分析筆記-卷積及其性質

04-29

Young不等式

設 $1leq p,q,r leqinfty$ ，滿足 $frac{1}{p}+ frac{1}{q}=1+frac{1}{r}$ . 若 $f in L^p(mathbb{R}^n),~ g in L^q(mathbb{R}^n).$

則 $(f ast g) (x) in L^r(mathbb{R}^n).$

且有估計式 $| f ast g |_r leq | f |_p cdot |g |_q$ .

這裡既然有 $frac{1}{q prime } + frac{1}{p prime} +frac{1}{r}=1$ , 就考慮套用一般情形的Holder不等式 $int_{R}F(x)G(x)H(x)dx leq (int_{R}|F|^{p prime}dx)^{1/ p prime} cdot (int_{R}|G|^{q prime}dx)^{1/ q prime} cdot (int_{R}|H|^{r}dx)^{1/ r}$ 來做估計。

因為 $f in L^p (mathbb R), g in L^q (mathbb R)$ ，所以對 $|f(y) cdot g(x-y) |$ 作分解, 分解成3個函數相乘。其中兩項分別為 $|f(x-y)|^{frac{p}{q prime}}, |g(y))|^{frac{q}{p prime}}$ ，剩下部分為 $|f(x-y) cdot g(y) |div ( |f(x-y)|^{frac{p}{q prime}}cdot |g(y)|^{frac{q}{p prime}}).$

證明思路是先作點態估計，即對 $|(f * g)(x)|$ 做估計，再對它的 $L^r$ 範數做估計。老師還說，學到後面的運算元範數插值定理，該不等式的證明會簡單許多。

卷積的初等性質

(a)若 $1leq p leq +infty, f in L^p(mathbb R), g in L^{ p{}}(mathbb R).$ 則有 $(f ast g) (x)$ 在 $mathbb R$ 上一致連續且有界。

先證明 $f ast g (x)$ 的有界性。因為， $f in L^p, g in L^{p prime}$ ，所以可直接由「Holder不等式」得到 $| f ast g (x) |$ 的估計，它被 $| f |_p cdot | g |_{p prime}$ 控制。

(b) $L:=supp(f ast g) subset supp(f) + supp(g)=:R$

proof:

反證，只要證明 $x_0 otin R.Rightarrow x_0 otin L.$ 即可。

由於

$egin{aligned} (f ast g) (x_0)& =int_{mathbb{R}} f(x_0-t) g(t)dt \ &=int_{ {t : x_0-t in supp(f) } } f(x_0-t) g(t)dt \ &=int_{ t in x_0-supp(f) } f(x_0-t) g(t)dt . end{aligned}$

因為

$x_0 otin supp(f)+supp(g). Rightarrow x_0- supp(f) otin supp(g).$

故

$g(t)=0, forall t in x_0-supp(f).\ Rightarrow (f ast g) (x_0)=int_{ t in x_0-supp(f) } f(x_0-t) g(t)dt \ =int_{ t in x_0-supp(f) } f(x_0-t) cdot 0dt =0.$

所以 $x_0 otin L.$

(c)設 $1leq p < +infty, f in L^p (mathbb R), g in L^{p prime }( mathbb R), ext{with} frac{1}{p} + frac{1}{p prime}=1.$ 則 $(f * g)(x) in C_0 ( mathbb R).$

Proof:

先證明連續性，作差，估計即可

$egin{split} &| (f*g) (x_0+ Delta x) - (f*g) (x_0) | \ &=| int_{R} (f(x_0+ Delta x-y ) - f(x_0-y) ) cdot g(y) dy | \& leq | f(x_0+ Delta x-y ) - f(x_0-y) |_{L^p} cdot | g|_{L^{ p prime}} \ &leq C cdot | f(x_0+ Delta x-y ) - f(x_0-y) |_{L^p} end{split}$

接下來只需證明：

$forall f(y) in L^p(mathbb R), | f(y+ Delta x ) - f(y) |_{L^p} ightarrow 0 ,( Delta x ightarrow 0).$

由於緊支撐連續函數 $C_c( mathbb R)$ 稠密於 $L^p( mathbb R)$ , 所以只需證明緊支撐連續函數滿足上述條件即可，然後可以過渡到 $L^p( mathbb R)$ 。

