復幾何：一些簡單的線性代數

04-25

目前復幾何上課只講了一些最基本的內容，但說起來還是很有趣的。除去多復變和微分幾何基本知識的介紹，其餘內容大概都可以在線性空間上完成，然後完全類比地搬到向量叢（切叢）上去，但會多一些可積性條件。

因此我先嘗試看一看這些簡單的線性代數的東西。（說起來，還是線性代數簡單啊。。）

一、基本內容

設 $V$ 是一個（有限維）實線性空間。

Definition. 一個線性映射 $J : V o V$ 若滿足 $J^2 = -mathrm{id}_V$ 則被稱為 $V$ 上的一個復結構（近復結構，殆復結構，不同的人有不同的叫法，畢竟是向量空間）。

這個名字的來源是：此時顯然通過 $J$ 可以把 $V$ 看作一個 $mathbb R[X]/(X^2+1) cong mathbb C$ 上的模，即復向量空間。因此 $V$ 一定是偶數維的，以下記 $dim_{mathbb R} V = 2 n$ ，並且如果 $v in V$ ，則把 $J(v)$ 簡記為 $Jv$ 。

換言之，此時我們有兩種觀點來看同一個東西：一是一個復向量空間 $V$ ，二是一個實向量空間和其上的一個復結構 $(V,J)$ 。它們是等價的。

為了明確說明「等價」的含義，我們給出一個範疇。

Definition. 一個態射 $f : (V_1 , J_1) o (V_2 , J_2)$ 是一個（實）線性映射 $f : V_1 o V_2$ 且滿足 $f circ J_1 = J_2 circ f$ 。（請自行畫出交換圖）

不論從哪個角度來說這個定義都是自然的。於是我們得到一個範疇，且它顯然和復向量空間的範疇等價。這種描述至少有一個優點：在描述復向量空間的復共軛的時候，對於代數基礎不太好的人而言可能覺得很模糊而不知道什麼意思，但這個情況下就很明確了，即 $(V,J)$ 的復共軛就是 $(V,-J)$ 。

如果把 $(V,J)$ 視為復向量空間並選取一組基 ${e_1 , ldots , e_n}$ ，那麼作為實向量空間，易見 ${e_1 , ldots , e_{2n}}$ 是一組基，其中 $e_{n + i} := J e_i$ 。於是 $J$ 在這組基下的矩陣就是 $egin{pmatrix} & -I_n \ I_n & end{pmatrix}$ 。此外，若認為這組基給出了實向量空間 $V$ 的一組定向，那麼這個定向並不依賴於最初在復向量空間中基的選擇。在本文的最後有對此的證明。

因而有一種對復結構的等價描述：給定 $(V,J)$ ，定義它的一個實子空間為一個子空間 $W subset V$ 且滿足 $W cap J W = {0}$ ，那麼顯然 $V = W oplus JW cong W oplus W$ ；反之，若有一個同構 $V cong W oplus W$ ，那麼 $W oplus W$ 上自然的復結構 $(w_1 , w_2) mapsto (-w_2 , w_1)$ 可以通過這個同構搬到 $V$ 上面去。這非常類似於辛結構的拉格朗日子空間， $V cong W oplus W^*$ 。

定義 $V_{mathbb C} := V otimes_{mathbb R} mathbb C$ 為 $V$ 的復化，那麼對於 $J_{mathbb C} := J otimes mathbb C : V_{mathbb C} o V_{mathbb C}$ 來說顯然有 $J_{mathbb C}^2 = -mathrm{id}_{V_{mathbb C}}$ 。於是令 $V^{1,0}$ 和 $V^{0,1}$ 為 $J_{mathbb C}$ 的特徵值為 $pm i$ 的特徵子空間，則 $V_{mathbb C} = V^{1,0} oplus V^{0,1}$ ，它們都是復向量空間。

Proposition. 考慮到前述的範疇等價，我們有 $(V,J)$ 和 $V^{1,0}$ 的同構。

Proof. 直接明確寫出此同構 $(V,J) o V^{1,0}$ 為 $v mapsto v otimes 1 - J v otimes i$ （有時會相差一個係數）。很容易驗證這是一個雙射，且與復結構相容。（請自行驗證）

同樣可以寫出一個 $(V,J) o V^{0.1}$ 的映射為 $v mapsto v otimes 1 + Jv otimes i$ （有時會相差一個係數），但這個映射只是反線性的。這也與大家常說的 $V^{1,0} = overline{V^{0,1}}$ 這一事實相對應。（請具體看一下）

因此 $dim_{mathbb C} V_{mathbb C} = 2n$ 而 $dim_{mathbb C} V^{1,0} = dim_{mathbb C} V^{0,1} = n$ 。

