Dirac不可積相位與磁單極子

04-28

雖然磁單極的思想在經典物理學裡也許曾在電和磁的早期歷史中被討論過，這個概念的現代討論只能從1931年算起，從狄拉克的重要論文開始。
——楊振寧《磁單極、纖維叢和規範場》

1931年Dirac發表論文"Quantised Singularities in the Electromagnetic Field"，討論了量子力學的不可積相位問題和磁單極，已被引用一千多次。以下對這篇文章做介紹，並寫一點後續發展。

Dirac不可積相位

在提出了相對論量子力學和正電子理論後，狄拉克希望理解電荷為什麼是量子化的。精細結構常數

$alpha= frac{hbar c}{e^2}=137$

元電荷量可以由 $alpha$ 得到，但137這個值只能由實驗測得。狄拉克想從更基本的原理出發理解這件事情，於是開始考察量子力學中有什麼玄機。他把注意力放在了以前被忽視的波函數相位上。若有波函數

$psi=Ae^{igamma}$

其中 $A$ 是 $(x,y,z,t)$ 的函數。給定粒子的運動狀態， $psi$ 除了相位 $gamma$ 可以加任意常數外，其他都是確定的。因此談論一個點的相位大小沒有任何物理意義，只能比較兩個點之間的相位差。進一步設想，既然相位這麼隨意（在規範變換 $gamma=gamma+f(x,y,z)$ 下物理結果不變），那麼我們只能比較同一個位置的相位。要比較不同兩點的相位差，則必須用一條路徑將兩者連起來，相位差依賴於會平移路徑。但這樣的相位差會受到規範變換的影響

$Deltagamma=Deltagamma+f(x,y,z)-f(0,0,0)$

$(x,y,z)$ 和 $(0,0,0)$ 是要比較兩點的坐標。真正有意義的是閉合路徑，繞閉合路徑後的相位差不受規範變換影響，具有現實的物理意義。那麼這樣的相位會有什麼影響呢？

$langlepsilvertpsi angle$ 顯然不會受到相位的影響。若採用不同的兩個波函數做內積 $langlepsi_alvertpsi_b angle$ ,其模方有實際物理意義。對於

$int psi_a^*psi_bdxdydz=int A_aA_be^{gamma_b-gamma_a}dxdydz$

要想積出確定的值（更準確的說是內積的模有確定的值），那麼 $psi_a$ 與 $psi_b$ 在路徑上每一點的相位差必須固定。這就推出了一個重要的結論：任意兩個波函數繞同一閉合路徑，相位變化是相同的。引力場中物質的運動與物質本身無關，而是時空的幾何效應導致的。在這裡，從現在也可以意識到波函數的繞異性是一種幾何現象。

為了描述這個現象，引入不可積相位 $eta$ ， $psi=psi_0e^{ieta}$ ，其中 $psi_0$ 是在空間有良好定義的平凡波函數。雖然 $eta$ 不是時空坐標的函數，但是可以定義

$kappa_{mu}=partial_{mu}eta$

指標 $mu$ 取 $(t,x,y,z)$ ，波函數繞閉合路徑後相位改變 $oint kappa_{mu}ds_{mu}$ 。對波函數做偏導，

$-ihbarpartial_{mu}psi=e^{ieta}(-ihbarpartial_{mu}+hbarkappa_{mu})psi_0$

從中可以看出，有不可積相位的波函數得到的動量和能量似乎多了一項，動量 $p_i+hbarkappa_{i}$ ，能量 $E-hbarkappa_0$ 。這就表明，粒子應該在某種場中運動。如果是電磁場，場的勢為

$A_i=frac{hbar c}{e}kappa_iqquad A_0=-frac{hbar}{e}kappa_0$

含不可積相位的粒子與電磁場中運動的粒子動力學特性相同。這就給不可積相位找到了物理意義。倒過來說，電磁場其實就是這種幾何效應。在很早的時候，外爾就發明了規範理論，企圖通過幾何標度變換統一引力和電磁力，不過失敗了。

楊振寧總結：把不可積相位表示成積分形式是引向規範場概念的三種方法之一。

圖片摘自楊振寧《磁單極、纖維叢、規範場》

Dirac量子化條件、磁單極

當沒有電場，只有磁場的時候，繞閉合路徑後相位的改變為 $frac{e}{hbar c}ointvec{A}cdot dvec{l}$ 。粒子在電磁場中的運動是早就清楚的。似乎研究不可積相位不會帶來什麼新的物理（在那個時候大家認為場強B和H是基本物理量，沒有人意識到會有AB效應）。狄拉克把繞閉合路徑後的相位改變推廣為

$2npi+frac{e}{hbar c}ointvec{A}cdot dvec{l}$

即對波函數 $psi$ 做了規範變換 $psi=psi e^{inphi}$ ，規範函數有奇點，故稱為奇異規範變換。 $2npi$ 無法觀察到，那麼加了 $2npi$ 能推出什麼什麼結論？

對於無窮小的閉合路徑，相位改變應該要無窮小，即 $n=0$ ，因為相位是連續的。要使 $n eq0$ ，無窮小閉合路徑一定包著什麼奇怪的東西。若 $n eq0$ ，那麼相位的連續性不能保證，無窮小路徑包含的這個無窮小區域內相位應該是無意義的。有這樣的區域嗎？有，波函數等於零的區域，相位沒有意義，所以可以隨意。在三維空間中復波函數為零需要滿足兩個條件，所以一般波節是一條線，狄拉克稱之為節線(nodal line)。無窮小閉合路徑包圍結線，n可以不等於0。在節線上矢勢也是奇異的。