生命之流：系統之流

開放、非平衡系統與流動

可能你已經厭煩了熱力學和熵的討論，因為「熱」和「熵」這兩個名字總會給人一種不舒服的感覺。的確，當我們把熱力學第二定律應用到整個宇宙身上——按照目前人們對宇宙的理解，宇宙本身是一個孤立的系統，即沒有物質和能量注入——整個宇宙將演化到一個熵最大的狀態，這個狀態有一個臭名昭著的名字：「熱寂」。如果說萬事萬物都有方向和目的的話，那麼第二定律就告訴我們，這個目的就是熱寂。

問題的關鍵在於：熱力學第二定律描述的是孤立系統，儘管整個宇宙很可能是一個孤立系統，但是宇宙中的任何一個局部從嚴格上來說，都是開放的系統，能量或者物質都不可避免地流進局部系統之中。因此，當我們分析一個開放系統的時候，它實際上更可能處於一種非平衡的狀態，即外界的物質和能量的流入驅使著系統不斷地演化。所以，熱力學第二定律所描述的「熱寂」情況並不實用，因為我們面臨的實際系統很少處於絕對的孤立且平衡的狀態。我們必須從平衡態的世界跳到非平衡態的世界。

當我們放眼非平衡世界的時候，奇妙的秩序開始映入眼帘。我們可以做一些非常簡單易行的小試驗。把你家的蓄水池裝滿水，然後打開水池底下的閥門，你會看到水慢慢地從閥門中流出去。如果閥門開口不大，則水流得會很平靜，而當閥門開口大到一定程度的時候，池子中的水就會形成漩渦，這種漩渦呈現出某種漂亮的弧形有序結構。如果你再打開水龍頭往池子里注入水，使得流入水的速度=流出水的速度，那麼你就能夠得到穩定的漩渦結構了（圖6-1）。

圖6-1 有序的漩渦結構

讓我們再來看一個物理學中的著名實驗：貝納德對流。

圖6-2 貝納德對流試驗

如圖6-2(b)所示，給一個裝有薄層液體的容器底部加熱，上部分是敞開的，允許熱量從上面跑出去，液體的上下表面保持一定的溫度差△T。當△T高到一定程度的時候，該水面會形成如6-2(a)圖所示的漂亮的六角格花紋。這些漂亮的花格是由大量分子通過協調、整體的對流運動而形成的有序結構。

注意，在這個系統中，沒有物質的流入流出，而僅僅是能量的流入、流出，因此，我們看到能量流也可以創造有序。

然而，什麼是能量流呢？我們都已經熟悉了能量的概念，例如，滾動的小球攜帶著動能，當小球滾動到粗糙的平面上，小球攜帶的動能就轉變成了熱能。然而，在非平衡系統中，我們關注的不再是物質攜帶的「靜止」的能量，而是能量在不同物體之間的轉換過程本身，這些能量的轉換過程構成了能量流。

讓我們來看一個簡單的例子，假設有一排靜止的小球放在光滑平面上，如圖：

圖6-3 小球與能量流

當我們給最左邊的小球賦予一個初速度v，小球開始往右運動，與第二個小球發生碰撞，如果兩個球質量相同，則他們發生速度交換，第一個小球停下來，第二個小球繼續以速度v往右滾。第二個小球又碰撞第三個小球……

我們知道運動的小球攜帶著動能1/2 mv2，那麼當第一個小球和第二個碰撞的時候，第一個小球的動能1/2 m v2就傳遞給了第二個小球，同樣第二個小球把相同的能量傳遞給了第三個小球……。物質在轉化的時候是守恆的，這就意味著，當我把我手上的100塊錢給了你以後，我的100塊沒了，你多了100塊，而100塊錢本身並沒有消失。但是，能量畢竟不是物質，所有小球碰撞過程中傳遞的是一種「運動的能力」，而不是具體的物質。但因為能量守恆，第一個小球的運動能力沒了，等量的能量就傳遞給了第二個小球。所以，這種運動能力的轉移過程就可以看作是能量的流動。

