Lie group 入門級事實
但是也能讓外行人感到不平凡。
記號：LG=Lie Group, LA=Lie Algebra
打【括弧】的條目不屬於入門級別。
- exp是 su(n), so(n), u(n),gl(n) 分別到其李群上的滿射。（證明：利用相似標準型，以及log(I+A)在A冪零時存在）。
- Lie Product Formula,
對於矩陣群是很好證明的。把定義寫出來，把o(1/N)的東西都扔掉就好啦。
不過，如果我不知道Baker-Campbell-Hausdorff formula也不知道Ados theorem的話，怎麼證明這一件事對一般的李代數到李群的指數映射也對呢？
證明[See GTM 218]：只需證明這樣一個事實
FACT: 對任意 在t充分小的時候，存在函數Z(t),滿足Z(0)=0，
這個事實也幾乎是顯然的，在t充分小時，LHS指數映射裡面的argument在單位元附近，所以局部是微分同胚。只需計算一下 的Taylor expansion. Q.E.D.
3. S^3 是李群。一個觀點是SU(2)=S^3, 另一個觀點是S^3可以嵌入Hamilton四元數群當中。
【3. 一個流形是李群的必要條件可平行化（存在整體標架）（所有左不變向量場構成一個整體標架），S^n中可平行化的只有S^1,S^3,S^7, 而其中S^7不存在李群結構】
4. SU(2)->SO(3)有一個李群同態phi, 它是一個二重覆蓋。特別地，su(2)=so(3). SO(3)=RP^2.
5-6是一些反例，5-8是晚上和室友無聊想出來的
5. 存在不同的連通李群具有相同的LA, 例子見第四條，SU(2) and SO(3)
6. 給定一個連通微分流形，其上可以存在不同的李群結構。例子：R^3作為加群的李群和Heisenberg group（所有上三角陣）. 緊李群的反例：SO(4) and
【7. Hilbert 5th problem：如果一個拓撲流形有一個拓撲群結構，那麼其上存在唯一與之對應的李群結構。See terrytao的博客】
8. 一個還沒想清楚的問題：給定一個LA和一個連通微分流形結構，其上的賦予的LG結構是否唯一？換言之，若f:G->H 是連通李群間李群同態、是微分同胚、且誘導的切映射是李代數同構，那麼f是否為LG同構？
9. LG 與 LA之間的基本的對應關係：
記g=Lie(G). 有以下的一一對應
{G的Lie子群}<-->{g的Lie子代數}
{G的正規子群}<-->{g的ideal}——N△G<=>Lie(N)△g
10. Lies correspondence theorem.
{有限維單連通李群}<-->{有限維李代數}
11. ad_v w=[v,w].
12. 交換的李群只有
13. Cartan的定理：嵌入李子群<=>閉的子群
14. Lies fundamental theorem I & II
15. Lie III
任一李代數對應唯一一個單連通李群。
【16. 兩個不平凡的大定理。】（有空更新證明）
a) Ados theorem 任一LA都有忠實的表示。
terrytao的博客似乎給了一個證明流程。
b) Baker-Campbell-Hausdorff formula 給出了 的一個表達式。
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0. （但願能）隨時更或者發新文章
- 發牢騷：第四條雖然似乎所有人都知道，但我卻找了好久才整理出一個我（這樣只知道李群定義的小白）能看懂的證明。見Section 1.4 of Hall (2015).
- 一個小巧的介紹Lie理論的網站Ncatlab
- 希望能趕緊學到表示論理論，那裡似乎有很多很強大的結論~
- 大概就先更新成這樣吧。下面我們要進行李群和李代數比較精細一點的學習了。以後可能是看到什麼有趣的事實再回來更。
- 關於題目：我不是學代數的。我對於幾何的對象更加有興趣。對我來說，引入李群完全是自然的，比如GL(n), SL(n), O(n), U(n)這些經典的群，我們在第二學期的線性代數課上早有接觸，在第一學期的抽象代數課上也有很多的接觸。但是Lie代數就不是一回事了（可能是我沒學過量子力學的緣故）。雖然說流形上可以定義向量場的bracket，但是我真正意識到Lie bracket大顯神威可能還是要等我學到Frobenius theorem和Levi-Civita聯絡torsion free的性質吧。我的學習歷程也是這樣，先看到了一堆李群的例子，在慢慢學習中看到了其中的代數結構。
- 目測下一步是學習LA?
- 參考：GTM 222, GTM 218.
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