規範對稱的諾特流，一點點圖森破的小想法和小總結

04-29

最近很多人問我規範對稱的問題，正好在做研究的時候碰到了相關問題。也在這做一點微小的工作。

第一節

先以純QED（沒有物質）為例

$mathcal{L}=-frac{1}{4e^2}F_{mu u}F^{mu u}$

其中 $F_{mu u} = partial_{mu}A_{ u}-partial_{ u}A_{mu}$

規範對稱是指，拉格朗日量在 $A_mu ightarrow A_mu + partial_mu alpha(x)$ 這個變換下保持不變， $alpha(x)$ 可以是任意函數。諾特定理說，拉格朗日量的(連續)對稱性會有一個諾特流。那現在，選定一個 $alpha(x)$ ，就有一個守恆流，無窮多種alpha的選法就有無窮多個諾特流。然而，一般的教科書里都沒有提及這無窮多個諾特流，大家有想過這問題否？

第一步，當然是求出諾特流。直接套用諾特定理，會發現確實有無窮多個諾特流：

$j^mu = F^{ umu} partial_ ualpha(x) = partial_{ u}(alpha F^{ umu})$

第二個等號我們用了麥克斯韋方程 $partial_ u F^{ umu}=0$ . 諾特流的意義在於它暗示的守恆荷. 因為現在諾特流和alpha有關，所以我們對守恆荷用下標alpha標記，

$Q_alpha = int d^3x, j^0 = int d^3x, partial_{ u} (alpha F^{ u 0})=int d^3x, partial_{i} (alpha F^{i 0})$

第三個等號是因為 $F^{00}=0$

注意到 $F^{i0}$ 就是電場E的i方向分量，根據散度定理，守恆荷 $Q_alpha$ 其實是無窮遠處的「電通量」，

$int_infty dvec{S} cdot (alpha vec{E})$

只是增加了一個函數 $alpha(x)$ . 這裡就要區分小規範變換(small gauge transformation)和大規範變換(large gauge transformation)。小規範變換在無窮遠處是單位變換，大的那就是在無窮遠還有變化的了。因此，對於 $A_mu ightarrow A_mu + partial_mu alpha(x)$ , 小規範變換是指函數 $alpha(x)$ 在無窮遠為常數，實際上，不僅僅是要為常數，還只能是零（原因會在第二節說）。所以，小規範變換的 $Q_alpha$ 都是零。

第二節

現在考慮有帶電粒子的情況，比如說有一個標兩場 $phi$

$mathcal{L} = -frac{1}{4e^2} F_{mu u}^2 + |D_muphi|^2 + m^2|phi|^2$

要保持規範變換 $A_mu ightarrow A_mu + partial_mu alpha(x)$ 還是現在這個拉格朗日量的對稱性， $phi$ 必須經歷如下變換

$phi ightarrow e^{ialpha(x)}phi, quad phi^* ightarrow e^{-ialpha(x)}phi^*$

因此，在無窮遠處 $phi$ 不變的話 $alpha$ 只能是零，這正是上面為什麼說小規範變換里的 $alpha$ 在無窮遠必須是零。

在這個拉日朗日量里，通常我們把 $phi$ 和光子相互作用寫為 $A_mu J^mu$ ，這個大寫的 $J^mu$ 正是麥克斯韋方程里的源， $partial_{ u} F^{ umu} = J^mu$

我們發現， $A_mu ightarrow A_mu + partial_mu alpha(x)$ 導致的諾特流依舊是

$j^mu = partial_{ u}(alpha F^{ umu})$

所以還是有無窮多個守恆荷

$Q_alpha = int d^3x, j^0$

在這裡，我必須強調一點， $Q_alpha$ 和電荷是兩個完全不同的概念。電荷是 $phi ightarrow e^{ialpha(x)}phi$ 這個變換取alpha為常數(global part of U(1) gauge symmetry)用諾特定理弄出來的守恆量，i.e. $Q = int d^3x, J^0$ . 這點一定要弄清楚！

現在我們用微分幾何的語言把上面這些東西整理一下。我有無窮多個one-form諾特流 $j$ , 這樣我可以定義無窮多個守恆荷，

$Q_alpha = int *j$ 注意這是在全空間(三維)積分

這些個 $j$ 滿足 $j = * d(alpha * F)$ , 這樣 $*j$ 在全空間的積分可以用斯托克斯定理

$Q_alpha = int alpha * F$ 現在這個積分是在無窮遠的二維球面上，用彭羅斯圖畫出來就是下圖中的藍色球面

插圖來自

[1703.05448] Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory

我們已經知道 $Q_alpha$ 是守恆的，隨時間不變。在彭羅斯圖上，時間是從下往上流的，不同時刻的無窮遠球面，在彭羅斯圖上剛好就是上下移動這些藍色球面。然而你這樣移動球面，總會跨過類空無窮遠，就是下圖中的 $i^0$

也就是說從 $mathcal{I}^+_-$ 跨越到 $mathcal{I}^-_+$ ， $Q_alpha$ 不變，這就要求

$alpha|_{mathcal{I}^+_-} = alpha|_{mathcal{I}^-_+}$

假如你讀了我上面貼出的這個文獻的話，你會發現Strominger的做法剛好和我們是反過來的，我們是算出大規範變換的 $Q_{alpha}$ ，然後得出 $alpha|_{mathcal{I}^+_-} = alpha|_{mathcal{I}^-_+}$ 的結論。Strominger假設我們有滿足 $alpha|_{mathcal{I}^+_-} = alpha|_{mathcal{I}^-_+}$ 的函數 $alpha$ ，然後他證明 $Q_alpha = int alpha * F$ 是守恆的，最後他發現這個 $Q_alpha$ 剛好就是大規範變換的守恆荷。

未完待續。

鳴謝

作者感謝老闆，Wentao和Di對此工作做出的啟發和幫助。

參考文獻

Strominger, [1703.05448] Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory
Avery and Schwab, [1510.07038] Noether&amp;amp;amp;#x27;s Second Theorem and Ward Identities for Gauge Symmetries
Harvey, [hep-th/9603086] Magnetic Monopoles, Duality, and Supersymmetry