具體說，能量流就發生在能量在兩個小球之間的轉換過程。所以第一個小球碰撞第二個小球，就會有一股能量流從球1流到球2。如果我們在左邊不停的加入速度v的小球進去，並把新加入的小球同樣命名為1（因為小球之間不可分辨），把原來的小球1看作是2……。那麼，我們就會看到一股持續不斷的能量流流到系統之中，即1到2的能量流會被不停地重複，同樣2到3的能量流也會不停地重複。在這種情況下，用能量流來描述這個系統就會更加方便了，這個系統就好像一條小河，有源源不斷地水流流進。（如圖6-4所示）

圖6-4 碰撞小球例子中的能量流

當然，在小球例子中能量流並沒有創造什麼有序結構，因此能量流僅僅是產生有序的一個必要條件。至於能量流與有序結構的關係，我們將在第7、8章詳細討論。

下面，我們需要進一步了解有關能量流的知識。

生物圈與能量流

從能量流的角度不僅可以理解諸如小球、貝納德對流這樣的簡單物理過程，還可以理解整個生物圈的一切生命過程，甚至包括我們人類的生產活動。因為整個地球生物圈就是一個能量流動、物質循環的過程。如圖：

圖6-5 地球生物圈的能量流動與物質循環

當我們放眼整個地球生物圈的時候，實際上主要關注兩種過程。一種是能量流動，另一種是物質的循環。我們都知道，地球上的主要能量來源就是太陽。太陽內部因為熱核反應而產生出每秒3.9x1026焦耳的能量，其中只有一小部分入射到地球表面。平均來講，地表每平方米在每秒鐘接收到的太陽輻射能量將近1400焦耳。也就是說，地球實際上浸泡在一個太陽輻射的能量流的海洋中。太陽的能流流入地球生物圈系統之後就會發生一系列的轉化過程。這一系列過程就好像一系列的小球碰撞一樣，能量以不同的形式轉變成另外一種形式。最後，因為熱力學第二定律，所有的能量都要以廢熱的形式輻射到宇宙空間中。正如小球的例子一樣，我們可以把能量流理解為一種抽象的「運動能力」，或者是「做功能力」的轉移和傳遞，所以，我們可以假想一個能量粒子（它並不是物質，而是一種純能量），考察它在整個地球生物圈中的運動過程。

我們不妨把這個能量子命名為小r，它可以呈現出各種不同的能量形態。開始，小r被太陽的熱核反應釋放出來，一路顛簸，終於來到了地球表面。當小r輻射到地球的時候，會有很大的概率打到土地表面或者海洋中，這樣小r要麼被反射出去（進入宇宙太空），要麼被這些表面吸收，而變成熱能。當然，很有可能小r不幸地打到了某植物的綠葉上，這樣，它仍然會有近76%的概率被植物反射出去而沒有吸收。當然如果它足夠倒霉，那麼它會有近24%的可能性被植物綠葉吸收而進行光合作用（圖6-6）。(轉載請註明出處：http://www.swarma.org)

（圖中管道的粗細表示能流的大小，圖中的輸入表示從該系統的鄰近區域由於擴散或者物質的流動或者動物的遷徙而流入該區域的能量，輸出表示該區域流向其他區域的能量）

一般來講，光合作用是一種複雜的化學反應過程，它可以簡化成方程式：

其中(CH2O)表示糖類有機物。所以植物的光合作用就是把水和二氧化碳在光照的條件下轉變成糖和氧氣的過程。在這個反應中，能量發生了轉變：從光能轉變成了糖類中所包含的化學能以及一部分廢熱。這就好像是一個小球撞擊到另一個小球的時候能量發生轉移一樣。我們可以假設能量子小r並沒有變化，而是被轉移到了糖類的大分子中，小r後面的歷程就一直跟隨著糖分子走，所以我們把這個由r轉化成的糖分子也叫做糖分子小r。

