電磁學要義(2)

04-26

上一篇關於電磁學的文中電磁學要義(1)，我們簡述了麥克斯韋方程組的來源，研究了電磁場的能量守恆，動量守恆，還推導了電磁場動量張量。那麼本篇文章就簡述一下電磁波的傳播，射。

電磁波的傳播
電磁波的輻射

1.電磁波的傳播

a.電磁波在相同介質中的傳播：

在真空中，麥克斯韋方程組可以寫為

$egin{cases} ablacdot E=0\ ablacdot B=0\ abla imes E=-partial B/partial t\ abla imes B=mu_0epsilon_0partial E/partial tend{cases}$

對上面第三式求旋度，用矢量計算，將第四式和第一式帶入可以得到

$、E=mu_0epsilon_0 ddot{E}$

同理，有

$、B=mu_0epsilon_0 ddot{B}$

寫成這樣更方便一點，也就是說，拉普拉斯算符作用在電磁場上等於電磁場的二階導數，這是一個典型的波動方程！這裡的 $mu_0epsilon_0=1/c^2$ 為場波動的速度，c為光速！因此我們可以知道，電磁場以波動形式存在，變換著的電場和磁場相互激發形成在空間中傳播的電磁波。電磁波的速度就是光速！我們知道，電磁波可以在空氣或者其他介質中傳播，但是，這時傳播情況如何呢？我們需要引入（線性均勻）介質中的麥克斯韋方程組，

$egin{cases} ablacdot D= ho\ ablacdot B=0\ abla imes E=-partial B/partial t\ abla imes H=mu_0J+mu_0partial D/partial tend{cases}$

這裡， $D=epsilon E$ , $H=B/mu$ ,這裡的電容率和磁導率就是介質的相對值了。但是對於不同頻率的電磁波，即使在同一種介質中傳播，它的電容率和磁導率也是不同的，這稱為介質的色散。對於非正弦變化的電場，關係式 $D=epsilon E$ 也不成立，但是在實際的情況下，電磁波總是以正弦波的形式傳播，所以我們主要研究這種頻率不變的又做正弦振蕩的電磁波稱為時諧電磁波：

$egin{cases}E(r,t)=E(r)e^{-iomega t}\B(r,t)=B(r)e^{-iomega t}end{cases}$

同我們推導真空中波動方程一樣，將上式帶入到介質中的麥氏方程，就可以得到

$egin{cases}、E+k^2E=0\、B+k^2B=0\end{cases}$

這裡的k值為

$k^2=omega^2(muepsilon)=omega^2/v^2$

v為電磁波在介質中的傳播速度，介質的折射率可以由相對電容率和相對磁導率表示

$n^2=mu_repsilon_r$

從介質的波動方程，可以得到一個平面電磁波的解

$E(r,t)=E_0e^{i(kcdot r-omega t)}$

這裡k為沿著電磁波傳播方向的一個矢量，其模為 $|k|=omega^2/v^2$ ，我們對上式求散度，就有

$B=frac{1}{v}e_r imes E$

說明，電場和磁場方向正交，振幅比為v。

在上篇電磁學要義(1)中，推導了電磁場的能量密度和能流密度，在實際情況中，我們經常用它們的平均值，有

$<omega>=frac{1}{2}epsilon E_0^2$

$<S>=frac{1}{2}Re(E^* imes B)=frac{1}{2}sqrt{frac{epsilon}{mu}}E_0^2e_k$

b.電磁波在不同介質中的傳播

任何波動在兩種不同介質界面上的反射和折射都是屬於邊值問題。我們利用電磁場的邊界條件和波動方程的解可以驗證電磁波滿足反射，折射定律，並且可以求出入射波，反射波和折射波的振幅關係。關於電磁波的偏振和反射有兩個臨界現象很有趣：

布魯斯特定律
全反射現象

並且對於電磁波在導體中傳播時，往往只能集中與表面很薄的而一層，這種現象叫做趨膚效應。穿透深度為 $delta=sqrt{frac{2}{omegamusigma}}$ ， $sigma$ 為電導率。原因是：在導體中有自由電子，在電磁波電場作用下，自由電子形成傳到電流，產生焦耳熱使電磁場能量不斷衰減。所以一般來說如何探測到海中的潛艇往往不是用雷達，而是用聲吶去探測。

