量綱分析簡介

0 引言

為了辨識某類物理量和區分不同類的物理量的方便起見，人們採用「量綱」這個術語來表示物理量的基本屬性。例如長度，時間，質量，速度，力這些物理量顯然具有不同的屬性，因此他們具有不同的量綱。

我們可以按此將物理量分為兩種，一種是有量綱量（例如之前所提到的），一種是無量綱量（角度，長度、時間之比等）。

但事實上，各個物理量之間是由公式和定義相聯繫的。因此，我們沒有必要給每個物理量指定一個量綱。我們可以選定一組物理量作為「基本量」，而其他的物理量可以由關係式（定律或定義）導出，稱之為「導出量」。例如在力學中，速度的量綱可以寫成的形式，其中L表示長度量綱，M表示質量量綱，T表示時間量綱。

1 量綱的冪次表示

由上述的例子，我們可以猜測，在力學中，所有物理量的量綱都可以寫成的冪次的形式。我們可以通過簡單的數學推導來證明這個事實。（這是對這個網址上的一道題的解答）

為了度量一個物理量，我們需要選定一個度量單位系統來得到量值，於是有。的大小隨選用單位的大小而確定。如果選擇另外一個度量單位系統，則會得到另一個度量值。有。

（註：這裡不得不提一下，一些同學往往會混淆單位和量綱的概念，而事實上兩者是有區別也有聯繫的。這裡舉個例子，我們在日常生活中度量長度，我們會選定一個剛性尺的長度作為基本單位，用其他長度和這把尺子比較，得到長度的值，國際單位制中，這把尺子的長度就定位1m。單位起到了承載量綱的作用，而量綱則表示了物理量的基本屬性）

我們假設單位系統的長度、質量和時間相比於各縮小了，，倍數，那麼和的比值一定取決於縮小的倍數，即有，現在我們求解函數的具體形式。

假設另外還有一個縮小的單位系統，長度、質量和時間相比於各縮小了，，倍數，則有，且有。然而從單位系到的縮小倍數是、、，所以又有。

比較上面兩式，我們得到函數滿足的方程，。由於單位系是任意的，可以將去掉，現在我們固定單位系而改變單位系，對上式兩端同時求關於的偏導數，並令（，，）（，，），可得:。方程左端的第二項顯然是一個常數，可以記為。由於單位系的選擇也具有任意性，可以將字母上方去掉。同理可得其他兩個方程。則方程組可如下列出：

，

，

，

則可以解出函數是冪次乘積的形式。相對應的，物理量的量綱也是冪次乘積的形式。

2 定理

由上一部分的結果，我們可以得出一般物理量的量綱式可以寫成，兩邊取對數，則有，這裡可以將，……，看成m維空間的「正交基矢」，則就是「矢量」在基矢上的投影。

我們假設某物理問題內涉及n個物理量（包括物理常量），有函數關係。而假設我們所選的單位制中有m個獨立的基本常量()，則n個物理量中最多只能有m個是獨立的，不妨設為前m個物理量。由線性代數的知識，後n-m個物理量的量綱都可以被前m個物理量"線性表示"，即有（），則可以組成個無量綱數，。

我們可以選擇一個單位制，使得在該單位制下，的值為1，則由上面的關係式，可以得出在新單位制下，的值為。

由於n個物理量之間的函數關係顯然不會因為單位制的變化而變化，則函數關係可寫成:（）。而這就是所謂的定理，是量綱分析法的理論基礎，由Buckingham在1914年首次提出的。

定理可以表示成另一種等價形式，這一形式在很多場合更加便於使用。在一個問題中物理體系的發展和演化往往由若干個變數決定，不妨把它們叫做「主定參量」，在上面的例子中就是主定參量，如果我們此時對某個物理量感興趣，譬如說，我們可以從式解出，又因為，可以解得，這就是定理的另一種形式的表述。

3 一些應用

關於量綱分析的應用很多，這裡僅舉出幾個代表性的例子。

證明勾股定理

一個直角三角形的面積可以由它的一邊（如斜邊AB）和一個銳角（如）所決定。角是無量綱的，我們由定理可以寫出總面積，CD是三角形斜邊上的一條垂線，同理我們可以寫出三角形ACD面積，三角形BCD面積為，由於，我們就可以得到勾股定理

單擺的周期

我們知道單擺質量m，重力加速度g，擺長l，周期T和總能量E與這個問題有關，我們可以選擇m,g,l作為基本量（它們顯然是獨立的），則由定理，我們可以用這幾個量組成兩個無量綱數。很容易猜得這兩個無量綱數為和，則周期，小擺幅情況下可以將展開，忽略高階量，周期可寫成，是常數，可以由實驗定出。

求轉動慣量

基本思想是對於一個具有對稱性和自相似性的物體，繞一定軸的轉動慣量可以寫成，是物體的幾何參量，是常數，是物體的總質量，我們僅需要求出。由於研究物體的特殊性，我們可以將物體分為幾個自相似的部分，並應用平行軸定理，可解出。具體算例由於篇幅所限不再給出。

本擬再花部分篇幅進一步討論一下量綱分析，但是發現自己對其中的一些細節依然不是很理解，故在本文中不再給出。如果某天想明白了這些問題，會立即更新在本文中。