接下來，糖分子小r可能被植物自己的呼吸作用而分解掉（再次轉變成廢熱），又有近40%的可能性被一直儲存在該植物體內。這棵植物（草）有可能倒霉地被兔子吃掉，因而小r就以植物生物量的身份轉變成了兔子體內的生物量（兔子肉）。同樣，兔子也會由於呼吸作用或者其他的活動（例如跳躍、奔跑、繁殖後代等等）而把糖小r燃燒掉變成熱量排出。但是這隻倒霉的兔子也可能被狼吃掉，於是小r就有16%的概率再次轉移到狼體內（變成狼肉）。沒過幾天，這隻吃了小r的狼可能倒霉的死掉了，那麼小r又可能被土壤中的細菌（分解者）抓到，於是細菌把小r分解掉轉變成廢熱，同時把糖小r中的碳元素還原為無機物（CO2），再次返回到環境中。

不過糖小r也可能經歷另外一種命運，死掉的狼並沒有完全被細菌分解掉，而是經過多年的沉積作用而變成了地裡面的石油。於是小r就變成了一滴石油。若干年後，埋藏在石油中的小r又可能會被某石油廠採集到，從而進入了人類社會的工業世界。這滴包含了小r的石油又可能被熱電廠轉變成電能。這樣，電能小r通過高壓輸電線路輸送到你的個人電腦里，於是你的電腦為了打開本文檔而進行了一次CPU運算，這次CPU運算終於把電能小r轉變成了廢熱而迷失到空氣中。

實際上，關於能量子小r的故事還沒有講完，因為根據熱力學第一定律，能量是不會消失的，所以即使小r轉變成了熱量，它仍然可以體現為分子的運動動能而存在。但是，根據熱力學第二定律，其它形式的能量可以轉變成熱，但是熱不能轉變為其它能量，所以這些迷失在環境中的熱能不可能再次流到我們關心的生物圈系統中。

任何能量轉移過程都要伴隨著熱量的損失，所以，在非平衡態系統中，熱力學第二定律扮演的角色就像是一個收稅的政府官員。熱量一旦產生就不能再被利用，所以它相當於一種絕對的能量流出。這就好像是在經濟系統中，國家向每一次交易行為都徵稅，從而導致每次貨幣轉移都必然伴隨著一定量的貨幣流出而轉變成稅收一樣。在圖6-6中我們看到，能量流中有很大部分都轉變成了熱量，這相當於大自然這個稅收官非常苛刻。大自然的能量流轉換過程必須非常努力才能讓僅有的可用能量向食物鏈的高端轉換。

物質流動與能流價值

在地球生物圈中，另外一種流動過程就是物質的循環。從物質角度來講，地球生物圈可以近似看作一個封閉的系統，即幾乎沒有物質的流入和流出。不同的化學、生物形態僅僅是一些元素的不同組合形式而已。例如，碳是一種地球生物圈中的重要化學元素。雖然碳元素的總量是守恆的，但是它會以不同的物質形態體現，如：二氧化碳氣體、糖類物質、石油、大理石等等都是包含碳元素的化學物質。因此，整個物質循環過程就是在能量流的驅動下完成的由各種化學元素（主要是碳、氫、氮、氧等）不斷拼接、重組而形成新化學物質的過程。圖6-7就是一個生物圈碳循環的簡單示例：

圖6-7 生物圈碳循環

與能量流動不同的是，物質的流動往往都是可見的。例如生態學家們可以通過碳的同位素來跟蹤某碳原子在整個生態圈中的流動過程。然而，對於能量來說，這種追蹤就是不可能的。因為能量是一種抽象的描述變化能力的量，它不能體現為具體的有形物質。

既然能量流是不可直接觀測的量，那麼物質的流動過程能否反映出能量流的情況呢？答案是肯定的，因為隨著能量往食物網高端流動，凝固這些能量的物質形態就會變得越來越複雜。從生物化學的角度來講，高等生物體（消費者）的生物量要比低等生物體的生物量具有更複雜的分子物質結構。而反過來，當高等生物體把複雜的分子分解成相對簡單的分子結構的時候往往都會釋放掉儲存於複雜分子中的化學能。