再證明

$lim_{|x| ightarrow +infty }(f * g)(x)=0$

這裡要用到緊支撐連續函數空間 $C_c(mathbb R)$ 在 $L^p(mathbb R), L^{p prime}(mathbb R)$ 中稠密。

於是 $egin{aligned} |(f * g)(x)| & =| int_{R}f(x-t) g(t)dt | \ & =| int_{R} ( f(x-t)- ilde f(x-t)) g(t)dt + int_{R} ilde f(x-t) ( g(t)- ilde g(t) ) dt + int_{R} ilde f(x-t) ilde g(t) dt| \ & leq | int_{R} ( f(x-t)- ilde f(x-t)) g(t)dt| + | int_{R} ilde f(x-t) ( g(t)- ilde g(t) ) dt|+ | int_{R} ilde f(x-t) ilde g(t) dt| \ & leq int_{R} | ( f(x-t)- ilde f(x-t)) g(t) | dt + int_{R} | ilde f(x-t) ( g(t)- ilde g(t) ) |dt + int_{R} | ilde f(x-t) ilde g(t) | dt \ &=: I_1 +I_2 +I_3. end{aligned}$

這裡

$egin{aligned} & ilde f , ilde g in C_c( mathbb R), \ & ext{with} | ilde f -f |_p < epsilon, | ilde g -g |_{p prime} < epsilon. end{aligned}$

對於 $I_3$ , 因為 $ilde g$ 緊支撐，所以當 $|x|$ 足夠大的時候， $ilde f(x-t)) ilde g(t) =0. Rightarrow int_{R} ilde f(x-t)) ilde g(t) dt=0.$

對於 $I_1$ , 用Holder不等式，知

$I_1 leq | f(x-t)- ilde f(x-t) |_p cdot | g |_{ p prime } leq C cdot epsilon.$

對於 $I_2$ , 用Holder不等式，知

$I_2 leq | ilde f |_p cdot | g(x-t)- ilde g(x-t) |_{ p prime }.$

因為

故

$I_2 leq C cdot | g(x-t)- ilde g(x-t) |_{ p prime } leq C cdot epsilon.$

證完

注意：(c)中 $p= infty$ (端點情形)時，結論不再成立，可舉出一個反例. $egin{aligned} &f(x):=frac{1}{1+x^2} in L^1(mathbb{R}), g(x):=1_{ {x in R } } in L^infty(mathbb{R}), \ & Rightarrow f ast g(x) equiv frac{pi}{2} otin C_0(R) . end{aligned}$

另外，當一個光滑函數 $f$ 與一個可積函數 $g$ 作卷積，則 $(f ast g)$ 的光滑性不會低於 $f$ 的光滑性，也就是說兩個函數卷積總是保留其中那個好函數的光滑性。

另外，著名的H-L極大函數是可以寫成「卷積」的形式的。考慮

$egin{aligned} g(x) & :=frac{1}{|B_r(x) |} int_{B_r(x)} f(y) dy \ & =frac{1}{|B_r(x) |} int_{R^N} f(y) cdot I_{B_r(x)}(y) dy end{aligned}$

這裡， $B_r(x)$ 代表以 $x$ 為球心，以 $r$ 為半徑的 $N$ 維空間球體。

如果把 $g(x)$ 表達式中的特徵函數 $I_{B_r(x)}(y)$ 對應的球心移動到原點 $vec 0$ 上，即

$I_{B_r(x)}(y)= left{egin{array}{ll} 1, ext{if} x-r<y<x+r \ 0, ext{else} end{array} ight. = left{egin{array}{ll} 1, ext{if} | x-y | <r \ 0, ext{else} end{array} ight. =I_{B_r(vec 0)}(x-y).$

故

$egin{aligned} g(x_0) &= frac{1}{|B_r(x_0) |} int_{R^N} f(y) cdot I_{B_r(x_0)}(y) dy \ & =frac{1}{|B_r(x_0) |} int_{R^N} f(y) cdot I_{B_r(vec 0)}(x_0-y) dy \ & =frac{1}{|B_r(x_0) |} ( f ast I_{B_r(vec 0)})(x_0). end{aligned}$

====================9月29日======================

恆同逼近

卷積恆同逼近

這裡用 $C_0(mathbb R)$ 代替 $L^{infty}(mathbb R)$ ，因為用 $L^{infty}(mathbb R)$ 空間定理得不出相應的結論。只好退而求其次，考慮其子空間 $C_0(mathbb R)$ ，但是範數依然採用 $L^{infty}(mathbb R)$ 空間的範數 $| cdot |_{infty}$ 。