如何開啟數學腦？

這個日本人叫永野裕之，是日本數學培訓學校（「數學強勁私塾」）的校長，地位大概和學而思培優、高思教育的cto差不多吧。

書中提到了要提高自己的數學能力，首先要「停止背誦」，而後又總結了數學理性思維的七個方面：整理、順序、轉換、抽象、具體、逆向和美感。

1. 整理

書中首先講整理，多半是因為現實問題中很多是複雜無序的，想解決問題只有先梳理清楚事情的本來面目，但簡單分類與這裡所說的整理有層級上的差別。簡單分類只是按尺寸或外形等指標進行的，這種分類法是一維的。

這裡所說的整理是要通過對事物進行分類，推理出隱含性質。整理的目的在於獲得新信息，而不是收拾整齊。重點在於以什麼標準分類，才能推導出隱含性質。例如」元素周期表「根據原子量來劃分就是了不起的思路。

分類要採用能夠MECE（不重複且無遺漏）的方法，各分類之間要相互獨立，而且能夠完全窮盡所有樣本。

乘法比加法提供的信息量要多，例如：行*列，縱與橫，速度*時間等不同性質的量相乘，都能得到新的東西。從不同的自由度來分解事物，能夠更深的認識事物，也就能發現新的性質。

2. 順序

排列順序對於解決現實問題很有幫助，一則是排序後有了優先次序，便於人們進行選擇；二則是為了證明某個觀點時，可以將論據按邏輯關係排列，形成遞推關係或所謂的證據鏈，這樣才能使人信服。這本書中也提到了「選擇時由大到小，證明時由小到大」。

什麼是大，什麼是小？字面上，大就是大領域／重點／關鍵問題，小就是小範疇／細枝末節／次要問題。把最關鍵的條件或指標擺在前面，是每個人為做出某種選擇排序的本能反應。說到條件，很容易想到「充分條件」和「必要條件」，一般來說，充分條件涵蓋範圍小（嚴格），而必要條件較大（寬鬆）。為選擇而進行的排序，需要遵循這樣的排序原則：利用必要條件進行篩選，而後確認是否符合充分條件。

為證明而進行的排序，不像為選擇而排序那麼好理解，但也經常遇到。例如人們會有這樣的直覺式證明：「快樂兒童餐（漢堡）」放六個月不會發霉，所以裡面一定有很多防腐劑，所以對兒童身體有害。但這樣的證明對么？有人做了實驗，親手做的無添加劑兒童餐，放六個月也不會發霉，和防腐劑沒關係，只是漢堡本身表面積大很容易乾燥，所以不會發霉。不會腐爛的情況很多，不見得都放了防腐劑，之所以會出現錯誤的證明，就是沒搞清楚誰大誰小。這就是網上許多公知誤導吃瓜群眾的手法。

我們證明問題時，先要清楚辨別哪種情況是寬鬆的必要條件／大範疇（大），那種情況是嚴格的充分條件／大範疇中的子範疇（小），然後首先證明某一事物屬於「小」，然後才能證明某一事物包含於「大」中。推導出正確證明（邏輯推理）的訣竅，就是以充分條件為假說，以必要條件為結論來進行思考。

3.轉換

轉換有兩種常見形式：一種是「等價轉換」，另一種是「因果推導」

第一種等價轉換，即日常用語「換句話說」。等價轉換是互為充要條件條件的A與B進行相互轉換。互為充要條件的A和B，指的是:"A->B且B->A".

現實中有許多看似等價轉換，但並非如此的轉換，很多公知在蠱惑人心時也常用這種方法。

在制定決策時，如果多個必要條件的交集是達到目的的充要條件，那麼可以將目標轉換為逐一滿足這些必要條件，化繁為簡，使計劃更為具體可操作或可量化。

第二種因果推導，常見形式就是函數（當y值取決於x值時，y就是x的函數），x是自變數，是原因；y是自變數，是結果。

函數是真正的因果關係式，如果想理清思路，看到催生結果的原因，就需要構建一個函數模型，或者說要找到自變數和因變數。

• 首先要判斷是否找到了自變數，自變數是獨立於其他情況，不受其他因素影響的量／事物，不受制約；很多貌似原因的假原因並不是事件的起點，而只是中間結果；

• 其實，判斷原因是否只對應一種結果，如果自變數通過函數模型（因果邏輯）得到的結果可能不止一個，那麼這不是一個函數模型，也就不能用於因果推導，這種轉換就是不能成立的。

4.抽象化

運用抽象化方法的常見目的有：（1）歸納出多個事物的共同屬性；（2）構建事物演化的模型。

百度百科中，「抽象」指的是通過分析與綜合的途徑，運用概念在人腦中再現對象的質和本質的方法，分為質的抽象和本質的抽象。分析形成質的抽象，綜合形成本質的抽象（也叫具體的抽象）。作為科學體系出發點和人對事物完整的認識，只能是本質的抽象（具體的抽象）。質的抽象只能是本質的抽象中的一個環節，不能作為完整的認識，更不能作為科學體系的出發點。

