基於Substance Designer 的2D/3D Perlin Noise(II)

04-27

最近花了些時間搜集和整理關於2d/3d雜訊, 以及程序化紋理/建模/特效相關的論文, 感覺學到了不少東西, 但終究還是紙上得來終覺淺, 在實現的過程中發現自己實在還是太弱了...好了, 不發牢騷了, 進入主題吧.

I. 原理---Gradient Nosie(梯度雜訊)

在前一篇文章中, 我提到的SubstanceDesigner中的2D Perlin noise, 實際上是一種稱為sparse convolution 的 nosie, 最早由Lewis提出, van Wijk也提出過類似的spot noise, 之後我做流體模擬時可能會提到這個人.

這篇文章, 我將主要介紹經典的Perlin noise演算法, 從最簡單的2D情形開始說起:

---------------------(i)Slicing!-------------------

Perlin將空間(在2D情形下就是一張空白畫布)劃分為nxn個的方形網格, 每個網格的長度剛好為整數, 例如256x256的就可以分成256x256個網格:(當然, 也可以分成128x128, 64x64, etc. 但其實思路是一樣的, 這裡為了簡潔起見, 只講晶格長度為1的情形)

在每個晶格(Lattice, 在這裡就是方格)的頂點M處設置一個隨機的(梯度)向量(Mx, My):

----------------(ii)Dot Dot Dot!------------------

對於畫布內每個點 $P$ , 取其坐標(x, y)的整數部分: $(Floor(x), Floor(y))$ , 該坐標即為其所在晶格的左上角頂點的位置;然後計算其到所在晶格左上角頂點的坐標之差，也就是其小數部分構成的向量 $(fx, fy)$ , 並取其與左上角頂點梯度向量 $Grad(i, j)$ 的點積:

$(fx, fy)ullet(Grad(i, j)_{x}, Grad(i, j)_{y}) = fx ast Grad(i, j)_{x} + fy ast Grad(i, j)_{y}$

然後採用類似的計算得到其餘三個頂點的點積:

$(fx - 1, fy) ullet (Grad(i+1, j)_{x}, Grad(i+1, j)_{y})$ ......... 右上角

$(fx - 1, fy - 1) ullet (Grad(i+1, j+1)_{x}, Grad(i+1, j+1)_{y})$ ......... 右下角

$(fx, fy - 1) ullet (Grad(i, j+1)_{x}, Grad(i, j+1)_{y})$ ......... 左下角

---------------------(ii)我插!---------------------

然後我們就要試圖對這四個算出來的點積進行線性插值, 如果直接用到左上角晶格頂點距離作插值係數的話, 可以觀察一下相應的插值函數圖:

y = x

由此可見, 在插值接近0(點 $P$ 接近其所在晶格左上角頂點)或1(點 $P$ 晶格右下角頂點)時, 函數的變化率非常尖銳, 這會導致結果圖在各個方格交界處有明顯的不連續跡象; 所以我們轉而使用開始和結束都光滑過渡(即, 一階導數和二階導數都為0)的函數

$f(t) = 6t^{5}-15t^{4}+10 t^{3}$ ,使用 $f(t)$ 對fx, fy分別進行處理，來獲得平滑的結果, 在3D情形下, 還要算fz;

記算得的2個權重為 $f(fx) = w_{x}, f(fy) = w_{y}$ ;

隨後做3次Linear interpolation:

前兩次以 $w_{x}$ 為權重, 算出晶格左上角頂點(i, j), 右上角頂點(i+1, j)之前算出來點積的插值a,

以及左下角和右下角之間的插值b;最後用 $w_{y}$ 為權重算出a與b的權重, 如圖:

II. 實現---Substance Designer中的2D Perlin Nosie

理論和原理就到此為止了; 接下來講的是我在Substance Designer中的實現代碼, 我順便把perlin noise拓展了一下, 做出來了FBm noise, 如圖:

其中負責生成Perlin Noise的部分為:

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左邊的1024x1是一張白雜訊圖 $W$ , 是1/1024, 2/1024, ... 1這1024個不同灰度值隨機排列而成的一張條狀帶, 用來提供隨機的Hash Table.何為Hash Table? 這是一個非常常用且強大的數據結構, 要講的話講10篇文章都講不完; 簡而言之, 隨機數的產生方式如下: