p-可除群的基本性質(III): Dieudonne理論

04-27

本來想直接討論Abel概形，但是發現部分工具缺失（例如素數階群的分類），另外有一些Abel簇的結果往Abel概形上推廣遇到了一些困難，故繼續做一些簡單的觀察，同時給出Dieudonne理論基礎的一個詳細討論。有了這次討論，我們可以在下次討論證明如下結果：

$E$ 是 $Bbb F_p$ 上橢圓曲線，那麼作為群概形有 $E[p]_{overline{Bbb F_p}} cong mu_p oplus Bbb Z/ p Bbb Z$ （通常）或者 $alpha_p$ 通過 $alpha_p$ 的一個非分裂擴張（超奇異）

目標：利用線性代數，理解域k上有限交換群概形的結構

根據之前的結果，不妨 $char k=p>0$

參考：https://people.math.ethz.ch/~pink/FiniteGroupSchemes.html

定理1. 特徵p>0的代數閉域k上p階交換群概形只有 $Bbb Z/pBbb Z,mu_p,alpha_p$

Pf. 不妨G連通（平展情況只能是常值 $Bbb Z/ p Bbb Z$ ）。 G=SpecA，I=Ker(A to k)為A冪零的極大理想，根據 $Omega_{G/S}^1=I/I^2 otimes_{k} A ot=0$ （因為I非零故I/I^2非零）從而存在非零導子 $d: A ightarrow k$ ，於是 $d in A^D$ （Cartier duality）且 $m_D(d)=1 otimes d+ dotimes 1$ （因為d是導子）。 $k[d]$ 是 $A^D$ 的子代數比較維數知必須 $A^D=k[d]$ 。如果 $G^D$ 平展那麼只能是常值 $Bbb Z/p Bbb Z$ ，再對偶一次知 $G=mu_p$ 。假設其也平展，那麼由於d是k導子（k上為0）從而 $d in I^D$ 冪零。又比較維數知 $d^p=0，d^{p-1} ot=0$ ，又 $m_D(d)=1 otimes d+ dotimes 1$ ，可知必須 $G^D=alpha_p$ ，對偶知 $G=alpha_p$ 。

註：這裡用到特徵p的S上有對偶關係： $(Bbb Z/p Bbb Z)^D=mu_p,mu_p^D=Bbb Z/p Bbb Z,alpha_p^D=alpha_p$ ，這可通過將對應的余乘法、乘法具體寫出得到。

註：實際上任意S上p階平坦群概形（要求結構層局部自由，例如S諾特）必交換，另外在較好的S上（要求over一個特殊的環，這樣的S有 $Bbb Z_p$ 和特徵0的代數閉域，可惜 $Bbb Z$ 不是這樣的例子）下Tate和Oort有完整的分類（類似之前提過的p=2情況），參見他們的文章Group schemes of prime order，也有一篇ALGANT的M2論文寫了這個話題，見GALVAGNI.pdf。

註：一般概形S上有限交換平坦群概形範疇不一定Abelian，例子見The category of finite locally-free commutative group schemes（另外子對象的平坦性也是一個問題）

（這方面Raynaud有一個定理將一些較好的環上情況與其分式域上情況聯繫）

特證p>0的域k上一個重要工具是相對Frob， $Fr: G ightarrow G^{(p)}$ ，上次證明定理4時說明了:

性質. G是連通交換群概形，則 $0 ightarrow H ightarrow G overset{Fr} ightarrow G^{(p)}$ 中H的階為 $p^{r}, r=dim_k I/I^2$

利用 $(G^{(p)})^D cong (G^D)^{(p)}$ 進一步可定義 Verschiebung of G為同態 $Ver: G^{(p)} ightarrow G$ (其中 $Ver := (Fr_{G^D})^D$ )，兩個同態都對G具有函子性且與基域變換、乘積可交換，一個重要性質是

現在假設k perfect，那麼Cartier對偶和連通-平展正合列函子性的分裂可有範疇的分裂：

$FC/k=0-0 oplus0-et oplus et-0 oplus et-et$ ，其中 $1 - 2$ 中對象是自身滿足1而對偶滿足2的有限交換群概形，也就是說任何G都可分成四部分。我們已經知道有限平展交換群概形範疇和Galois群的有限表示範疇等價，故通過Galois理論有很好的理解。通過對偶，只需著重研究：

$G, G^D$ 都連通(i.e 局部)的情況(稱為 local-local type)

