範疇論學習筆記14：逗號範疇

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第 19章。

讓我們先回顧一下切片範疇的定義：

定義18（切片範疇，slice category）

設 為一個範疇， 是一個 對象。那麼在 上的切片範疇 有下列數據：

1. 對象是對子 ，其中 是 對象， 是一個 箭頭
2. 箭頭 是一個使得在 中 的 箭頭
3. 的單位箭頭是 單位箭頭
4. 對於箭頭 以及 ，它們的複合 是 箭頭 。

同樣地，我們可以定義切片範疇的對偶概念：餘切範疇（co-slice category） ，其箭頭的方向和切片範疇的方向是相反的。

作用於切片範疇的函子有：

• 遺忘函子 ，將所有的 對象里的 刪除（另一種定義切片範疇的方式是將其對象直接定義為 ，在這種定義性 是把 映射回 ），將箭頭 映射回 範疇里的箭頭 。
• 將上面的函子加以改造，使其形式變為 。這樣的函子可以由 箭頭 生成。

假設我們有函子 。我們有一種間接連結 中的對象 和 中的對象 的方式：查看它們的像 ，並通過箭頭 將它們連結起來。

定義97（逗號範疇，comma category）

給定函子 ，那麼逗號範疇 是擁有下列數據的範疇：

1. 的對象是三元組 ，其中 為 對象， 為 對象， 是一個 箭頭。
2. 從 到 的 箭頭是一個對子 ，其中 是一個 箭頭， 是一個 箭頭，且下面的範疇圖可交換：

3. 對象 的單位箭頭是對子 .

4. 中箭頭的複合是 。

歷史上， 曾經記為 ，故稱為逗號範疇。

• 當 時，逗號範疇退化為箭頭範疇（arrow category）。
• 當 ， 為單位函子 ， 時，逗號範疇退化為切片範疇。
• 由此可見，箭頭範疇和切片範疇都是逗號範疇的特例。

下面我們看一種新的逗號範疇：

假設有函子 和對象 ，存在一個對應函子 。那麼逗號範疇 是什麼呢？

1. 逗號範疇 的對象是三元組 ，其中 是 對象， 是一個 中的箭頭
2. 從 到 的 箭頭是一對箭頭 ，其中 ，且下面的正方形可交換：

但值得注意的是， 部分並沒有實際的效用。因此，如果把 視為一個對象，我們就有下面這個範疇：

1. 範疇 的對象是對子 ，其中 是 對象， 是一個 中的箭頭
2. 從 到 的 箭頭是一個箭頭 ，使得下面的三角形可交換：

應用：自由幺半群

取範疇 Mon 和 Set，使 為 Set 中的一個集合， 為遺忘函子。那麼逗號範疇 就可以如下定義：

1. 逗號範疇 的對象是對子 ，其中 是一個幺半群， 是一個從 到 的集合函數，即 。
2. 逗號範疇 從 到 的箭頭是一個幺半群同態 ，可以視為使得 的集合函數 。

函子 的效用是為將 的元素用 的元素來標記（labelling）。假設 有一個初對象 ，這是一個部分元素標記為 的幺半群 ，使得對於任何有 標記元素的幺半群 ，都有保存標籤的從 到 的幺半群同態。

定義98

集合 上的自由幺半群是逗號範疇 的一個初對象，其中 是遺忘函子。

定理103

取幺半群 ，為其配備函數 ，那麼 是 上的一個自由幺半群。

定理104（初學建議跳過）

假設我們有函子 ，對象 ，那麼如果 有一個形狀為 的極限且 保存這個極限，那麼 也擁有一個形狀為 的極限。

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