Galois理論初步(1)——域擴張

04-26

本節的任務是介紹域擴張，有限擴張和代數擴張的概念.

定義1 設 $F,K$ 是域，則 $F,K$ 是環，從 $F$ 到 $K$ 的單的環同態 $sigma: F ightarrow K$ 稱作 $F$ 的域擴張 (field extension). 若存在域擴張 $sigma: F ightarrow K$ ，稱域 $K$ 是域 $F$ 的一個擴張，記作 $K/F$ .

下文中，當不需要顯式地寫出域擴張 $sigma:F ightarrow K$ 時，我們採用記號 $K/F$ .

例1 定義 $mathbb{Q}(sqrt2):={a+bsqrt2: a,bin mathbb Q }$ ，則 $mathbb Q(sqrt2)$ 中元素按照複數乘法構成一個域. 有域擴張 $mathbb C/mathbb Q(sqrt 2)$ , $mathbb{Q(sqrt2) }/mathbb Q$ 以及 $mathbb C/mathbb Q$ .

命題1 設 $F,K$ 是域，從 $F$ 到 $K$ 的非平凡環同態 $sigma: F ightarrow K$ 是域擴張.

證明：只需證環同態 $sigma$ 是單同態. 環同態 $sigma$ 的核是環 $F$ 的理想，由 $F$ 是域，從而其理想只有平凡理想 $0$ 或 $F$ . 由 $sigma$ 非零， $ker sigma eq F$ ,故 $ker sigma=0$ ,即 $sigma$ 是單同態，證畢.

下面我們從線性空間的角度簡單研究一下域擴張.

定義2 設有域擴張 $K/F$ , 則域 $K$ 可看作域 $F$ 上的線性空間，稱域 $K$ 作為域 $F$ 上的線性空間的維數為 $K$ 在 $F$ 上的次數，記作 $[K:F]= dim_FK$ . 若 $K$ 在 $F$ 上的次數是有限的，稱域擴張 $K/F$ 為有限擴張.

命題2 設有域擴張 $L/K$ 及 $K/F$ , 若 $K/F$ 以及 $L/K$ 是有限擴張，則域擴張 $L/F$ 是有限擴張. 反之，若域擴張 $L/F$ 是有限擴張， $K/F$ 以及 $L/K$ 是有限擴張. 且 $[L:K][K:F]=[L:F]$

證明：記 $[L:K]=m$ , $[K:F]=n$ . 取 $L$ 作為 $K$ 上的線性空間的一組基 $l_1,l_2dots l_m in L$ , 對任意的 $lin L$ ,存在 $a_1,a_2dots a_min K$ ,使得 $l=Sigma_{i=1}^m k_il_i$ .
取 $K$ 作為 $F$ 上的線性空間的一組基 $k_1,k_2dots k_n in K$ , 對任意的 $a_i in K$ ,存在 $f_{i1},f_{i2}dots f_{in}$ ,使得 $a_i=Sigma_{j=1}^n f_{ij}k_j$ . 從而對任意的 $lin L$ ,存在 $f_{ij}in F$ ,使得 $l=Sigma_{j=1}^n f_{ij}l_ik_j$ ，故 $l_ik_j in L$ 構成 $F$ 上線性空間 $L$ 的生成元集.
令 $Sigma_{j=1}^n f_{ij}l_ik_j=Sigma_{i=1}^m(Sigma_{j=1}^nf_{ij}k_j)l_i=0$ ，利用 $k_1,k_2dots k_n in K$ 與 $l_1,l_2dots l_m in L$ 是基，可得 $l_ik_j in L$ 在域 $F$ 上線性無關，從而構成一組基.
且 $[L:K][K:F]=[L:F]$ .

反之，由域擴張 $L/F$ 是有限擴張，且 $dim_Kleqdim_FL$ 以及 $dim_FKleqdim_F L$ ，可得 $K/F$ 以及 $L/K$ 是有限擴張.

下面我們用多項式簡單的研究一下域擴張.

定義3.1 設有域擴張 $K/F$ ，稱域 $K$ 中元素 $alpha$ 是域 $F$ 上的代數元（algebraic element），若存在域 $F$ 上的多項式 $f_alpha(x)=c_0+c_1x+dots+c_rx^rin F[x]$ ,使得 $f_{alpha}(alpha)=c_0+c_1alpha+dots+c_ralpha^r=0 in K$ . 否則稱 $alpha$ 為超越元（transcendental element）.

特別的，對於域擴張 $mathbb C/mathbb Q$ ，若 $mathbb C$ 中元素 $alpha$ 是 $mathbb Q$ 上代數元，則稱其為代數數 (algebraic number)，否則稱作超越數 (transcendental number).

例2 $mathbb Q(sqrt2)$ 中任意元素均是 $mathbb Q$ 上的代數元，而 $mathbb C$ 中元素未必是 $mathbb Q$ 上代數元.

對 $mathbb Q(sqrt2)$ 中任意元素 $a+bsqrt 2$ , 存在域 $mathbb Q$ 上多項式 $f(x)=(x-a)^2-2b^2$ 使得 $f(a+bsqrt 2)=0$ . 從而 $mathbb Q(sqrt2)$ 中任意元素 $a+bsqrt 2$ 均為 $mathbb Q$ 上的代數元.