此時不難看出 $Fr,Ver$ 都是冪零運算元（ $0 ightarrow H ightarrow G overset{Fr} ightarrow G^{(p)}$ 中H的階是 $p^{dimI/I^2}$ ，故非平凡群的Fr的Kernel非平凡，於是再對 $G/H$ 考慮即知Fr冪零，再使用對偶；當然Fr的冪零性也可由I冪零和絕對Frobenius的作用是p次方看出）。

重要例子： $alpha_p=Ker( Bbb G_{a} overset{Fr} ightarrow Bbb G_a)$

注意local-local type全體也構成Abel範疇 $FC^{0,0}/k$ （利用連通集的像還連通，local-local type的子群和商群也是local-local type），在k代數閉的情況已經知道這個範疇里單對象只有 $alpha_p$ ，實際上對一般perfect field k也對，只需要證明

性質. $G$ local-local， $Fr=0, Ver=0$ ，那麼 $G$ 是 $alpha_p$ 的直和

Pf. 沿用記號 $G= ext{Spec}A$ ，I是配邊理想。已證 $0 ightarrow H ightarrow G overset{Fr} ightarrow G^{(p)}$ 中H的階是 $p^{dimI/I^2}$ ，故Fr=0推出 $dimT_{G/k}=dim I/I^2=log_p|G|:=n$ 。注意 $T_{G/k}=Hom(G^D,Bbb G_a)$ （習題（4）），而 $Ver=0$ 以及Ver的函子性表明有同構 $Hom(G,Bbb G_a)=Hom(G,alpha_p)$ （即任何G到G_a的態射都複合Fr後為0），於是存在非平凡同態 $f_1:G^D ightarrow alpha_p$ (由於後者單，必為滿射)，由維數考慮( $Hom(alpha_p,alpha_p)=k$ )可找到另一個非平凡同態 $f_2 :G^D ightarrow alpha_p$ 限制在 $f_1$ 的Kernel上非平凡，繼續操作最終得到滿射 $f=oplus f_i: G^D ightarrow alpha_p^{oplus n}$ ，比較階數知為同構，對偶即證。

推論. k是perfect field，則 $FC^{0,0}/k$ 中單對象只有 $alpha_p$

即使知道了單對象，還需要對extension作分類，這是一件很麻煩的事。回憶Mitchells embedding theorem說任何Abel範疇都可以嵌入環R的模範疇，模範疇是具體而可以用線性代數處理的。找到合適的環R（根據Morita等價這樣的R不唯一）並證明範疇等價，便是Dieudonne 理論。

在 $FC^{0,0}/k$ 里我們有 $F=Fr, V=Ver$ ，並且兩者的性質似乎決定了對象（例如上面說明了 $Fr=0, Ver=0$ ，那麼 $G$ 是 $alpha_p$ 的直和），我們希望找這樣的環R，使得上面有類似地Frobenius、Verschiebung運算元的作用（Verschiebung 是德語，意思為平移），並且R的構造是關於k有函子性的。

問題：符合這些條件的R是什麼？

答案：Witt環！

回憶：Witt vector - Wikipedia（這裡可見定義的動機）

基本性質證明參考：[1409.7445] The Theory of Witt Vectors

構造想法很簡單： $R$ 是特徵0的完備離散賦值環，p生成極大理想且k=R/p，那麼 $R$ 中每個元都可寫成p的級數（k係數），但乘法和加法和級數不一樣（因為進位），具體寫出來就是Witt環。（k不perfect時應考慮更一般的Cohen環）

我們有：

定理4.(Witt) Witt環的構造給出了{特徵p>0的perfect field}到{p生成極大理想、特徵0的完備離散賦值環}的範疇等價。

例子： $W(Bbb F_p)=Bbb Z_p$

$W$ 的構造可進一步推廣到一般環上，得到 $Bbb Z$ 上Witt概形 $W$ （W是交換群概形，作為概形是 $ext{Spec} Bbb Z[x_0,x_1,x_2,…]$ ,），W上群結構是唯一使得Ghost map $Phi_n: W ightarrow Bbb G_a$ 都是群同態的群結構。現在回到我們的情況，k是特徵p的perfect field，通過基變換將W看成k上交換群概形，注意到對仿射群概形都可以定義Frobenius和Verschiebung運算元，於是得到W上的運算元 $F: W ightarrow W, V: W ightarrow W$ （由於Frob在k上是同構，這裡自然等同 $W^{(p)}$ 與 $W$ ）

定理 5.

