疊加定理, 卷積, 傅里葉級數, 數學的"基", 圖像處理, 它們是怎麼串在一起的?
今天有個小同學跟我說, 他的《電子技術》學不下去了, 感覺遇到瓶頸了. 我想了一下,問他學了《信號與系統》沒, 他告訴我沒有, 然後我問他你疊加定理能不能理解, 他說能, 於是乎就有了今天這一篇文章.
"疊加定理是電路分析中的十分重要的定理, 它就是把複雜電路化成簡單電路進行分析的一種方法", 這是我學習《電路原理》時的想法, 僅此而已. 但當我真正領會到這東西的奧妙之處時, 我已經畢業了.如果在大學的時候有人教我用疊加定理來讓我理解卷積, 甚至傅里葉變換, 那我的 《信號與系統》就不會學的這麼辛苦了.
線性時不變是什麼?
對於一個電路, 電源在這個電路中充當了信號源的作用(即"輸入"), 電路中某個元件的狀態則反映了該信號源對該元件產生的作用(即"輸出"). 如果用一種方法來表達這種輸入輸出關係, 那就可以理解為:
黑盒子
_________________________________
| 這是一個線性時不變的黑盒子 |
輸入 ===> | 黑盒子可以是個電路,可以是方程| ===> 輸出
| 可以是個系統, 可以是任何東西 |
__________________________________
例子:
如果給這個黑盒子在第1秒時輸入一個信號X, 那麼輸出會得到一個信號Y;
如果我在第2秒時輸入波形跟X一樣的信號, 那麼輸出就會得到一個波形跟Y一樣的信號, 但是這個波形跟原來的波形相比滯後了1秒;(這就是時不變)
如果給這個黑盒子輸入兩倍幅值的X信號,那麼該輸出也得到一個兩倍幅值的Y信號.(這就是線性)
總結起來就是不管你什麼時候輸入信號X, 最終輸出得到的信號波形肯定是信號Y的波形;如果你的輸入變成原來的K倍, 輸出也變成原來的K倍.
疊加定理
有個電路只有一個電源, 這個電源產生的電壓波形非常複雜, 但是這個電源的波形是由好幾個不同的波形疊加而成, 那麼我們可以怎麼分析這個電路呢?
我們可以把這個電路分解為這幾個不同波形的電源單獨作用時的電路, 計算出各支路的電流以及各元件的電壓, 最後再分別把對應支路的電流和對應元件電壓進行代數和, 最後就能得到這個電源作用在這個電路時各支路及各元件狀態.
那這個跟傅里葉又有什麼關係呢?
如果這個電源的波形能夠用很多個不同幅值, 不同角頻率, 不同初相的正弦波疊加而成,或者說我們只要用4,5個正弦波疊加, 就能夠得到一個跟電源原波形很像的波形 那麼我們不就可以先分析單個正弦波作用時的電路狀態, 最後再把這些狀態加起來, 不就能逼近甚至得到這個電源波形作用時電路的總狀態了嗎~~
但是為什麼要分解成正弦波才分析呢?為什麼不用其他波形呢?
對於只有電阻電容電感的電路, 如果電源是正弦交流電, 那麼我們就只需要用復阻抗就能完成電路的分析, 我們還不需要用大學高數的知識來解決, 我們甚至用高中學的複數計算, 以及串並聯(復阻抗的串並聯)就能解決電阻電感電容的電壓電流計算了.豈不美哉~~所以我們就把電源分解成多個(有限個)不同幅值, 不同角頻率, 不同初相的正弦交流電電源單獨進行分析, 這樣我們就能避免微積分啦.
但其實你也可以不用正弦波, 你也可以把波形分解成無數個細長條疊加而成的波形.
對於簡單的波形, 例如單個矩形波來說, 要是想要分解成正弦波的疊加, 那你需要無數個正弦波, 分析的時候, 難道你還要做無數次復阻抗計算嗎?
當然不是啦, 這個時候, 你要是把這個脈衝分解成無數個細長條, 這些細長條每個的寬度是一樣的,而且這個寬度幾乎為0, 又由於原波形是單個矩形波, 所以細長條們的高度也一樣, 他們的區別在於出現的時間不一樣. 這個時候你要是熟悉疊加定理, 我猜你會把這單個細長條(衝激信號,即"輸入")單獨作用到這個系統上, 然後得到一個波形(即"輸出"), 然後根據時不變的特性你會發現, 每個細長條單獨作用到系統後的輸出波形是一樣的, 只是時間上有差別, 聰明的你只要輸入一次細長條信號, 你就能根據時不變的特性分析出其他細長條作用於系統後的波形(即"輸出"), 最後再把這一堆輸出疊加起來就能得到單個矩形波作用於系統後的輸出. 也就是說, 你只要做一次運算, 就得到了無數次計算的結果, 簡直樂呵呵.
然而這種樂呵呵的操作, 其實就是"卷積", 但是看其本質, 其實就是疊加定理的運用, 或者換個詞語, 我覺得叫加權疊加, 加權代表了線性的意思. (可惜大學的時候並沒有很好理解這一點...)
那這些與數學的"基"有什麼關係呢?
上面說到有些信號能分解成無數個不同的正弦波疊加而成; 從波形上看又能分解成無數個細長條. 不知為何, 我便想到了泰勒級數. 然後我就想這個東西就像線性代數裡面的線性無關的向量, 是構成這個向量空間的"基"本的單位. (抱歉我不是數學專業, 數學也學得一般般, 我不知道該怎麼表達, 但就是有這種感覺, 請見諒哈哈哈)
如果作個比喻:
- 如果信號波形分解成無數個不同的正弦波疊加而成, 實際上在這裡不同頻率的正弦波和餘弦波就是"基".(餘弦波其實就是初相多了90°的正弦波)
- 如果信號波形能用泰勒級數逼近, 那麼不同次數的冪函數在這裡就是"基".
- 如果從波形上看, 細長條也扮演了"基"的角色. (這個我也不是很確定,希望數學好的小夥伴能解答一下~~)
而無論是哪一種"基", 每組"基"單獨作為輸入,並且單獨作用系統, 最後把他們單獨作用後的輸出疊加在一起就是系統總的輸出, 疊加定理又又又出現了.
圖像處理
既然信號可以等效為不同頻率的正弦波疊加而成, 也就是說信號可以分解成低頻正弦波和高頻正弦波. 其中低頻正弦波變化速度慢, 高頻正弦波變化速度快.
如果我的有一張照片, 照片上有一個很突兀的噪點, 我該怎麼去除呢?
於是我就轉化問題.
噪點顯得很突兀 這一像素點跟它附近的像素點相差太多
這一像素點相對於它附近的像素點變化得快
"嗯, 什麼東西也能夠變化得很快啊?"
"咦, 我好像想到了什麼?!"
"對喔, 高頻正弦波變化得也很快啊."
"怎麼過濾高頻信號啊."
"低通濾波器."
如果我把這個圖片像素點當成信號源, 然後作用於低通濾波器, 我得到的輸出就沒有那突兀的噪點啦!
原來是這樣一回事啊.
結尾
如果在大學的時候我能夠想到這些東西是如何互相關聯的, 我學習的時候就不會這麼迷茫了, 希望這篇文章能夠幫助到那些迷茫的人. 如有錯誤, 請批評指明.
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