實際上，任何一種生物的新陳代謝都可以歸結為兩種過程，我們可以形象地把它們稱為「充電過程」和「放電過程」。在充電過程中，系統會從外界吸收能量，並把它們用更複雜的物質結構儲存起來。在放電過程中，系統會利用分解複雜的物質而把儲存的能量釋放掉，以便完成自己想要做的事情。不僅僅是針對生物體，很多自然或者人工過程都可以看作是新陳代謝的充電和放電過程。例如，給一輛汽車加油就是一種儲存能量的充電過程，汽車在馬路上奔跑就是一種釋放能量的過程。這種廣義的新陳代謝甚至可以用來描述更大尺度的系統，例如人類城市。我們知道城市在每時每刻都需要外界的能量和物質的輸入，同樣，它還不斷地以各種各樣的人類活動方式把輸入的能量和物質釋放掉、燃燒掉。(轉載請註明出處：http://www.swarma.org)

從食物鏈的角度看，能量流越往食物鏈的頂端流（往高級消費者的方向流）就相當於創造越複雜的物質，從而這一直是充電的過程。雖然從能量流的角度看不出高級和低級的區別，但是從物質的複雜性角度看，不同的能量流就有了價值之分。往食物鏈頂端流動的能量被用來充電，因此食物鏈高端的物質儲存的能量價值也就越高。

更有意思的是，要生成一單位的高級能量往往需要大量的低級能量。例如，每凝結一克食草動物的生物量，就需要有100克的植物生物量的供給，換句話說，100克的植物生物量才能與1克的食草動物生物量相當，這是因為兔子要捕食大量的草才能維持一隻兔子的生存。同樣，可能需要10隻兔子才能餵飽一隻狼，所以一克狼的生物量相當於10克兔子的生物量。隨著我們往食物鏈頂端攀升，物質的複雜性升高，它也就需要越來越多的低級物質供給。假如我們承認人類是處於食物鏈的最頂端的話，那麼人類文明創造的一小點物質（例如一個晶元）就凝結了大量的食物鏈底端的物質和能量。所以，雖然晶元進行運算消耗的能量絕對值很小，但是這小點能量消耗的價值卻很高，因為它是靠犧牲大量低層的能量完成的。

從空間上看，處於食物鏈高端的生物會佔領較大的棲息地，所以在一片森林中，你會發現大量的草和樹木，而食草類動物例如兔子就少得多，而吃兔子的老虎則可能整片森林就有一隻。著名生態學家Odum很早就注意到了這些能量、物質流模式，並把它們概括成類似下面的圖：

圖6-8 食物網中的能量流模式

其中上面的第一幅圖表示相應層級生物的棲息地，從左到右分別是植物、食草類動物、食肉類動物、二級食肉類動物。下面的a,b,c相應的為食物網、聚集之後的食物網、以及每兩個層級之間的能量轉換大小。能量流的反饋可以認為是高級生物為了捕食低級生物而消耗的能量（見參考文獻Odum 1988）。

Odum提出了很多有價值的概念來描述能量流模式的層級性，但是直到最近，人們才發現可以用一些冪率關係來精確定量的描述這種層級性，這就是近年來發展快速的「尺度生物學」（Scaling biology）研究的內容（請看參考文獻：Scaling Biology）。

廣義的流

到此，我們已經得到了一種新的看待整個複雜系統的研究範式：能量流。但是，這種研究範式總讓人感覺有很大的缺陷。雖然說所有事物的存在都必須由能量流來推動，但是很多問題不能僅僅歸結為能量流。例如，我們要解釋生物的遺傳和進化，就不需要把視角降低到底層的能量流，而只需要關注A,G,C,T組成的序列就可以了。我們要解釋人類社會，最方便的視角是從經濟系統進行認識，而不一定非要還原到能量流。所以，似乎能量流的視角過於還原論了。

不過，當我們把問題看「透」，就會發現，實際上能量流範式給我們帶來的啟發可以泛化到一類更廣義的問題：流。通過流動這個視角去看待複雜系統就會發現能量流僅僅是廣義流動的一種特殊形式。

在經濟系統中，貨幣流可以充當和能量流非常相似的角色。如果我們把經濟系統中的大大小小的企業看作是生態系統中的物種，那麼經濟消費者就好像是太陽。因為消費者持有貨幣，他們可以把貨幣流源源不斷地注入經濟系統中。這些企業對貨幣的需求就彷彿是物種對能量的需求，因為貨幣就是糧食，沒有了錢，任何企業都不能活下去。企業和企業之間還可以通過交易實現貨幣的流通就好像物種通過捕食而實現能量在物種之間的傳遞一樣。單個的企業也跟單個的生命一樣需要新陳代謝。一方面，企業要獲得貨幣流的注入並把它們存儲起來（充電），另一方面，企業又要把貨幣花出去，購買一些勞動力或者原材料以便再生產（放電），從而獲得更多的貨幣。

在人體中，血液（尤其是動脈血）充當的角色和生態系統中的能量流也有非常相似的特徵。首先，人體作為一個整體系統要能調節、整合所有的器官、組織，就一定要有某種共同的機制把所有的子系統串聯起來，這就是血液的價值所在。同樣，心臟的作用就像是太陽一樣，它是整個血液系統的能量源泉。每個器官都在心臟的帶動下不斷進行舒張、收縮，從而完成一個又一個的新陳代謝循環。它們從動脈血中吸收進有用的能量，而往靜脈血輸出廢物。所以，人體就是一個小生態系統。

信息的傳播也可以看作一個信息的流動過程。例如，在課堂上，老師的授課就是唯一的信息來源，而所有的學生就是接收信息的主體。課堂與生態系統之間的類比的確有些牽強，不過當我們把整個知識傳播體系看成是生態系統的話，那麼這個比喻就會非常生動。例如，具備高度知識創新性的個人或者團體就是知識的生產者。接受了這些信息的人就好像知識的消費者。有些人接受了信息之後又會把它們再次傳播給別人，那麼接受轉載信息的人就像是知識的二級消費者。每個社會上的個體既需要知識，同時本身又可以再加工知識而把一些信息傳遞給別人，這就相當於是生物體的新陳代謝。整個知識傳播體系就由信息的流動而串聯成一個龐大的網路。

採用流動的視角看待整個系統的一個好處是可以總結出一些共有的規律，就好像近年來發現的複雜網路中共有的「小世界」、「無尺度」等現象一樣，雖然能量、貨幣、血液、信息等等流動非常不同，但是它們遵循著某種共有的模式和規律，我們將在下一章詳細論述它們。

討論了這麼多具體的流動現象，那麼究竟什麼是流呢？我們可以給流這種複雜系統中普遍存在的現象下一個描述性的定義：

在某種介質上，大量主體的集體協調運動行為就叫做流。

首先，介質是指一種廣義的空間。它可以是具體的物理空間（例如我們生活的三維歐幾里德空間），也可以是抽象的網路空間（例如由人當作節點，交易當作連線構成的交易網路）。其實，網路可以看作是流最一般的介質，因為即使是三維物理空間也可以轉化成一個規則網路。

其次，主體是一個未定義的描述性概念。一般來說，任何一種具體或者抽象的事物在網路上流動都可以看作是主體。例如前面講到的幾個例子中的能量量子、碳同位素原子、貨幣、信息比特就都是流動主體。另外，流動主體還可以是非常抽象的東西，我們下面會進一步介紹。

最後，集體協調運動又是一個描述性概念。我們先來考慮一種無方向的隨機運動：幾個粒子在兩個節點間反覆不停的振動，從宏觀看，這些運動可能相互抵消了，因此我們看不到宏觀的兩節點間的流動。所以，更有價值的描述應該是：大量主體的協調有序的運動行為。這樣，在某個瞬時，有大量的主體同時從A流到B，那麼我們才能在宏觀觀察到一種A到B的流動。

也許你會覺得這樣的描述性定義太不嚴謹了，但是很多科學概念在初期都沒有嚴格的數學定義，這是因為我們沒有必要用數學的嚴格性來換取我們探索問題的廣泛性。描述性定義只要能夠把事情說清楚（在自然語言層次）就可以了。

不難看出，有了流的描述性定義，上面討論的所有有關能量流、物質流、貨幣流、信息流的問題就都能用這個定義描述清楚了。然而，抽象的定義本身不僅能夠涵蓋已有的具體例子，它還能泛化到一些更加抽象的概念上。對於流這個概念進行泛化就能得到一類所謂「狀態流」或者「概率流」的東西，它能夠幫助我們從更加抽象的層次理解很多複雜現象。(轉載請註明出處：http://www.swarma.org)