任取 $mathbb Q$ 上代數元 $alphain mathbb R$ ，存在唯一的首一不可約多項式 $f_alpha (x) in mathbb Q[x]$ 是 $alpha$ 的最小多項式，則該對應關係定義了代數閉包 $ar {mathbb Q}$ 到多項式環 $mathbb Q[x]$ 的映射 $eta$ . 對每個多項式 $f$ ,由代數基本定理，至多有 $deg f$ 個代數元以其為最小多項式，由多項式環 $mathbb Q[x]$ 是可數的，有代數閉包 $ar {mathbb Q}$ 是可數的，這表明 $ar {mathbb Q}$ 是 $mathbb C$ 的真子集.

定義3.2 設有域擴張 $K/F$ ，域 $K$ 中元素 $alpha$ 是域 $F$ 上的代數元，稱域 $F$ 上多項式 $f(x)in F[x]$ 滿足 $f(alpha)=0$ 的為 $alpha$ 的零化多項式, 稱所有 $alpha$ 的零化多項式中次數最小的為 $alpha$ 的最小多項式 (minimal polynomial).

命題3 設有域擴張 $K/F$ ，域 $K$ 中元素 $alpha$ 是域 $F$ 上的代數元，則 $alpha$ 的零化多項式是多項式環 $F[x]$ 的理想，從而 $alpha$ 的最小多項式存在且（在相伴意義下）唯一，並為該理想的生成元，進一步， $alpha$ 的最小多項式是不可約多項式.

證明零化多項式全體是理想與線性代數中的證明類似，留做習題，從而由多項式環是主理想整環，最小多項式存在且（在相伴意義下）唯一.
設存在 $F$ 上多項式 $g,h$ 使得 $f_alpha(x)=g(x)h(x)$ ，則由 $f_alpha$ 是零化多項式， $g(alpha)h(alpha)=0$ ,從而不妨設 $g(x)$ 也是 $alpha$ 的零化多項式，故 $f_alpha|g$ ，又由 $g|f_alpha$ ，有 $f_alpha$ 與 $g$ 相伴.

定義4.1 設有域擴張 $K/F$ ,若域 $K$ 中的所有元素均為域 $F$ 上的代數元，則稱域擴張 $K/F$ 為代數擴張 (algebraic extension).

例3 例2中我們即證明了域擴張 $mathbb Q(sqrt2)/mathbb Q$ 是代數擴張.

例4 設有域擴張 $K/F$ ， $K$ 中所有域 $F$ 上的代數元的全體稱作域 $F$ 在 $K$ 中的代數閉包（algebraic closure)，記作 $ar F$ .則域 $F$ 代數閉包 $ar F$ 是 $K$ 的子域，且域擴張 $ar F/F$ 是代數擴張.

為行文方便與篇幅簡短，我們放在下節介紹單擴張後證明.

命題5 設有域擴張 $L/K$ 及 $K/F$ , 若 $K/F$ 以及 $L/K$ 是代數擴張，則域擴張 $L/F$ 是代數擴張. 反之，若域擴張 $L/F$ 是代數擴張， $K/F$ 以及 $L/K$ 是代數擴張.

證明：
對於第一個命題，我們放在下界節介紹單擴張之後證明.
反之，若域 $L$ 中元素 $alpha$ 是域 $F$ 上的代數元，則也是域 $K$ 上的代數元. 若域 $K$ 中元素 $alpha$ 作為域 $L$ 中元素是域 $F$ 上的代數元，域 $K$ 中元素 $alpha$ 是域 $F$ 上的代數元.

下面我們簡單聯繫一下兩種觀點.

命題6.1 設有域擴張 $K/F$ ，若 $K/F$ 是有限擴張，則 $K/F$ 是代數擴張.

證明：任取域 $K$ 中元素 $alpha$ ，則由域擴張是有限擴張，存在自然數 $r$ 使得 $1,alpha,alpha^2 ,...,alpha^r$ 線性相關，即存在 $c_0,c_1,dots,c_r in F$ 使得 $c_0+c_1alpha+dots+c_ralpha^r=0 in K$ , 令 $f(x)=c_0+c_1x+dots+c_rx^r in F[x]$ ，則 $f(x)$ 是 $alpha$ 的零化多項式，故 $alpha$ 是域 $F$ 上的代數元，域擴張 $K/F$ 是代數擴張.

命題6.2 存在不是有限擴張的代數擴張.

證明：只需證明有理數域 $mathbb Q$ 在複數域 $mathbb C$ 中的代數閉包 $ar{mathbb Q}$ （即代數數全體）作為有理數域上的線性空間是無限維的, 則該代數擴張不是有限擴張.
對任意自然數 $n$ ，考慮 $sqrt[n]{2} in mathbb R$ ，並定義 $mathbb Q(sqrt[n]{2})={a_0+a_12^{1/n}+...+a_{n-1}2^{n-1/n}：a_i in mathbb Q}$ ，則 $mathbb Q(sqrt[n]{2})$ 按照實數的運算構成一個域，且域擴張 $mathbb Q(sqrt[n]{2})/mathbb Q$ 的次數為 $n$ . 請讀者自己驗證.
由於該擴張是有限擴張，從而是代數擴張，因此域 $mathbb Q(sqrt[n]{2})$ 包含在 $mathbb Q$ 的代數閉包 $ar{ mathbb Q}$ 中，這表明 $[ar{mathbb Q}:mathbb Q]geq n, forall n$ ，即 $ar{mathbb Q}$ 是無限維的.

下節我們介紹一種具體的域擴張方式——單擴張 (simple extension)，並以單擴張的角度研究有限擴張.