那麼自然地，看完對象看態射。設有態射 $f : (V,J) o (W,J)$ ，則 $f_{mathbb C} := f otimes mathbb C : V_{mathbb C} o W_{mathbb C}$ 是（復）線性映射且與 $J_{mathbb C}$ 和 $J_{mathbb C}$ 有與前類似的交換關係。於是有 $f_{mathbb C}(V^{1,0}) subseteq W^{1,0}$ 與 $f_{mathbb C}(V^{0,1}) subseteq W^{0,1}$ 成立。（請自行驗證）不妨把映射限制在兩個子空間上記為 $f^{1,0}$ 與 $f^{0,1}$ 。

換言之，我們得到兩個函子 $-^{1,0}$ 與 $-^{0,1}$ 。

可以把對偶和張量積等操作同樣地搬到這裡來，都是很顯然的。但是我現在暫且不去詳細討論 $(p,q)$ -形式相關的內容。

二、內積與相關的內容

現在有一個實線性空間 $V$ 和其上的復結構 $J$ ，我們也可以在上面給一個內積的結構 $g : V otimes_{mathbb R} V o mathbb R$ ，即非退化的實對稱正定雙線性型。那麼自然會考慮兩種結構的關係。

Definition. 如果 $g circ (J otimes J) = g$ ，即 $J$ 相對於此內積是一個正交變換，則稱內積與復結構相容，或者說此復結構是一個正交復結構。

立即可以看出，對任意 $v in V$ 有 $g(v,Jv) = 0$ 。此外，給定復結構之後，這樣的內積一定是存在的：隨便給一個內積 $g$ ，那麼考慮 $g + g circ (J otimes J)$ 即可。（請自行驗證）

可以把以前的結構定理推廣到這裡來。

Theorem. 對每一個相容的 $(V , J , g)$ ，存在一組標準正交基 ${e_1 , ldots , e_{2n}}$ ，使得 $J e_i = e_{n + i}$ 與 $J e_{n + i} = -e_i$ 成立。

Proof. 歸納法。當 $dim_{mathbb R} V = 2$ 時顯然，因為隨便找一個單位向量當做 $e_1$ 再令 $e_2 = J e_1$ 即可。若在 $dim_{mathbb R} V = 2n$ 時成立，則在 $dim_{mathbb R} V = 2n+2$ 時，跟上面一樣找到兩個向量 $e_1$ 與 $e_{n + 1}$ ，考慮它們（張成的子空間）的正交補即可。因為復結構是正交的，所以 $J$ -不變子空間的正交補還是 $J$ -不變的。（這些技術似乎都用爛了。。）

既然是標準正交基，那麼 $g$ 在這組基下的矩陣就是單位矩陣 $I_{2n}$ 。

因為沒有內積的時候也能做類似的事情，所以重點其實是標準正交基。於是內積與復結構的相容可以等價地描述為：每一個實子空間的分解 $V cong W oplus W$ 都是正交的分解。（當然，這句話看起來不是特別精確，請自行理解它的精確含義）

正如上面所注意到的，給定一個相容的 $(V,J,g)$ ，定義 $omega := g circ (J otimes mathrm{id}_V)$ （有時會相差一個正負號）一定是一個反對稱雙線性型，且顯然是非退化的，因此得到了一個辛結構。同樣地，此時有 $omega circ (J otimes J) = omega$ ，即 $J$ 相對於此辛形式是一個辛變換。而前一定理找到的標準正交基也是一組辛基底，易見 $omega$ 在這組基下的矩陣也是 $egin{pmatrix} & I_n \ -I_n & end{pmatrix}$ 。（請自行驗證）

但反過來的事情似乎就不太一樣了。我們可以定義 $(V,J,omega)$ 相容是指 $J$ 也是一個辛變換，然後嘗試定義內積 $g := omega circ (mathrm{id}_V otimes J)$ ，但是正定這個條件似乎不太容易滿足。（請自行考慮）所以大概能看到，如果並不限制在實數或複數域上，如果在一般的代數閉域上考慮問題的話，它們直接的關係應該是非常好的。

Problem. 什麼時候 $(V,J,omega)$ 能決定一個內積，即正定性？

一個比較容易看出來的等價條件是：存在一組基使得 $J$ 和 $omega$ 的矩陣成為上述的標準形式。這個思路是先決定 $g$ 的標準型再倒回來看 $omega$ 。鑒於內積的標準型有 $n + 1$ 種，即正負號的數量，那麼 $(V,J,omega)$ 也有 $n + 1$ 種標準型。我沒有想到什麼特別好的描述，如果誰有什麼想法不妨說一說。

