三點彎曲梁的主應力分布

04-27

（本文初始發佈於 kyleslight.net ）

從上一篇我們應該了解了 Android Canvas 繪圖的大致方案（儘管可能有很多問題），這個方案給了我強烈的信心：雖然在移動設備上做科學計算還相對較少，不過沿著這條路走看來是可行的。

所以這一篇我打算簡單介紹一下實驗的第一個模型，也就是三點彎曲試驗中的歐拉-伯努利梁（無缺陷），討論它在集中載荷的作用下的正應力與切應力分布，然後使用平面應力狀態計算在結構中任何一點的主應力。

1 模型、彎矩與剪力

模型如同上圖所示，梁長 $L$ ，橫截面高 $h$ ，寬 $b$ ，在距 $A$ 點 $a$ 的地方施加集中力 $P$

根據簡單受力分析，有彎矩圖：

彎矩的分布： $M_z = left {egin{array}{lr} {Pa(L-a) over L} {x over a} & 0 le x le a \ {Pa(L-a) over L} {(L-x) over a} & a < x le L \ end{array} ight.$

與剪力圖：

剪力的分布：

$F_s = left{ egin{array}{lr} {P(L-a)over L} & 0 le x le a \ {-Paover L} & a < x le L end{array} ight.$

2 彎曲正應力

正應力即在梁橫截面垂直方向所受的力。在討論正應力之前我們有一個假設：橫截面在變形之後依然維持一個平面，即 平面假設

取同高度相鄰兩點 $P^*$ 與 $Q^*$ 兩點作為研究對象，對於彎曲後相對於彎曲前的線應變有 $epsilon = {widehat{pq} -overline{pq}over{overline{pq}}} = {widehat{pq} -dx over{dx}} = {( ho -y)d heta - ho d hetaover{ ho d heta}} = {-yover{ ho}}$

其中 $ho$ 為中性層（ $y=0$ ）的曲率半徑，目前尚未求得

由胡克定律有主應力 $sigma = E {-yover{ ho}}$

考慮橫截面上微面積 $dA$ ，作用在其上的合力為 $sigma dA$ ，所以在整個面上由靜力關係有：

$M_z = int_A (-y)sigma dA = {E over { ho}} int_A y^2dA$

將上式中的 $int_A y^2 dA$ 單獨拿出來，這是一個 只與截面幾何性質有關的常量，我們稱其為對 $z$ 軸的慣性矩 $I_z$ ，從而上式可以改寫成

${1 over { ho}} = {M_zover{EI_z}}$

注意到我們根據靜力關係得到了 $ho$ 與 $M_z$ 關係，將上式帶入胡克定律有

$sigma = -{M_z yover{I_z}}$

這是我們實際求解正應力的依據

3 彎曲切應力

切應力是平行於橫截面方向的力（確切的說，在這個例子中主要是 $y$ 方向的切應力，並且遵循沿寬度均勻分布）

如上圖所示，由於切應力互等定理，橫截面與縱截面上的 $au$ 值相等，因而取長為 $dx$ 的微段

由 $x$ 方向靜力平衡有

$F_2 - F_1 = au b dx$

其中 $F_1$ 與 $F_2$ 為左右微段正應力的水平合力，即

$F_1 = int_{A^*} |sigma| dA = {M_zover{I_z}}int_{A^*} y dA = {M_zover {I_z}} S^*$

$F_2 = int_{A^*} |sigma prime| dA = {M_z + dMover{I_z}}int_{A^*} y dA = {M_z + dMover {I_z}} S^*$

其中 $S^*$ （ $int_{A^*} ydA$ ）是參考面 $A^*$ 對 $z$ 軸的靜距，因而 $au = {S^* over b I_z} {dM over dx}$

由於對於微段力矩平衡（ $F_s dx = dM$ ）有

$au = {S^* over b I_z} F_s$

此即實際求解時的切應力

4 應力狀態與主應力

我們還剩一件事沒做，那就是求解主應力

為什麼我們要求主應力呢？可以想像，任何一點最普遍的受力情形是三向受力而且每個面上可能會有兩個方向的切應力分量，就像下面這個樣子

這個可以由一個統一的應力張量來表示： $oldsymbol{sigma} = left( egin{array}{ccc}sigma_{11} & au_{12} & au_{13} \ au_{21} & sigma_{22} & au_{23} \ au_{31} & au_{32} & sigma_{33} end{array} ight)$

由於剪應力互等所以應力張量只有 6 個獨立分量，人們還不滿足，因為這個應力張量可以通過坐標變換轉換到一個特殊的坐標系下，這個坐標系下應力張量的切應力分量都為 0，即

$oldsymbol{sigma} T = lambda T$

這樣一個坐標系下的應力非常利於分析。求特徵值 $lambda$ 即得到了該特殊坐標系的主應力值

現在回到我們的模型，我們只有正應力 $sigma$ 和 $au$ ，因而 $oldsymbol{sigma} = left( egin{array}{ccc}sigma & au & 0 \ au & 0 & 0 \0 & 0 & 0end{array} ight)$

特徵值的求解非常容易，由

$|oldsymbol{sigma} - lambda oldsymbol{I}| = 0$

從而

$left| egin{array}{ccc}sigma - lambda & au & 0 \ au & -lambda & 0 \0 & 0 & -lambdaend{array} ight| = 0$

這是一個關於 $lambda$ 的三次方程，解之有：

$left( egin{array}{lr} lambda_1 \ lambda_2 \ lambda_3 end{array} ight) = left( egin{array}{lc} {1over2} sigma + sqrt{{sigma^2 over {4}}+ au^2} \ 0 \ {1over2} sigma - sqrt{{sigma^2 over {4}}+ au^2} \ end{array} ight)$

這與我們使用莫爾圓的分析的結果是一致的

由於 $lambda_2$ 恆為 0，我們主要關注 $lambda_1$ 與 $lambda_3$ ，即實際求解中的主拉應力與主壓應力