Tate的原始證明有一些不同，一個反例表明上面的論證並非顯然：我們來考察域上群概形G， $G_{red}$ 上是否也有子群概形結構？結論一般來說是否定的，但k perfect情況是正確的（後面的討論可見，perfect條件下可以得到很多好結果）。即使如此， $G_{red}$ 也未必正規，見Is there a connected $k$-group scheme $G$ such that $G_{red}$ is not a subgroup?

因此次轉而考慮有限連通群概形的分類，上面例子中連通的僅有 $alpha_p= ext{Spec} Bbb F_p[x]/x^p$ ，其生活在正特徵中且階是p的冪次，一般地我們有：

定理4.

S滿足之前假設，則

（1）若k的特徵是0，則S上有限平坦群概形均平展

（2）若k的特徵是p>0，則 $|G^0|$ 是p的冪。

Pf (Tate)：根據之前正合列不妨設G連通，根據Nakayama Lemma不妨設R=k是域。則 $G= ext{Spec} A$ ，A是k上有限維局部代數故Artin，剩餘類域為k， $I=Ker(A ightarrow k)$ 是極大理想且冪零。取 $ilde{x}_i in A, i=1,…,r$ 使得 mod I後構成 $I/I^2$ 一組k基。則可定義自然的k代數同態： $phi : x_i mapsto ilde{x_i} ext{mod} I k[X]:=k[x_i] ightarrow Gr_I(A):=igoplus_{n=0}^{infty} I^n/I^{n+1}$ ，由於I冪零，其為滿射。

之前已證明Kahler微分 $Omega_{A/R}=I/I^2 otimes_R A$ ，萬有導子 $A ightarrow I/I^2 otimes_R A$ 為 $d=(pi otimes id) circ m$ 其中 $pi$ 為 $I hookrightarrow A$ 的截面 mod $I^2$ 得到，因此 $Der_R(A,A)=Hom_A(Omega_{A/R},A)=Hom_R(I/I^2,A)$ ，結果是存在導子 $D_i: A ightarrow A$ 使得 $D_i|_{I/I^2}: ilde{x_j} mapsto delta_{ij}$ ，根據Leibiniz法則 $D_i I^{n+1} subseteq I^n$ 故 $D_i$ 進一步誘導 $Gr_I(A)$ 上次數-1的導子。有 $D_i circ phi = phi circ frac{partial}{partial x_i}$ （只需在基上驗證），由此可知齊次真理想 $Kerphi$ 對求偏導穩定，這迫使其為0（若特徵0），同理考慮特徵p情況有

性質. k特徵0，則 $phi$ 為同構；k特徵p>0，則有 $phi: k[X]/(x_1^p,…,x_r^p) cong Gr_I(A)/( ilde{x_1}^p,…, ilde{x_r}^p)$

但注意到 $phi$ 的像是有限維k向量空間（I冪零），特徵0時迫使r=0，於是I=0，A=k，這就證明了（1）。若特徵p>0，注意A是由 $ilde{x_i}$ 生成的k代數， $Gr_I(A/(x_i^p))=Gr_I(A)/( ilde{x_1}^p,…, ilde{x_r}^p)$ ，我們如果能夠找到群概形表出 $A/( ilde {x_i}^p)$ ，便可使用歸納法，一個想法是考慮Frobenius.

回憶： $X$ 是k上有限型概形，

①定義 $X ightarrow X$ 的絕對Frobenius $X ightarrow X$ $x mapsto x^p, forall x in O_X(U), Usubseteq X$

② $X^{(p)}$ 為X通過 $x mapsto x^p: k ightarrow k$ 的基變換，得到算術Frobenius $X^{(p)} ightarrow X$

③根據fiber product的萬有性，由絕對Frobenius得到相對Frobenius $Fr: X ightarrow X^{(p)}$

④如果 $X= ext{Spec}k[x_i]/(f_i)$ ，那麼相對Frob可寫成 $k[x_i]/(f_i^{(p)}) ightarrow k[x]/(f_i) : x_i ightarrow x_i^p$ ，其中 $f_i^{(p)}$ 表示f的係數全變成p次方後得到的新多項式。

習題：若G是群概形，則 $G^{(p)}$ 也是且 $Fr: G ightarrow G^{(p)}$ 是群同態。（可看成函子驗證）

根據這些討論， $H=Ker(Fr)$ 就是G的有限平坦正規子概形（域上平坦自動，Kernel自動正規子群），其整體截面環就是 $A/( ilde {x_i}^p)$ ，所以由上面性質得到 $|H|=dim_k A/( ilde{x_i}^p)=dim_k Gr_I(A/( ilde{x_i}^p))overset{phi}=dim_k k[X]/(x_i^p)=p^r$

r=0的情況平凡，r>0時對|G|的階歸納，我們便證明了（2），即證。

對整數n，通過對角嵌入可以自然定義自乘n次運算 $[n]: G ightarrow G$ ，或者直接通過函子定義。下一個定理是關於Langrange定理的推廣：

定理5.