不過，對於給定的 $(V,J,g,omega)$ ，這三個結構中的任意兩個能決定另一個。上面我們已經看到辛結構被內積和復結構決定，以及內積被辛結構和復結構決定。至於復結構，可以從 $J = -omega^{sharp} circ g^{flat} = g^{sharp} circ omega^{flat}$ 得出。這裡的記號是：如果 $B : V otimes_{mathbb R} V o mathbb R$ 是一個非退化雙線性型，那麼同構 $B^{flat} : V o V^*$ 由 $B^{flat}(v)(w) := B(v,w)$ 定義，而 $B^{sharp}$ 則定義為 $B^{flat}$ 的逆。

最後，考慮到 $(V,J)$ 可以看成一個復向量空間，試著定義 $h(v,w) = g(v,w) + i omega(v,w)$ ，那麼容易驗證 $h : overline V otimes_{mathbb C} V o mathbb C$ 是一個埃爾米特內積。反之，給定一個埃爾米特內積，那麼它的實部和虛部分別是與復結構相容的內積與辛形式，並且內積和辛形式之間有如上所述的聯繫。（請自行驗證）

在前述的標準基底 ${e_1 , ldots , e_n}$ 下，易見 $h$ 的矩陣是單位矩陣 $I_n$ 。

我們現在來考慮 $V$ 的自同構群 $mathrm{GL}(V)$ ，取定一組基後同構於 $mathrm{GL}(2n,mathbb R)$ 。

鑒於我們已經在 $V$ 上加了這麼多相容的結構 $(V,J,g,omega,h)$ ，自然會問哪些自同構保持這些結構。

有兩個是熟悉的：保持內積 $g$ 的子群 $mathrm{O}(V,g)$ ，取定一組標準正交基後同構於 $mathrm{O}(2n)$ ；保持辛形式 $omega$ 的子群 $mathrm{Sp}(V,omega)$ ，取定一組辛基底後同構於 $mathrm{Sp}(2n,mathbb R)$ 。

哪些自同構保持復結構 $J$ 呢？我們把這個子群記為 $mathrm{GL}(V,J)$ ，它顯然就是把 $(V,J)$ 視為復向量空間時的所有（復）自同構，因而選取一組（復的）基後同構於 $mathrm{GL}(n,mathbb C)$ 。那麼它是如何同構於 $mathrm{GL}(2n,mathbb R)$ 的子群的呢？我們寫出一組標準的基底 ${e_1 , ldots , e_{2n}}$ ，其中 $e_{n + i} = J e_i$ ，那麼容易得到映射 $mathrm{GL}(n , mathbb C) o mathrm{GL}(2n , mathbb R)$ 為 $A + i B mapsto egin{pmatrix}A & -B \ B & Aend{pmatrix}$ 。（請自行驗證。提示：看 $J$ 對應的矩陣）順便，由於這個矩陣的行列式是正的，我們又證明了文章開頭關於定向的命題。

好了，注意到前面的定理給出了一組非常好的基，這組基下所有的東西都有標準形式，因此通過這樣一組基給出的同構 $mathrm{GL}(V) o mathrm{GL}(2n,mathbb R)$ 限制到三個子群上就恰好是上述的三個同構。

Theorem. 將三個群 $mathrm{O}(2n) , mathrm{Sp}(2n,mathbb R),mathrm{GL}(n,mathbb C)$ 視為 $mathrm{GL}(2n,mathbb R)$ 的子群，則三者兩兩之交都等於三者之交。

Proof. 由於有了一個好的同構，我們只需要看 $mathrm{GL}(V)$ 的三個子群 $mathrm{O}(V,g) , mathrm{Sp}(V,omega) , mathrm{GL}(V,J)$ 即可。由於 $(J,g,omega)$ 中任意兩個決定另一個，故保持其中任意兩個結構的映射也一定保持另一個，因而定理得證。（換言之，並不一定要考慮自同構，對於一般的映射也有類似的結果）

那麼三者之交是什麼呢？仍然回到 $V$ 上考慮，顯然這個子群會保持埃爾米特內積 $h$ 。反之，考慮一個保持 $h$ 的自同構，它首先是複線性的，故保持 $J$ ；其次它要保持 $h$ 的實部和虛部，故保持 $g$ 和 $omega$ 。所以有 $mathrm{O}(V,g) cap mathrm{Sp}(V,omega) cap mathrm{GL}(V,J) = mathrm{U}(V,h)$ 。

又因為在前述標準基底下 $h$ 的矩陣也是標準形式，所以我們得到推論：

Corollary. 有等式 $mathrm{O}(2n) cap mathrm{Sp}(2n,mathbb R) cap mathrm{GL}(n,mathbb C) = mathrm{U}(n)$ 成立，這裡所有的群都視為 $mathrm{GL}(2n,mathbb R)$ 的子群。

大概就先這樣吧。