【評價演算法】層次分析法

04-27

一、概述

層次分析法（AHP）是將要決策的問題及其有關因素分解成目標、準則、方案等層次，進而進行定性和定量分析的決策方法。它的特徵是合理地將定性與定量決策結合起來，按照思維、心理的規律把決策過程細緻化（層次化、數量化）。

層次分析法廣泛地應用到處理複雜的決策問題，而決策是基於該方法計算出的權重，所以也常用來確定指標的權重。

層次分析法的基本思路與人們對一個決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。例如，選購一台筆記本電腦，假設有三種不同品牌款式的筆記本電腦A、B、C供選擇。我們一般會根據價格、外觀、重量、用途、功耗、品牌等一些準則去反覆比較這個三個候選。首先，會確定這些準則在自己心目中各佔多大比重，不同的人這種比重會有很大差異（喜歡玩遊戲的人看重硬體性能和散熱、預算有限的人看重價格等）。其次，還會就每一個準則將A、B、C進行對比，比如A最便宜，B次之；C性能最好，B次之；C的品牌最知名等。最後，將這兩個層次的比較判斷進行綜合，在A、B、C中確定一台作為最符合自己需求的電腦。

二、演算法步驟

1. 將問題條理化、層次化，建立層次結構模型

1）最高層（目標層）——只有一個元素：決策目標；

2）中間層（準則層）——考慮的因素，決策的準則、子準則；

3）最底層（方案層）——決策時的備選方案、措施。

層次分析法要解決的問題是，求出最底層對最高層的相對權重，以此對最底層的方案、措施進行排序，選擇最優方案。

注1：為了避免兩兩比較判斷過於複雜，每層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個，否則應劃分為若干子層；

注2：層次分析法只考慮相鄰兩個層次間自上向下的支配作用，認為同一層次的元素間相互獨立，若考慮進來需要網路分析法（ANP）。

例如前文提到的選購筆記本電腦的決策模型，可以建立如下的層次結構：

2. 構造判斷矩陣（成對比較矩陣）

構造好層次模型後，針對某一層來講，在比較第 $i$ 個元素與第 $j$ 個元素相對於上一層某個因素的重要性時，使用數量化的相對重要度 $a_{ij}$ 來表示，假設共有 $n$ 個元素參與比較，則矩陣

$A = egin{pmatrix} a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & dots & a_{nn} end{pmatrix} =ig(a_{ij}ig)_{n imes n}$

稱為判斷矩陣（或成對比較矩陣）。

Saaty根據絕大多數人認知事物的心理習慣，建議用1~9及其倒數作為標度來確定 $a_{ij}$ 的值。如下表所示：

其中，2, 4, 6, 8分別介於1, 3, 5, 7, 9對應的重要程度之間。顯然，A中的元素滿足：

i) $a_{ij}> 0$

ii) $a_{ji} = 1/a_{ij}$

iii) $a_{ii} = 1$

稱為正互反矩陣。

例如，選購筆記本電腦模型中，可以根據實際三台電腦的重量得到電腦對準則層B3的判斷矩陣（對於定量指標， $a_{ij}$ 可以取筆記本電腦 $j$ 與 $i$ 的重量之比，重量越輕越好）：

$A_{B_3-C} = egin{pmatrix} 1 & 1/3 & 1/5 \ 3 & 1 & 3/5 \ 5 & 5/3 & 1 end{pmatrix}$

3. 判斷矩陣的一致性檢驗與層次單排序

定義：若 $n$ 階正互反矩陣 $ig(a_{ij}ig)_{n imes n}$ 滿足 $a_{ik} cdot a_{kj} = a_{ij}$

（對應 $a_{ij}=w_i/w_j$ ，故需要 $a_{ik} cdot a_{kj} =(w_i/w_k)/(w_k/w_j)= a_{ij}$ ），則稱

$ig(a_{ij}ig)_{n imes n}$ 為一致性矩陣。

註：一致性即判斷的一種傳遞性，比如 $a$ 的重要性是 $b$ 的 $2$ 倍， $b$ 的重要性是 $c$ 的 $3$ 倍，則 $a$ 的重要性得是 $c$ 的 $6$ 倍。否則就是判斷的不一致。

判斷矩陣是否為一致性矩陣，有如下定理：

定理： $n$ 階正互反矩陣 $A$ 為一致性矩陣的充要條件是， $A$ 的最大特徵值 $[{lambda _{{ m{max}}}}{ m{;}} = n]$ 。

在實際操作中，由於客觀事物的複雜性以及人們對事物判斷比較時的模糊性，很難構造出完全一致的判斷矩陣。因此，Satty在構造層次分析法時，提出了一致性檢驗，所謂一致性檢驗是指判斷矩陣允許有一定不一致的範圍。