對域上有限群概形G， $[|G|]=id$ 。對任何S上有限局部自由（即平坦+有限表現）交換群概形，也有 $[|G|]=id$ 。

雖然這個定理看起來很簡單，但注意到可能存在連通群概形這一不平凡情況，域上具體證明是根據短正合列劃歸到連通情況（平展時先基變換使其平凡，再利用f.f descent回歸到原來域上），然後證明配置理想I滿足 $[p]I subseteq I^p$ （這一步需要先利用正則表示將G嵌入GL_n，然後利用GL_n的余乘法的具體公式進行計算），再注意到I冪零即得，具體略。（任何S+G交換的情況則可用下面提到的Cartier對偶理論證明）

最後我們關心連通-平展正合列是否splits，回憶：

（generic smoothness）設k是perfect field，則k上separated+reduced+finite type的概形一定有光滑點。

於是我們得到

性質.設k是perfect field，則k上有限型群概形G如果reduced，那麼就是平展的

Pf. 首先說明G光滑，根據f.f descent可假設k代數閉（注意perfect field上reduced+有有理點推出幾何reduced），由於generic smoothness得到G有光滑閉點，又G在自身左乘作用限制在閉點集上可遷，所以G的閉點都光滑，於是G光滑（這裡用到Jacobson概形的性質：任何開集都含閉點）。由於光滑+相對維數0等於平展，即證。（有限態射的相對維數是0）

定理 6.

perfect field上連通-平展正合列分裂：

$1 ightarrow G^0 ightarrow G ightarrow G^{et} ightarrow 1$

因此 $G cong G^0 times G_{red}$ （特別地，如果G交換則為乘積）

Pf. 考慮同胚 $G_{red} ightarrow G$ ，根據假設 $G_{red}$ 平展且 $G_{red} imes G_{red}$ 也reduced，於是 $G_{red} ightarrow G$ 是有限平展群子概形，再利用同胚可知 $pi_0(G_{red})=pi_0(G)$ ，故 $G_{red} ightarrow G ightarrow G^{et}$ 是同構，給出一個section，即證。

利用 $G_{red}$ 的光滑性，Cartier將定理4的（1）推廣為：

定理 7. (Cartier)

k是特徵0的域，則k上有限型仿射群概形都光滑。(特別地總reduced)

Pf. 由f.f descent不妨k代數閉( $k=Bbb C$ )，由齊次性只需說明單位元處局部環是正則局部環，即I/I^2維數是dimA。由上 $G_{red}$ 的光滑性知只用說明I/I^2到I/rad A / (I/radA)^2的自然映射是單射（總是滿射），即說明A中冪零元一定屬於I^2。設x是冪零元，一開始便說明了 $m(x)-x otimes 1 -1 otimes x in I otimes I, forall x in I$ ，利用x^n=0，x^{n-1}非0對某個n，代入展開並 mod I^2(以及注意到n在k中可逆)即得x屬於I^2，即證。

最後，和開頭說的那樣我們需要發展有限交換群的對偶理論。回憶對局部緊交換拓撲群G有 Pontryagin duality ${displaystyle {widehat {G}}}:=Hom_{cont} (G, S^1)$ ，這是一個正合函子，並且有著名的

The Pontryagin duality theorem
Theorem. There is a canonical isomorphism ${displaystyle Gcong {widehat {widehat {G}}}}$ between any locally compact abelian group ${displaystyle G}$ and its double dual.

這允許我們談G上的Fourier分析，一些對偶的例子： $Bbb R/ Bbb Z$ 的對偶是 $Bbb Z$ ， $Bbb R, Bbb Q_p, Bbb A_{Bbb Q}$ 自對偶……

回到我們的情形，設R是諾特環，M是有限生成平坦R模，自然定義M的對偶為 $M=Hom(M,R)$ ，我們有

習題. $M$ 也是有限生成平坦R模，且有典範同構 $M cong M$ ，對偶與張量積交換

特別地，假設M=A是一個R上有限平坦交換群概形G的整體截面環，那麼A上的乘法和余乘法會對偶地給出 $A$ 的余乘法和乘法，驗證相應的交換圖表，於是 $G=Spec A$ 也是有限平坦交換群概形（G交換是為了 $A$ 交換於是可以定義素譜）。於是我們得到（細節可自行驗證）

定理 8. （R諾特）

{R上有限平坦交換群}範疇上存在一個對偶函子 $G mapsto G$ , 其給出範疇到自身的反等價，且有自然同構 $G cong G$ ，並且該對偶與R的基變換交換。

我們也用 $G^D$ 表示G的對偶。

習題（重要）

驗證上面對偶群概形作為函子是 $T ightarrow Hom_{Group}(G_T,(Bbb G_m)_T)$ （根據基變換與對偶交換，不妨T=S，注意 $G(S)=Hom_{R-alg}(A,R)$ 可嵌入 $Hom_R(A,R)=A$ 並且這是乘法半群的同態，同理 $Hom_{group}(G,Bbb G_m) hookrightarrow Hom_{R-alg}(R[x,x^{-1}],A)=A^{ imes}$ ，然後驗證余代數同態的條件我們有 $Hom_{group}(G,Bbb G_m)={a in A^{ imes}|m(a)=aotimes a}$ ，同理驗證前者發現也是如此）。於是對任何T，有自然的pairing $G(T) imes G(T) ightarrow Bbb G_m(T)$ 。

有了上面一些定理，可以說對於有限平坦群概形有了初步理解（例子、分類、性質），也可以得到一些有趣的推論例如：

① $Bbb C$ 上有限群概形只有G，G是有限群

② k是域， $F$ 是{k上代數}到Group的可表函子，並且表示F的k代數是有限生成的。若 $F(L)$ 是有限集，則可證明表示F的群概形是有限平坦群概形。此時利用Langrange定理，我們知道存在正整數n使得對所有的k代數R，F(R)作為抽象群都滿足 $x^n=1, forall x in F(A)$ 。

③k是域且n在k中可逆，則 $mu_n^D=Bbb Z/n Bbb Z, (Bbb Z/n Bbb Z)^D=mu_n$ ，自然的pairing是單位根的若干次方

OK，時間不多了，在此打住。下一次我們將討論一般底概形上的Abel概形以及相關的有限平坦群概形內容，當然會討論一些例子~

註：一個開問題是Lagrange定理對任何概形S上的有限局部自由群概形是否成立？

註：沒想到挺多人對這個topic感興趣，有更多討論的話會努力繼續更新~