Reading note 4.21

04-28

這周讀了一篇挺有趣的文章

Lee, C. H., & Qi, X. L. (2016). Exact holographic mapping in free fermion systems. Physical Review B, 93(3), 035112.

大概的意思是在MERA中Dirac model對應得到的bulk state通過mutual information 定義了(1+1)D時空的metric, 然後發現對於critical case, 在漸進極限下通過適當選取參數可以對應到AdS的metric. 選取另外的case(m
eq 0, 有限溫等等)則會對應到另外的metric，這部分還沒細讀。

（以下沒有原創內容，只是補充些細節）

EHM 哈密頓量的重整化變換

來自該篇paper Fig.1

對於這個一維的MERA，假設最上層（即boundary層）具有 $2^N$ 個site；考慮無自旋費米子系統，且不含有另外的自由度，則第j個site的狀態只可以為 $|0 angle$ 或 $|1 angle=c_j^dagger|0 angle$ ，系統波函數表示為，

$|psi angle=T_{j_1,j_2,cdots,j_{2^N}}|j_1,j_2,cdots,j_{2^N} angle$

讓我們考慮喜聞樂見的單電子、具有平移對稱性的系統。由Bloch theorem, 波函數表示為，

$|psi_k angle=c_k^dagger|0 angle=frac{1}{sqrt{2^N}}sum_{j=1}^{2^N} e^{ikj} c_j^dagger|0 angle$

這裡的 $k$ 取值為 $k=frac{2pi}{2^Na}i,i=1,2,cdots,2^N$ .考慮unitary transformation, 如 $U_{12}$ 。我個人傾向於理解成transformation of the basis, 具體來說為

$left( egin{array}{c} alpha^dagger_j\ eta^dagger_j end{array} ight)= frac{1}{sqrt{2}}left( egin{array}{cc} 1 & 1\ -1 & 1 end{array} ight) left( egin{array}{c} c^dagger_{2j-1}\ c^dagger_{2j} end{array} ight)$

這裡 $alpha$ 對應圖中下一層的藍點(low energy, IR)， $eta$ 對應下一層的紅點(higher energy, UV)。很顯然這樣定義的 $alpha,eta$ 算符也是滿足費米子對易關係的。對於新的basis下的動量空間產生算符有

$|alpha_p angle=alpha_p^dagger|0 angle=frac{1}{sqrt{2^{N-1}}}sum_{j=1}^{2^{N-1}} e^{ipj} alpha_j^dagger|0 angle$

注意到這裡的 $p$ 取值範圍為 $p=frac{2pi}{2^{N-1}a}i,i=1,2,cdots,2^{N-1}$ . 接下來進行簡單的變換

$egin{aligned} |alpha_p angle&=alpha_p^dagger|0 angle=frac{1}{sqrt{2^{N-1}}}sum_{j=1}^{2^{N-1}} e^{ipj} alpha_j^dagger|0 angle \ &=frac{1}{sqrt{2^{N-1}}}sum_{j=1}^{2^{N-1}} e^{ipj}frac{1}{sqrt{2}}(c^dagger_{2j-1}+c^dagger_{2j})|0 angle\ &=frac{1}{sqrt{2^{N-1}}}sum_{j=1}^{2^{N-1}} e^{ipj}frac{1}{sqrt{2}}sum_k frac{1}{sqrt{2^N}} (e^{-ik(2j-1)}+e^{-ik(2j)})c^dagger_k|0 angle\ &=frac{1}{2^N}sum_k sum_{j=1}^{2^{N-1}} e^{i(p-2k)j} (1+e^{ik})c_k^dagger|0 angle\ &=frac{1}{2}[ (1+e^{ip/2})c^dagger_{p/2}+(1-e^{i(p/2)})c^dagger_{p/2+pi}]|0 angle end{aligned}$

由此我們得到了動量空間的算符變換。對於bulk degree of freedom對應的算符 $eta$ 也可以類似得到 $eta_p^dagger=frac{1}{2}[ (1-e^{ip/2})c^dagger_{p/2}+(1+e^{i(p/2)})c^dagger_{p/2+pi}]$ , 而對於湮滅算符取共軛即可。由此得到動量空間算符的矩陣變換為

$left( egin{array}{c} c_{p/2}\ c_{p/2+pi} end{array} ight)= frac{1}{2}left( egin{array}{cc} 1+w & 1-w\ 1-w & 1+w end{array} ight) left( egin{array}{c} alpha_p\ eta_p end{array} ight)$

其中 $w=e^{ip/2}$ 。這就是原文Eqn.(19)中用到的矩陣V。由於這裡重整化的方向是從高能向低能，因此變換後的哈密頓量我們只保留低能部分。

$egin{aligned} h^n&=sum_p left( egin{array}{cc} c_{p/2}^dagger & c_{p/2+pi}^dagger end{array} ight) left( egin{array}{cc} h^n(p/2) & 0\ 0 & h^n(p/2+pi) end{array} ight) left( egin{array}{c} c_{p/2}\ c_{p/2+pi} end{array} ight)\ &=sum_p left( egin{array}{cc} alpha_p^dagger & eta_{p}^dagger end{array} ight) V^dagger left( egin{array}{cc} h^n(p/2) & 0\ 0 & h^n(p/2+pi) end{array} ight) V left( egin{array}{c} alpha_{p}\ eta_{p} end{array} ight) end{aligned}$