一致性檢驗步驟如下：

（1）計算判斷矩陣 $A$ 的最大特徵值 $lambda_{max}$ ；

（2）求出一致性指標（Consistencey Index）：

$m{CI} = frac{lambda_{max} -n}{n-1}$

CI=0 表示完全一致，CI 越大越不一致；

（3）用隨機模擬取平均的方法，求相應的平均隨機一致性指標RI, 或者直接用Satty模擬1000次得到的RI表：

（4）計算一致性比率：

$m{CR} = frac{ m{CI}}{ m{RI}}$

（5）判斷，當 $[{ m{CR}} < 0.1]$ 時，認為判斷矩陣 $A$ 有滿意的一致性；若 $m{CR} geq 0.1$ ，應考慮修正判斷矩陣 $A$ 。

通常用特徵根法從判斷矩陣導出，單一準則下元素相對排序權重。特徵根法的基本思想是，當正互反矩陣 $ig(a_{ij}ig)_{n imes n}$ 為一致性矩陣時，對應於判斷矩陣的最大特徵根 $lambda_{max}$ 的特徵向量，經歸一化後（使向量中各元素之和等於1）即為排序權向量，為 $w$ ， $w$ 的元素為同一層次因素對於上一層次某因素相對重要性的排序權值，這一過程稱為層次單排序。

4. 計算各元素對目標層的合成權重（層次總排序）

為了實現層次分析法的最終目的，需要從上而下逐層進行各層元素對目標合成權重的計算。

設已計算出第 $k-1$ 層 $n_{k-1}$ 個元素相對於目標的合成權重為：

$w^{(k-1)} = ig( w_1^{k-1}, , w_2^{k-1}, , dots, , w_{n_k-1}^{k-1} ig)$

再設第 $k$ 層的 $n_k$ 個元素關於第 $k-1$ 層第 $j$ 個元素（ $j=1, cdots, n_k-1$ ）的單一準則排序權重向量為：

$u_j^k = ig( u_{1j}^{(k)}, , u_{2j}^{(k)}, , cdots,, u_{n_kj}^{(k)} ig)$

上式對 $k$ 層的 $n_k$ 個元素是完全的，若某些元素不受第 $k-1$ 層第 $j$ 個元素支配，相應位置用 $0$ 補充，於是得到 $n_k imes n_{k-1}$ 階矩陣：

$U^{(k)} = egin{pmatrix} u_{11}^{(k)} & u_{12}^{(k)} & cdots & u_{1n_{k-1}}^{(k)} \ u_{21}^{(k)} & u_{22}^{(k)} & cdots & u_{2n_{k-1}}^{(k)} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ u_{n_k1}^{(k)} & u_{n_k2}^{(k)} & cdots & u_{n_kn_{k-1}}^{(k)} end{pmatrix}$

從而可以得到第 $k$ 層的 $n_k$ 個元素關於目標層的合成權重向量：

$w^{(k)} = U^{(k)} w^{(k-1)}$

按遞歸展開得

$w^{(k)} = U^{(k)}U^{(k-1)}dots U^{(3)}w^{(2)}$

寫成分量形式為

$w_i^{(k)} = sum_{j=1}^{n_k-1} u_{ij}^{(k)}w_j^{(k-1)}, qquad i=1, cdots, n_k$

各層元素對目標層的合成排序權重向量是否可以滿意接受，與單一準則下的排序問題一樣，需要進行綜合一致性檢驗：

注：實際應用中，整體一致性檢驗常不予進行。主要原因是，整體考慮十分困難；其次若每個單一準則下的判斷矩陣具有滿意的一致性，而整體達不到滿意的一致性時，調整起來非常困難。另外，整體一致性的背景也不如單一準則下的背景清晰，它的必要性有待進一步研究。

