筆記整理5（粒子的quantum number）

04-25

Parity

算符 $mathbb P|Psi(x,t)>=P|Psi(-x,t)>$

實數P就是粒子的parity,顯然算符P作用兩次相當於什麼都沒作用，所以粒子如果有parity，要麼是1，要麼是-1。

spin1/2的費米子和它的反粒子有相反的parity
習慣上，夸克quark和輕子lepton的parity取1
他們的反粒子parity為-1
spin0的玻色子和他的反粒子有相同的parity
光子和膠子gluon的parity=-1
W和Z沒有parity因為弱作用中parity不守恆
多個靜止的粒子系統的parity是各成分的parity相乘
兩個粒子的系統，如果有角動量L，parity還要再乘上（-1）^L
3個粒子的系統，1號粒子和2號粒子有角動量L1,3號粒子和它們有角動量L2，parity乘上(-1)^(L1+L2)

Charge conjugate

算符 $mathbb C|a,Psi(x,t)>=C|ar a,Psi(x,t)>$

也就是把粒子變成他的反粒子，這個算符作用後

電荷q取反變成-q
baryon number 重子數取反
lepton number輕子數取反
strangeness 奇異數取反
charm, beauty, truth 魅力，美麗，真理取反（哈哈深度中二）
扯了這麼多其實就是因為這些數的定義就是和各自對應的粒子的反粒子取反的
位置，動量，自旋不變

同樣，C的本徵值也只能是+1或-1，但是很少有粒子是C的本徵態，除非它是自己的反粒子，比如：光子的C=-1，π^0的C=+1。

電磁作用中C守恆，所以π^0隻能衰變成偶數個光子

G-parity

算符 $mathbb G=mathbb{CR_2}$

R_2是繞isospin的2號軸旋轉180°，也就是把ud夸克互換。

$mathbb R_2|I space, I_3>=(-1)^{I-I_3}|I space, -I_3>$

Isospin

突然發現到現在都還沒有說isospin是什麼。。。

先說說歷史？當年heisenburg覺得n和p質量相近，也都參與相互作用，只是電荷不一樣，於是想把n和p解釋成一個粒子的兩種狀態，就像電子的spin up和spin down一樣，引入一個新的isospin，核子N是isospin 1/2粒子，p是isospin三號分量=+1/2的態，n是isospin三號分量=-1/2的態。

現在，用夸克的模型看，我們可以說u夸克的isospin=1/2，三號分量+1/2，d夸克的isospin=1/2，三號分量-1/2，於是質子是uud, isospin=1/2, I_3=+1/2，中子是udd，isospin=1/2，I_3=-1/2。

三種π介子分別是

$|pi^+>=|uar d>\ |pi^->=|dar u>\ |pi^0>=(|dar d>+|uar u>)/sqrt2$

（這裡我們還可以練一下spin的疊加，isospin的疊加和spin的疊加完全一樣）

u,d和他們的反粒子的isospin及3號分量分別是

$|u>=|frac12,frac12>\ |d>=|frac12,-frac12>\ |ar u>=|frac12,-frac12>\ |ar d>=|frac12,frac12>$

查一下clebsch-gordan係數表

於是

$|uar u>=|frac12,frac12>|frac12,-frac12>=frac1{sqrt2}|1,0>+frac1{sqrt2}|0,0>\|dar d>=|frac12,-frac12>|frac12,frac12>=frac1{sqrt2}|1,0>-frac1{sqrt2}|0,0>$

於是isospin=1的π介子可以看做三個3號分量不同的態

$|pi^+>=|1,1>=|uar d>\ |pi^->=|1,-1>=|dar u>\ |pi^0>=|1,0>=(|uar u>+|dar d>)/sqrt2$

我們注意到還有|0,0>的態，叫做 $eta$ ，但是我們這裡還沒有考慮第三個flavor，如果加上s夸克，應該有η和η兩種粒子。

可以套進定義驗證一下，π介子的G-parity都是-1。