① $F circ V=V circ F=pcdot ext{id}$

② $F((x_0,x_1,cdots))=(x_0^p,x_1^p,cdots)$ （於是F是滿的環同態）

③ $V((x_0,x_1,cdots))=(0,x_0,x_1,cdots)$

④ $pcdot(x_0,x_1,cdots)=(0,x_0^p,x_1^p,cdots)$

現在的想法是截斷W，令 $W_n=W/V^nW$ （作為群概形的商）為長度為n的Witt環（其為k上有限型交換群概形），令 $W_n^m=Ker(F^m:W_n ightarrow W_n)$ 為Frobenius的m次方的Kernel（其為k上有限交換群概形）

注意到截斷給出滿同態 $r:W_{n+1}^m ightarrow W^m_n$ ，Verschiebung給出單同態 $v:W_n^m hookrightarrow W_{n+1}^m$ ，自然包含給出單同態 $i:W_n^m ightarrow W_n^{m+1}$ ，Frobenius給出滿同態 $f:W_n^{m+1} ightarrow W_n^{m}$ ，有對應的正合列： $0 overset{} ightarrow W_n^{m} overset{v^{n}} ightarrow W_{n+n}^m overset{r^{n}} ightarrow W_{n}^m ightarrow 0$ ， $0 overset{} ightarrow W_n^{m} overset{i^{m}} ightarrow W_{n}^{m+m} overset{f^{m}} ightarrow W_{n}^{m} ightarrow 0$ (注意rv=vr=V，fi=if=F，r帶有section $x ightarrow (x,0)$ 故正合)

例子： $W_1=Bbb G_a, W_1^1=alpha_p$ ,由正合列得 $W_n^{m}$ 是mn個 $alpha_p$ 的擴張(因此local-local type)

定義 $W_n^{m}$ 的原因是它們代表了最典型的local-local type群概形，首先由F，V的函子性易得

性質. G local-local type且 $V_G^{n}=0, F_G^{m}=0$ ，則通過i，v的複合誘導映射 ( $m geq m, n geq n$ ) $Hom(G,W_n^m) ightarrow Hom(G,W_{n}^{m})$ 是同構

重要性質. $( ext{Ext}^1(alpha_p,W_{n}^{m}) ightarrow Ext^1(alpha_p,W_{n+1}^{m+1}) )=0$ （映射由iv誘導）

Pf: 這將涉及過多抽象廢話，證明基本上基於 $End(alpha_p)=k$ 以及F，V的函子性，見Ref。

定理 6. k上任何local-local的G都可嵌入某個 $(W_n^m)^{oplus r}$

Pf: 對|G|歸納，之前已說明單對象只有 $alpha_p$ ，故可找 $1 ightarrow G ightarrow G ightarrow alpha_p ightarrow 1$ ，找一個嵌入 $(psi_i): G ightarrow (W_n^m)^{oplus r}$ ，於是可補全正合列如圖：

由於 $( ext{Ext}^1(alpha_p,W_{n}^{m}) ightarrow Ext^1(alpha_p,W_{n+1}^{m+1}) )=0$ ，把 $W_n^m$ 換成 $W_{n+1}^{m+1}$ 不妨設下面的正合列分裂(對每個i)，這樣通過section得到 $G ightarrow (W_n^m)^{oplus r}$ 再加上最初的 $G ightarrow alpha_1=W_1^{1} hookrightarrow W^m_n$ 即可。

推論. G local-local type且 $V_G^{n}=0, F_G^{m}=0$ ，則有正合列 $0 ightarrow G ightarrow (W_n^m)^{oplus r} ightarrow (W_n^m)^{oplus s}$

於是現在我們不僅知道 $FC^{0,0}/k$ 的單對象只有 $alpha_p$ ，也知道任何對象有好的表現，是時候來尋找合適的環了。注意到W上同時帶有 $F,V,W(k)$ 的作用（ $W(k)$ 通過W的群運算作用）。令 $sigma : W(k) ightarrow W(k)$ 是k上Frobenius $x ightarrow x^p$ 的提升，這些作用滿足的關係可具體寫出，但這裡比較微妙的一點是作用定義需要與同態相容，因此有：

定義.Dieudonne環為 $D=W(k)[F,V]/ sim$ 模掉關係 $FV=VF=p,F xi= sigma(xi)F, V sigma(xi)=xi V$

例子： $k=Bbb F_p Rightarrow D=Bbb Z_p[x,y]/(xy-p)$ (一般情況D不交換)

定理 7. D可作用在 $W_n^m$ 上，其中F，V作用如上， $xi in W(k)$ 作用是 $sigma^{-n}(xi)$ 的乘法作用，且作用與 $W_n^m$ 之間同態 $i,v$ 相容。