狀態流與馬爾科夫鏈

讓我們先從一個簡單的小實驗開始。你在桌子上把一枚硬幣立起來，然後讓它沿著立軸旋轉。當硬幣旋轉一段時間之後，它就會三晃兩晃倒在桌面上。這個時候，硬幣可能正面朝上，也可能背面朝上。

我們可以用硬幣的狀態以及狀態之間的轉變來描述這個過程。首先，我們給硬幣定義三種狀態 {立面, 正面, 反面} 。那麼，在旋轉的時候，硬幣處於立面狀態，之後硬幣倒下，它轉變為正面或者背面狀態。

下面，我們同時拿1000枚硬幣來做這個試驗，那麼，最後可能有500枚硬幣停在正面狀態，有500枚硬幣停在反面狀態。假如我們就在這些硬幣的狀態空間中考察這些試驗，我們會發現在時刻1，有1000個硬幣處於立面狀態，在時刻2，有500個處於正面，另外500個處於反面。這就是一個在狀態空間 {立面，正面，反面}上的流動！當我們把這個過程畫成圖的時候會看得更清楚（圖6-9）。當我們同時轉動1000枚硬幣，就相當於有1000個粒子流進了立面這個狀態。而當這些硬幣倒下的時候，就相當於有500個粒子流向了正面這個狀態點，有另500個粒子流向了反面這個狀態點。

圖6-9 硬幣試驗的狀態流

（流動的介質就是抽象的狀態空間{立面，正面，反面}，流動主體是硬幣試驗）

更一般的，我們可以用流的描述性定義來討論狀態流。狀態流是發生在狀態空間介質中的一種流動。只要你能給一類事物定義狀態，那麼流動就有了介質。其次，狀態流的流動主體是一種很抽象的東西：試驗。例如，在硬幣的例子中，其實硬幣本身並不能算作流動主體，而由每一個硬幣構成的每一次試驗才是一個流動主體（我們也可以用同一枚硬幣重複1000次試驗從而得到相同的結果）。這樣，在狀態空間中，有500個流動主體從立面流向正面表示的是有500次試驗經過了立面->正面的流動路徑。

有了這種認識，我們會發現其實任何一系列的變化過程都可以看作是狀態空間中的狀態流。例如你往一杯清水裡滴一滴墨水，並把這個實驗重複多次。那麼，用顏色作為狀態空間來考察杯子里的水就會發現水在狀態空間中的流動過程：清->灰->黑。再例如，考察一缸氣體分子，我們可以把每個分子的位置和速度看作是狀態空間（參考上一章），那麼我們不會在這種微觀狀態空間中觀察到宏觀的流動（因為每個分子完全隨機運動）。我們可以把這缸氣體的宏觀態，例如熵值作為狀態空間，同時置備大量相同系統的拷貝，那麼氣體分子的擴散行為就會導致熵空間中的一種流動。根據熱力學第二定律，熵值將增加，所以熵狀態空間中，我們會看到從低熵點到高熵點的流動。

讓我們再看一個有意思的例子：

圖6-10 硬幣碰釘子的遊戲

這是一個類似彈子球的遊戲，將一枚硬幣扔下，硬幣會與很多釘子（小黑點）相碰撞，從而彎彎曲曲滾出一條路徑，最後落到缸底部的某一個槽內，如果剛好落入WIN槽內，那麼這枚硬幣就歸你了。由於每次碰撞都是初始條件敏感的，所以我們最好用概率的語言來描述這個遊戲。

如果我們以每個釘子點看作一個系統的狀態，那麼硬幣整個的碰撞過程就是這個狀態空間中的一種狀態流。但是，由於微小的初始條件差異，導致每種狀態（釘子）到下一狀態（釘子）的轉移並不是固定的，而是按照某一概率取值。例如從第一個釘子滾到左邊的第一個釘子的概率是將近1/2，但也有可能硬幣從第一個釘子直接滾到第三排的第一個釘子上，只不過這個概率很小，比方說是1/10。所以，當我們做100次試驗的時候，那麼就可能有50次是從第一個釘子直接滾到第二排左邊的釘子，也有10次是從第一個釘子直接蹦到第三排的左邊第一個釘子上。

