Kontsevich-Rosenberg principle的一個例子？

04-28

對於field $Bbbk$ , 我們有contravariant functor

$mathrm{Rep}_n:mathrm{Alg}_Bbbk ightarrowmathrm{Scheme}_Bbbk,$

其中 $mathrm{Alg}_Bbbk$ 是over $Bbbk$ 的associative algebra的category，而 $mathrm{Scheme}_Bbbk$ 是over $Bbbk$ 的scheme的category。對於over $Bbbk$ 的associative algebra $A$ ， $mathrm{Rep}_n(A)$ 是space of all $n$ -dimensional $Bbbk$ -linear representations over $A$ 。

Kontsevich-Rosenberg principle是說：

$A$ 上的非交換幾何結構或性質應該誘導 $mathrm{Rep}_n(A)$ 上的交換幾何結構或性質。

作為最簡單的例子，scheme $mathrm{Rep}_n(A)$ 的smoothness對應於 $A$ 的homological smoothness。假如允許 $A$ 是dg algebra， $mathrm{Rep}_n(A)$ 的Calabi-Yau property對應於 $A$ 的Calabi-Yau property。

另一方面，我們可以定義moduli stack $mathscr{U}_{g,g}$ of projective curves of arithmetic genus $g$ with $g$ marked points。考慮genus $g$ curve with $g$ marked points $(C,p_1,cdotcdotcdot,p_g)$ ，定義graded associative algebra

$A_{g,g}:=mathrm{Ext}(mathcal{O}_Coplusmathcal{O}_{p_1}opluscdotcdotcdotoplusmathcal{O}_{p_g},mathcal{O}_Coplusmathcal{O}_{p_1}opluscdotcdotcdotoplusmathcal{O}_{p_g}),$

其中 $mathcal{O}_C$ 是structure sheaf，而 $mathcal{O}_{p_i}$ 是skyscraper sheaf。注意 $A_{g,g}$ 是independent of curve和marked points的選擇的，所以well-defined。我們可以考慮 $A_{g,g}$ 上的moduli scheme of $A_infty$ -structures (up to gauge equivalence and $mathbb{G}_m^g$ -action) $mathscr{A}_{g,g}$ 。Polishchuk證明了存在identification

$mathscr{U}_{g,g}congmathscr{A}_{g,g}$

Moduli of curves as moduli of A∞-structures?

projecteuclid.org

關於這個結果的推廣和在homological mirror symmetry上的應用，見：

https://www.degruyter.com/view/j/crll.ahead-of-print/crelle-2017-0015/crelle-2017-0015.xml?

www.degruyter.com

Arithmetic mirror symmetry for ge nus 1 curves with n marked poi nts?

link.springer.com

仔細品味一下Polishchuk的定理：模空間 $mathscr{U}_{g,g}$ 來源於marked curve的交換幾何，而模空間 $mathscr{A}_{g,g}$ 來源於graded algebra $A_{g,g}$ 上 $A_infty$ -structure的非交換幾何。因此很自然地想到如下問題：

這個定理是否能看作Kontsevich-Rosenberg principle的一個例子呢？