現在任給一個k上local-local type的G，定義 $M(G)= varinjlim_{n,m} Hom(G,W_n^m)=varinjlim_{n} Hom(G,W_n)$ 是一個D模。注意到若 $F_G^m=0,V_G^n=0$ 則由F，V的函子性得到 $M(G)=Hom(G,W_n^m)$ ，於是 $End(W_n^m)=M(W_n^m)$ ，故 $M(alpha_p)=k$ 。

接下來我們證明：

（main theorem of contravariant Dieudonn′e theory in the local-local

case）

主要定理：

函子M定義了Abel範疇間的反等價：

{k上有限local-local交換群概形} $Leftrightarrow$ {F，V作用冪零的有限 $W(k)$ 長度的左D模}

想法是：Hom函子本身左正合，但取極限再利用 $( ext{Ext}^1(alpha_p,W_{n}^{m}) ightarrow Ext^1(alpha_p,W_{n+1}^{m+1}) )=0$ 可以證明M在特殊情況正合，然後數維數說明M正合，再進一步論證。

首先我們說明

① $ext{length}_{W(k)} M(G)= ext{log}_p |G|$ （這順便說明上面M的像確實在右邊）

Pf. 對|G|歸納， $G=alpha_p$ 時 $M(alpha_p)=k$ 故正確，一般先找 $1 ightarrow G ightarrow G ightarrow alpha_p ightarrow 1$ ，只用說明M作用後還正合便可歸納得到結果。根據左正合性只需說明 $M(G) ightarrow M(G)$ 滿射。任取 $M(G)$ 中元 $psi_i: G ightarrow W_n^m$ ，補全正合列如圖：

由於 $( ext{Ext}^1(alpha_p,W_{n}^{m}) ightarrow Ext^1(alpha_p,W_{n+1}^{m+1}) )=0$ ，不妨把 $W_n^m$ 換成 $W_{n+1}^{m+1}$ （這也是為什麼我們的M要取Hom極限）設下面的正合列分裂，則section給出 $M(G)$ 中合適的元，即證。

②M是正合函子，並且 $M(W_n^m)=End(W_n^m)=D/(DF^m+DV^n):=D^m_n$

Pf. M左正合，由於①可以兩邊數階數/長度得到M是正合的。首先有自然的同態（即D的作用） $D^m_n ightarrow M(W_n^m)$ ，注意 $D^m_n$ 任何非平凡子模一定包括 $F^{m-1}V^{m-1}$ ，而其在 $W_n^m$ 上作用不是0，故自然同態是單射，兩邊數階數/長度即得。（上面已經說明 $|W_n^m|=p^{mn}$ ）

③M is fully faithful.（即M誘導的Hom間態射是同構）

Pf. 這裡根據5-引理和有限表現技巧（之前說明每個G都有 $0 ightarrow G ightarrow (W_n^m)^{oplus r} ightarrow (W_n^m)^{oplus s}$ ,其中m，n只要分別使得F，V的次方=0，故可取任意大），只需要說明對充分大的m，n $Hom(G,W_n^m) ightarrow Hom_D(M(W_n^m),M(G))$ 是同構。可是左邊= $M(G)$ （定義），右邊= $Hom_D(D^m_n,M(G))=Hom_D(D,M(G))=M(G)$ ，即證。

④M is essentially surjective（即M的像同構意義下包含所有對象）

Pf. 這是因為右邊每個模都有 $D_n^m$ 有限表現 $({D^{m}_n})^{oplus s} ightarrow ({D^{m}_n})^{oplus s} ightarrow M ightarrow 0$ .

於是完成了證明。上面論證可以一般化（通過取內射包對偶， $alpha_p$ 的內射包就是M定義里的 $lim W_n^m$ ），另一個例子是Matlis duality - Wikipedia：

現在我們希望把M推廣到一般的階為p的冪的有限交換群概形上（注意階與p互素的一定平展，對偶也平展，比較簡單），此時 $Bbb Z/pBbb Z$ 的對偶 $mu_p$ 連通而不是平展，故四種情況中的etale-etale情形不存在，除了已處理的local-local外還剩下etale(-local), local-etale兩種。

回憶 $G^D=underline{Hom}(G,Bbb G_m)$ （實際上對 $G, H in FC/k$ 定義 $Scheme/k ightarrow {Ab}$ 的函子 $underline{Hom}(G,H)=(T ightarrow Hom(G_T,H_T))$ 都可由有限交換群概形表出），並有自然的pairing： $G imes G^D ightarrow Bbb G_m$ 。注意D模上也有對偶 $D:=Hom_{W(k)} (-, W(k)[frac{1}{p}]/W(k) )$ ,可以說明 $M(G^D)=M(G)^D$ (化歸為說明 $(W_n^m)^D=W_m^n$ )。現在對於平展的G定義 $M(G)= varinjlim_n Hom(G,W_n)$ ，而local-etale的G，定義 $M(G)=M(G^D)^D$ 。類似地有

