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由萬有引力定律推導行星橢圓軌道

04-29

我們先來推導橢圓的極坐標方程。

把極點選在橢圓的一個焦點上，讓極軸沿著橢圓的長軸指向遠離另一焦點的方向，如圖

按照定義，橢圓是到兩焦點的距離之和等於常數（設這常數為2a）的點的軌跡。橢圓的方程應為

$r+sqrt{r^2+4c^2+4rccos heta}=2a$

（這裡設兩焦點間的距離為2c）

在上一方程中，先把左邊的第一項r移到右邊，再取兩邊的平方消去根號，我們得到

$r^2+4c^2+4rccos heta=r^2+4a^2-4ra$

由此又可得到

$r=frac{b^2}{a+ccos heta}=frac{p}{1+ecos heta}$

這裡

$b=sqrt{a^2-c^2}$ , $p=frac{b^2}{a}$ , $e=frac{c}{a}$

這樣我們就得到了橢圓的極坐標方程

$r=frac{p}{1+ecos heta}$

採用極坐標

$vec{F}=vec{F}_r+vec{F}_ heta$

其中， $vec{F}_r=-Gfrac{Mm}{r^2}vec{e}_r$ （萬有引力定律）， $vec{F}_ heta=0$ 。

這裡M是太陽的質量，m是行星的質量，G是萬有引力常數。行星的運動方程可以寫成

$2ddot r-rdot heta^2=-frac{k}{r^2}$ ， $2dot rdot heta+rddot heta=0$ （極坐標加速度公式）

這裡K=GMm。後一方程兩邊乘以r得

$2rdot rdot heta+r^2dot heta=0$

或

$frac{d}{dt}left(r^2dot heta ight)=0$

這說明面積速度等於常數

$dot A=frac{1}{2}r^2dot heta=frac{1}{2}h$ （常數）

再來考察方程

$ddot r-rdot heta^2=-frac{k}{r^2}$ （1）

記u=1/r，則從

$r^2dot heta=h$

可得

$dot heta=hu^2$

我們有

$dot r=frac{d}{d heta}left(frac{1}{u} ight)dot heta=-frac{1}{u^2}frac{du}{d heta}dot heta=-hfrac{du}{d heta}$

$ddot r=frac{d}{dt}left(dot r ight)=frac{d}{d heta}left(-hfrac{du}{d heta} ight)dot heta=-hfrac{d^2u}{d heta^2}dot heta=-h^2u^2frac{d^2u}{d heta^2}$

方程（1）化成

$-h^2u^2frac{d^2u}{d heta}-h^2u^3=-ku^2$

即

$frac{d^2u}{d heta^2}+u=frac{k}{h^2}$

這是一個二階常係數線性微分方程。容易看出它的一個特解是 $u^*=frac{k}{h^2}$ 。於是，這個方程的一般解為

$u=Bcos heta+Csin heta+frac{k}{h^2}$

這式又可寫成

$u=Lcosleft( heta- heta_0 ight)+frac{k}{h^2}$

其中

$L=sqrt{B^2+C^2}$ ， $cos heta_0=frac{B}{sqrt{B^2+C^2}}$ ， $sin heta_0=frac{C}{sqrt{B^2+C^2}}$

於是有

$r=frac{1}{u}=frac{1}{Lcosleft( heta- heta_0 ight)+frac{k}{h^2}}=frac{p}{1+ecosleft( heta- heta_0 ight)}$

這裡

$e=frac{h^2L}{k}$ ， $p=frac{h^2}{k}$

我們得到了圓錐曲線的一般方程

$r=frac{p}{1+ecosleft( heta- heta_0 ight)}$

因為旋轉中的行星不會跑到無窮遠去，它的軌道應該是一個橢圓。

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