如果假設電磁波從真空入射到導體表面，反射係數為

$R=1-sqrt{frac{4omegaepsilon_0}{sigma}}$

也就是說，電導率越大，反射係數越大。所以上段的例子應該再加上一個原因：只有小部分能量被導體內部吸收，而大部分能量直接反射走了。

2.電磁波的輻射

a.規範變換

在前面的文章分析力學簡義(1)中，我們用電磁場的拉格朗日函數來求解電磁場問題，其中我們引入了規範變換，思路很簡單。就是讓電磁場用一組勢來表示，他們的定義為

$B= abla imes A$

$E=- ablaphi-frac{partial A}{partial t}$

由上式就可以知道，矢勢A與標勢 $phi$ 不是唯一的，讓它們做變換

$A=A+ ablapsi$

$phi=phi-frac{partial psi}{partial t}$

滿足同樣的電磁場，上式就是勢的規範變換。即使在量子力學裡，所有可觀測的物理量仍然保持規範不變性！我們要導出勢的方程，還需要一些輔助的規範條件：

庫侖規範 $ablacdot A=0$
洛倫茨規範 $abla cdot A+frac{1}{c^2}frac{partial phi}{partial t}=0$

把洛倫茨規範條件帶入到麥克斯韋方程組中可得

$abla^2A-frac{1}{c^2}frac{partial^2 A}{partial t^2}=-mu_0J$

$abla^2phi-frac{1}{c^2}frac{partial^2 phi}{partial t^2}=- ho/epsilon$

這就是達朗貝爾方程。這個方程也就是說：電荷產生標勢波動，電流產生矢勢波動，當電磁波傳播到沒有電荷和電流的空間里時，就是我們在第一節中所考慮的電磁波的傳播問題。下面我們假設求一個變化的電荷的標勢，求解達朗貝爾方程，用分離變數法可得：

$phi(r,t)=frac{f(t-frac{r}{c})}{r}+frac{g(t+frac{r}{c})}{r}$

第一項代表向外發射球面電磁波，第二項表示向內收斂的球面波，我們研究輻射問題，可以直接取 $g=0$ 。我們可以對比一下靜電場的勢函數：

$phi=frac{1}{4piepsilon_0}frac{Q}{r}$

如果電荷在 $r$ 處，如果它到一場點的距離為 $r=R-r$ ，那麼標勢可以寫為場的疊加形式

$phi(R,t)=frac{1}{4piepsilon_0}int_Vfrac{ ho(r,t-r/c)}{r}dVquad quad(1)$

同理可知矢勢為

$A(R,t)=frac{1}{4piepsilon_0}int_Vfrac{J(r,t-r/c)}{r}dVquad quad (2)$

上面的式子反應一個重要的事實：電磁作用具有一定的傳播速度，在空間某點和某時處的場值不是同一時刻電荷電流分布的情況，而是前一個時刻到達的。所以上面的式子也被稱為推遲勢公式。

b.電偶極輻射，磁偶極子輻射，電四極子輻射

輻射問題就是：How such configurations produce electromagnetic waves--that is ,how they are radiate.

我們假設在原點附近有一個電荷區域，有一個巨大的球殼包圍住它，那麼輻射功率為

$P=lim_{r ightarrowinfty}oint_sScdot ds=lim_{r ightarrowinfty}oint_s(E imes B)cdot ds$

所以能流密度不能比 $1/r^2$ 下降的更快，如果電荷是不動的，那麼按照庫侖定律，靜電場就以 $1/r^2$ 下降，由畢奧-薩伐爾定律可以得到磁場也是如此，所以 $Ssim1/r^4$ .因此對於靜源它不輻射。但是如果電荷是變速運動的，電荷密度和電流密度隨時間而變，那麼對於公式(1)，(2)我們可以求出電場強度和磁場強度，這時電場強度和磁場都有 $1/r$ 項，所以這些項是對外輻射做貢獻的項。下面我們來分析兩個最簡單的輻射例子：電偶極子輻射和磁偶極子輻射。