仿照此原理，我們可以把狀態i到一個未來的狀態j的轉移概率記作p(j|i) （在概率論中，p(j|i)也被叫做在條件i下到j的條件概率）。這樣p(2|1)=1/2, p(4|1)=1/10（狀態1為第一個釘子，狀態2為第二排第一個釘子，4為第三排第一個釘子）。我們可以定義每一對狀態i和j之間的轉移概率，這樣我們就可以把它們連接成一個網路，如圖：

圖6-11 硬幣碰釘子遊戲的馬爾科夫鏈

（其中每個節點表示一枚釘子，兩個節點的連線表示硬幣從上一枚釘子直接運動到下一枚釘子，邊上的概率數值表示從釘子i直接到釘子j的轉移概率。p(1)表示訪問節點1的概率，因為所有試驗都要先碰撞釘子1，所以p(1)=1）(轉載請註明出處：http://www.swarma.org)

在數學上，這種網路也被稱為馬爾科夫鏈（Markov Chain），因為俄國人馬爾科夫是最早研究這個數學模型的。其中每條邊上的條件概率實際上是和我們前面討論的流量成正比的。具體的，從狀態i到j的狀態流流量應該等於p(j|i)*p(i)*n。其中p(i)是訪問到狀態i的概率，n是總的試驗次數。比如用狀態2到4的流動來說，因為做100次試驗中有50次小球滾到了狀態2，所以p(2)=1/2。然後在這50次中，又有p(4|2)=0.5的概率流向了狀態4，所以總共有25次從2流到了4。

所以，馬爾科夫鏈和狀態流之間存在著密切的對應關係。一方面，我們可以把一個概率問題轉化成流問題，例如上面的討論。因此狀態流又可以稱作概率流。另一方面，我們也可以把一個網路流問題看作一個概率問題。例如，一個處於穩定態的水流網路（穩定態是指網路上的所有流量都不再變化了，因此每個節點的流入總量應該等於流出總量，否則流是不平衡的）如圖6-12：

圖6-12 一個水流網路的示意圖

我們可以把每個節點看作一個蓄水站，而節點之間的連線就表示兩個水站之間的水管。不同的權值就表示水管中的水流量，邊的方向是水流的方向。這個網路流問題其實就是一個典型的馬爾科夫鏈。我們只要把節點看作是狀態，把每個節點所有的流出量相加去除每條邊上的流量就得到了該條邊上的轉移概率。之所以流網路問題就是概率的馬爾科夫鏈，是因為我們可以假想某一個水滴流進這個網路，它就沿著水管流動，水管流量越大，它沿著這條路經進行狀態轉移的概率也就越大。例如，針對2和4兩個節點來說，假設某一個水滴流到了2這個節點，那麼它就有1/2的可能性流到4這個節點。而1/2恰恰就是2到4的流量除以2節點的流出總量（1/2=100/(100+100)）。

因此，只要我們把狀態空間看作是流動的空間，而把流動主體看作是試驗，那麼概率就是一種流量！後面，我們還會看到這種對概率的認識是非常本質的。另一方面，任何一個網路流問題（例如食物網）都可以看作是一個馬爾科夫鏈，這樣，我們就可以調用馬爾科夫鏈的一整套數學工具來研究流問題了。

小結

這一章引領我們進入了一個完全不同的非平衡世界，在這個世界中，我們關注的不再是一個一個的粒子，而是一股一股的流動。來自物理、化學和生態學的事實告訴我們，能量流不僅僅提供了地球生物圈生存的基礎，而且也是創造秩序的源泉。我們逐漸認識到，能量流的觀點其實構成了一整套思考流動的範式。從而，我們可以獲得更加本質、更加抽象的有關流動的定義，在這種更大的框架下，不僅僅貨幣流、物質流、信息流、血液流獲得了全新的知識定位，而且我們還可以去考察研究一種完全不同的流動：狀態流。對狀態流的深入探討發現，其實古老的概率論本身就是一套有關流動的理論，因為概率就等價於流量！這樣的認識有何作用呢？讓我們繼續前進。

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