主要定理：

函子M定義了Abel範疇間的反等價：

{階為p的冪的k上有限平展交換群概形} $Leftrightarrow$ {F作用為同構的有限 $W(k)$ 長度的左D模}

由於 $VF=p$ 故 $V=pF^{-1}$ 被F唯一決定，因此我們可重新把右邊範疇寫成：

{ $(M, F)$ |M有限長度 $W(k)$ 模，F是 $sigma-$ 線性同構 $F: M ightarrow M$ }

（ $sigma-$ 線性即 $F(xi.v)=sigma(xi).v , forall xi in W(k), v in M$ ）

這裡也用了M這個記號，相信可以與函子M區分，下同。為了證明首先我們需要右邊範疇一個結果：

①若k代數閉時，則 $M^{F=1}={v in M | Fv=v}$ 是有限交換p群，且自然映射 $xi otimes x mapsto xi.x$ 誘導同構 $W(k) otimes_{Bbb Z_p} M^{F=1} cong M$ ，特別地 $ext{length}_{W(k)} M= ext{log}_p|M^{F=1}|$ 。

Pf. 注意這與Fontaine在p-adic表示書中定義的 $varphi$ -模概念類似，回憶Fontaine在特徵p>0的域的情況時的證明（見galoisrep.pdf）：

我們的結果的類比是：

最終需要證明 $alpha_M$ 是同構，關鍵的滿射性將用到維數的比較：

這個引理是證明中關鍵一步，翻譯一下即是說定義仿射空間自身的態射 $sigma: (X_j) ightarrow (X_j^p -b_j)$ ，那麼任取一個dxd可逆矩陣B，解空間 $Bx=sigma(x)$ 作為 $Bbb F_p$ 向量空間維數恰好是d，取其一組基也就是說存在可逆矩陣C，使得 $BC=sigma(C)$ 。即考慮 $G=GL_n$ 與態射 $sigma: G ightarrow G$ ，則 $g ightarrow sigma(g)g^{-1}:G ightarrow G$ 是滿射（至少在代數閉域上）。

這件事其實有更一般的推廣即Langs theorem - Wikipedia，我們將看到它也是①證明中關鍵的一步（事實上還有別的許多應用，例如有限域上連通代數群的高階上同調都消失）：

回到①的證明，首先 $M=W_n(k),F=sigma$ 時顯然。我們只需要說明一般情況作為 $sigma$ 模 M總同構於這種平凡情況的直和，想法是根據PID上有限生成模結構定理，我們可以先固定一個模同構 $phi: igoplus_iW_{n_i}(k) cong M$ （僅僅作為模），然後令 $G=underline {Aut}_{W(k)}(M)$ 是k上連通代數群（由於它是某個仿射空間概形 $underline{End}_{W(k)}M$ 的開子概形，故仍不可約所以連通），給一個M的 $sigma$ 線性同構相當於給一個線性同構 $g in G(k)$ ，兩個同構等價相當於左右分別twist $phi^{-1}, sigma(phi)$ ，根據上面的Lang定理這樣twist會平凡，於是即證①。

②k代數閉時，上述函子是反等價

Pf: 注意p-平展交換群概形範疇此時等價於有限Abel p群範疇，函子M相當於 $W(k) otimes_{Bbb Z_p} Hom(-, Bbb Q_p/Bbb Z_p)$ 且 $F=sigma$ ，①說明函子M的像essentially surjective，即證。

③對一般特徵p的perfect field，也是範疇反等價。

Pf.通過取Galois不變數立得。

通過對偶我們也完成了local-etale情形，對一般的G將其分裂成三部分用M作用再直和起來即完成M(G)，注意到任何有限長度左D模都唯一分解成三部分（Fitting lemma）

另外注意到作為k向量空間有自然同構 $T_{G/k} cong (M(G)/FM(G))^{D}$

Pf. $G^D=underline{Hom}(G,Bbb G_m)$ ，兩邊求切空間有 $T_{G^D/k}cong Hom(G, Bbb G_a)=Hom(G,W_1)=Ker(V:M(G) ightarrow M(G))=Coker(F: M(G) ightarrow M(G))^D=(M(G)/FM(G))^D$