無窮大的數學（二）：0.9循環 < 1？——超實數

由於我們發現，這樣定義的數可以很好的進行加減乘除運算，因此我們可以在某種意義上用這種新的數來代替實數，為此我們定義：

1,2,3,4..... = ω（以後簡寫為w）

1,1/2,1/3,1/4,..... = ε（仍然簡寫為d）

我們注意到有w = 1/d，同時我們還定義了 w+1,w+2, w^2, 2w等等，你可以任意去寫出含有w和d的符號然後去寫出他們對應的數列

可是我們似乎還有點什麼問題沒解決，比如說，比大小？

1,1,1,1,1,1.... = 1

2,1,1,1,1,1..... 呢？他和1誰大？

顯然我們不希望破壞「有序」這個美好的特徵（當然有時候隨著數學進步我們在不斷放棄老的東西），所以我們急需一個方案來確定兩個數列的大小

當然他的極限是=1的，可是我們剛剛也說了，我們原本就是為了區分極限相同的數列（比如0和無窮小）才需要引入新的數的概念

我們首先需要注意到一個事實，那就是當我們用一個無窮數列來表示一個數時，真正重要的，僅僅是後面的那個無窮的部分（即...），前面的有限多項的大小（甚至他們是什麼），我們其實都是毫不關心的，因為比起後面的無窮多項來說，他們的影響幾乎為0

看起來我們似乎可以定義，如果一個數列a有無限多項都小於（等於，或大於）另一個數列b，那麼我們就稱之為a<b，不過遺憾的是，他仍然無法比較這樣的數列和0誰大：

-1,1,-1,1,-1....（可以發現這個就是-1^w）

因為他既有無窮多項大於0，又有無窮多項等於0（顯然我們也不好意思就這樣讓他等於0）

更重要的是，剛剛這個所謂的「無窮的部分」，還沒有一個很好的定義來描述，到底什麼叫一個數列中無窮的部分（我們總不能說是...的部分）

為此，數學家們引入了「濾(filter)」的概念，濾是一組整數集合的集合，他還有一些特殊的條件來保證他是實用的，對此我不詳述，我只介紹兩個重要的概念，其一，這一個濾，我們稱之為弗雷歇濾（Frechet Filter），他包含了所有在正整數集上補集為有限的集合

因此，如果一個數列中，後面的...的部分，其實就是說，下標集合屬於弗雷歇濾的部分

不過我們應該注意到，在-1^w中，所有項為1的部分，和為-1的部分，都不屬於弗雷歇濾。

也就是說，弗雷歇濾缺乏一個重要特性：一個集合和他的補集，必定有一個屬於一個濾，這樣的濾我們稱為超濾，比如，所有包含1的集合的集合，這就是一個超濾（叫做1-主濾），但遺憾的是，這樣的主濾又缺乏弗雷歇濾那種「能夠表示...部分」的能力

實際上，我們需要一個兩全其美的東西，他既具有弗雷歇濾的那種特性（學名叫可數不完備性），又是一個超濾。我們只要找到他，我們就可以定義：

如果a和b中，a<b的部分，a=b的部分，a>b的部分，哪個下標集屬於他，我們就定義a和b的關係是這樣（請注意，我們再一次重新定義了等號！）

到這裡，數學家給我們帶來了一個好消息和一個壞消息。

壞消息是，我們找不到這樣的超濾。

但不要灰心，因為好消息是，我們可以證明，這樣的超濾是存在的~

所以，我們可以嚴格定義任意兩個數列直接的大小，只不過，有時候我們算不出來他

比如剛剛提到的-1^w，他到底是等於1呢，還是等於-1呢，這是一個不可計算的問題，因為我們無法找到剛剛所說的超濾，而除非我們找出他，我們才能說，到底-1^w中等於1的部分（奇數集）和等於-1的部分（偶數集），哪一個屬於他，他就等於誰

不過好在，我們現在已經可以寫出，1- 0.9999... = 10^d

這時候我們可以嚴格的定義什麼叫無窮小無窮大了，即，對於任意實數r（傳統的實數）

如果都有x < r，那麼x是一個無窮小，如果都有x > r，那麼x是一個無窮大

所以無窮小不是某個超實數，而是整整一大類超實數

此外，我們定義≈（約等於號，為方便打字，下面簡寫為<>（大於小於））為

如果a - b 是一個無窮小，那麼a <> b

當我們回歸到數值運算時，約等於就變回了等於（因為極限為0）

而這充分並嚴格的解釋了，為什麼當年牛頓和萊布尼茨算微分時，可以先假定一個數不等於0，並在最終讓他等於0，因為這裡前面的不等於0，是指這是一個無窮小，而後面的讓他等於0，其實是在說回歸數值運算時的那個約等於（不了解這段歷史的同學可以跳過這段話）

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PS.臨時補充一點，實際上根據上述結論，我們推出了0.999999.... = 1 - 10^d < 1(儘管他 <> 1)。但如果你理解成這就是1左邊最近的實數，那就大錯特錯了，首先，1-10^d顯然不是實數！其次，他到1之間仍然有無窮多個超實數（但沒有實數了）比如 1 - 10^d / 2，比如1 - 10^d +d 這些都是大於 1-10^d，而小於1的

PS2.請注意，0.3333....也不再是實數，他等於 1/3 - 10^d / 3。為了想明白這個結論，請留意數列 0.3,0.33,0.333.....和數列1/3,1/3,1/3....沒有任何一項是相等的，而我們之前的等於的定義是，他們相等的項的下標集合屬於那個我們無法構造但存在的超濾（但顯然空集不屬於他），當然很容易證明0.3333.... < 1/3 並且 <> 1/3

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有了d,有了w,無窮的話題是否就此結束了呢？遠遠沒有，考慮到實數通常用數軸來表示，很自然的，我們會想要知道，這些d和w在幾何上是什麼樣子的？我們有沒有可能直觀的把他們畫出來呢？