三、Matlab實現

實現層次分析法的Matlab函數：ahp.m

function [W,ahpResult] = ahp(C)%層次分析法%C為n×1的元胞數組,存儲整個層次模型結構：第2層對第1層、第3層對第2層、...第n+1層對第n層%假設第k層有m_k個元素，從左到右依次編號1,...,m_k%C{k}也是元胞數組, k=1,...,n%C{k}{1,j}存儲受第j元素支配的第k+1層各元素的判斷矩陣（j=1,2,...,m_k）%C{k}{2,j}存儲第k+1層各元素是否受第k層第j元素支配的（m_k+1）*1的邏輯數組,1表示支配,0表示不受支配%W返回方案層對目標層的最終權重向量%ahpResult為n×1的元胞數組, 存儲層次分析過程各層的結果信息, ahpResult{k}也是元胞數組%ahpResult{k}{1,j}返回第k+1層所有元素相對第k層j元素的權重向量, 第k+1層元素不受第k層j元素支配的權重為0%ahpResult{k}{2,j}返回第k+1層所有元素相對於第k層第j元素的判斷矩陣的最大特徵值%ahpResult{k}{3,j}返回第k+1層所有元素相對於第k層第j元素的判斷矩陣的一致性比率C.R.RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; % 平均隨機一致性指標n = length(C); %得到C的長度n, 於是知道模型總層數為n+1ahpResult = cell(n,1); %存儲各層結果信息for k = 1:n m_k = size(C{k},2); %k層的元素個數 ahpResult{k} = cell(m_k,1); for kk = 1:m_k%求第k+1層各元素對第k層kk元素的成對比較矩陣的特徵值和特徵向量 [V,D] = eig(C{k}{1,kk}); [maxD,ind] = max(diag(D)); % 求最大特徵值和其位置%為存儲第k+1層所有元素相對k層kk元素的權重預留出空間, 長度應等於C{k}{2,kk}的長度 ahpResult{k}{1,kk} = zeros(length(C{k}{2,kk}),1);%將相應正互反矩陣屬於最大特徵值的特徵向量歸一化後賦給%ahpResult{k}{1,kk}中相應位置(由邏輯數組C{k}{2,kk}決定)ahpResult{k}{1,kk}(C{k}{2,kk})=V(:,ind)/sum(V(:,ind)); ahpResult{k}{2,kk} = maxD; %C{k}{1,kk}正互反矩陣的最大特徵值 nn = size(C{k}{1,kk},1); %C{k}{1,kk}的階數 ahpResult{k}{3,kk} = (maxD-nn)/(nn-1)/RI(nn); %相應的一致性比率C.R. end endW = ahpResult{1}{1,1};for k = 2:n%cat(2,ahpResult{k}{1,:})把k+1層所有元素相對k層各個元素的權重向量橫向排在一起生成權重矩陣U^(k) W = cat(2,ahpResult{k}{1,:})*W; end

用該函數實現層次分析法的關鍵是，把整個層次結構存入嵌套元胞數組 C 中：

C{k}——存儲第 $k+1$ 層與第 $k$ 層的結構（ $k=1, cdots, n$ ）；

設第 $k$ 層有 $m_k$ 個元素，其中第 $j$ 元素與第 $k+1$ 層的結構關係存儲到 C{k}{…, j} 中（ $j=1,cdots,m_k$ ），需要存儲的信息有：

受第 $j$ 元素支配的第 $k+1$ 層各元素的判斷矩陣

第 $k+1$ 層各元素是否受第 $k$ 層第 $j$ 元素支配（即有沒有連線）

所以需要兩個位置，即 C{k}{1,j} 和 C{k}{2, j}。

四、具體案例

例1 某工廠有一筆企業留成利潤，需要決定如何分配使用。已經決定有三種用途：獎金、集體福利措施、引進技術設備。考察準則也有三個：是否能調動職工的積極性、是否有利於提高技術水平、考慮改善職工生活條件。建立如下圖所示層次模型：

經過工廠決策人員討論，得到如下判斷矩陣：

（1）第2層對第1層。

三個元素C1, C2, C3都受A支配，判斷矩陣C{1}{1,1}為

相應的邏輯數組C{1}{2,1}為[true true true]。

（2）第3層對第2層。

1）第3層對第2層第1個元素C1：

受C1支配的只有兩個元素P1和P2，判斷矩陣C{2}{1,1}為

相應的邏輯數組C{2}{2,1}為[true true false]。

2）第3層對第2層第2個元素C2：

受C2支配的只有兩個元素P2和P3，判斷矩陣C{2}{1,2}為

相應的邏輯數組C{2}{2,2}為[false true true]。

3）第3層對第2層第3個元素C3：

受C3支配的只有兩個元素P1和P2，判斷矩陣C{2}{1,3}為

相應的邏輯數組C{2}{2,3}為[true true false]。

（3）有了上面的分析，層次模型的元胞數組表示C已經確定，調用函數ahp.m即可。

代碼：

C = cell(2,1); %共n+1=3層, 故n=2C{1}{1,1} = [1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1];%第2層（C層）關於第1層（目標層A）的判斷矩陣C{1}{2,1} = [true true true];%相應的邏輯數組C{2}{1,1} = [1 1/3;3 1];%第3層(P層)關於第2層第1元素C1的判斷矩陣C{2}{2,1} = [true true false]; %相應的邏輯數組C{2}{1,2} = [1 1/5;5 1];%第3層(P層)關於第2層第2元素C2的判斷矩陣C{2}{2,2} = [false true true]; %相應的邏輯數組C{2}{1,3} = [1 2;1/2 1];%第3層(P層)關於第2層第3元素C3的判斷矩陣C{2}{2,3} = [true true false]; %相應的邏輯數組[W,ahpResult]=ahp(C); %調用ahp函數求解W %輸出總排序的權重向量

運行結果：

W就是方案層各個方案所佔的比重，可見引進技術設備所佔比重最大，改善員工福利次之。體現在獎金分配上，即用全部留成利潤的53.08%引進技術設備，27.08%改善員工福利，19.84%發獎金。

參考文獻

吳鵬. Matlab高效編程技巧與應用：25個案例分析，北京：北京航空航天大學出版社，2010.
吳剛, 張敬信等. 數學建模與數學實驗，中國商業出版社, 2017.