數學就是一門透視事物本質，推導出眼睛看不見的卻的確存在的客觀規律的科學。例如可以用表示1，3，6，10，15，21...這個數列。

歸納事物本質的抽象思維對於人生各階段都很有用，除了學習數學，平時生活也有許多可以鍛煉人歸納本質的方面。

模型化是抽象化的另一個應用領域，模型是對複雜過程的抽象／簡化，通常僅由複雜過程中的主要輸入／關鍵環節／主要輸出組成。模型化的例子很多，例如歐拉用圖論解決七橋問題（柯尼斯堡問題）。歐拉把所有陸地設為圖論上的點，連接陸地的橋設為連接點的邊，每座橋只走一次遍歷所有陸地就變成了每條邊只走一次遍歷所有的點，對一個點一進一出走不同的邊需要偶數條邊才行，而柯尼斯堡問題抽象得來的圖中，所有的點都僅有奇數條邊，這就說明七橋問題無解。類似的，統籌時間表等問題也可以建立圖模型，運用圖論知識解決。

5.具體化

對多數人而言，數學中的定理和概念都略顯生硬、不易理解，更不容易將它們廣泛應用於日常。能將數學概念或定理具體化，在現實中應用是一項重要技能。這項技能的提高可以從民言警句中使用恰到好處的比喻中得到啟發，例如：

「水就算是一滴一滴地往下掉，總有一天也會把水瓶裝滿」——釋迦摩尼

「唯有和著眼淚吞下麵包的人，才能體會出人生的真味」——歌德

具體化的流程大致為：較近較膚淺的例子——>抽象化的概念——>較深較本質的例子（比喻）

不善於具體化就不能將抽象概念或思想／主義使人理解或信服，形成這一問題有兩個原因：1隻講具體事物；2隻講抽象概念。

具體化的一個常用手段是「演繹」。演繹是從一般到特殊的思維過程，也即抽象的具體化，與之相對的從特殊到一般的思維過程被稱為「歸納」，是對具體事物本質的提煉。

歸納和演繹是人們常用的推導方法，應用何其廣泛，但從思維過程的嚴密性上考慮，演繹和歸納都有一些缺點。演繹推導時，一個問題是演繹的出發點即原始的抽象理論，可能是錯誤的；而另一種情況就是張冠李戴，把不適用當前場景的某個理論（在某個領域是正確的）強行使用與當前場景。歸納推導樹，常見的問題一是有待發掘本質特性的諸多具體事物真假難辨；二是多個具體事物發生髮展的條件各不相同，很難將其約束條件進行統一，沒有一致的邊界，使得歸納過程存有漏洞。我們在使用歸納和演繹時，必須了解它們的缺點。

6.逆向思維

逆向思維是邁向更高思維層次的一步，也是避免平庸的起點。

學會從不同的視角觀察問題，是學習數學的一個目的，但這並非一朝可得。逆向思維往往是在常規思維無法破題是被採用的。例如計算某個概率問題時，正面考慮比較繁瑣的話，可以考慮求其互補命題的概率。

美心理學家Albert Eliis創立的理性情緒行為療法（ABC理論）是利用逆向思維控制情緒的方法。通常人們認為情緒（結果/Consequence，C）與誘發情緒的事件（Activating Event，A）存在直接因果關係。ABC在A與C之間插入了B（Belief，信仰和信念）。ABC理論認為，在發生情緒之前，人們會依次經歷A——B——C的過程。所以只要能夠改變B，就能創造不同的C。信仰、信念又分為兩種：理性的思考（Rational Belief，RB）和非理性的思考（Irrational Belief，IB）。A——RB之後得到的C是健康的否定情緒；A——IB之後得到的C是不健康的否定情緒。什麼樣的情緒是IB呢？Albert認為1.認為自己「一定要....才行」；2認為別人「一定要...才行」；3認為這個世界、社會、人生一定要...才行。IB是一種不知變通的頑固思想，即便大腦很清楚，也會因為常年的習慣而無法改變，這時ABC理論就必須進入下一階段：反駁（Dispute，D）。反駁就是換位思考、逆向思維、變化視角，使自己的頭腦和情緒不再僵化，不再只有一個方向。

此外在證明命題是否為真時，例如欲證明若P則Q，如果較難，不妨試著證明其逆否命題（對偶命題）：若非Q則非P，原命題與其逆否命題邏輯真假相同。這也是逆向思維的一個應用。

逆向思維在證明數學中難以證明的一類問題——「...不可能」或「...不存在」時也特別有效。這就是我們很熟悉的反證法——先假設欲證明的某個命題成立（不可能、不存在的否命題成立），再通過推導得到自相矛盾的結果，由此證明原命題不成立。