概率收斂、均方收斂、分布收斂、幾乎處處收斂區別與聯繫的直觀解釋？

04-25

關於幾種收斂的區別與聯繫在知乎上已經有人（姚岑卓）給出了準確的說明，並且得到了廣泛接受。我是個非數學專業人員，但對碰到的數學問題又喜歡追根尋底，在經過幾天的折磨之後，在此給出該問題的一個近乎小學生的直觀解釋。因為直觀，所以可能不太嚴謹，但對於跟我一樣沒有學過測度論的科研人員來說，或許是有一定幫助的，或者可以把以下內容作為（姚岑卓）相關內容的補充說明。下面主要通過幾個例子來說明幾種收斂之間的區別。

1、依分布收斂。例子，如果隨機序列 $x(n)$ 取0和1的概率分別為0.5，而隨機變數 $x$ 取0和1的概率也分別為0.5，那麼，根據依分布收斂的定義可知， $x(n)$ 依分布收斂於 $x$ 。但這並不表示 $x(n)$ 與 $x$ 每次的取值有任何關係：這一次 $x(n)$ 可能取0，而 $x$ 取1； $x(n)$ 可能取1，而 $x$ 取0；下一次 $x(n)$ 可能取1，而 $x$ 取0； $x(n)$ 可能取0，而 $x$ 取1。總之，如果一個隨機序列收斂於某隨機變數，兩者的取值沒有關係。

2、依概率收斂。例子，如果隨機序列 $x(n)$ 取0的概率是 $1-1/n$ ，取 $sqrt{n}$ 的概率是 $1/n$ ，那麼，按照依概率收斂的定義，這個隨機序列依概率收斂於0。

3、均方收斂。還是2中的例子，它不是均方收斂於0的，因為 $Eleft( x(n)-x ight)^{2} =1$ ，如果要使上面的序列均方收斂於0，只需將「取 $sqrt{n}$ 的概率是 $1/n$ 」，修改為「取1的概率是 $1/n$ 」即可。修改後的隨機序列當然還是依概率收斂的。

4、幾乎處處收斂。舉例之前，要說說依概率收斂與幾乎處處收斂的定義的區別：前者先取概率後取極限，後者先取極限後取概率。依然採用2中的例子，它也不是幾乎處處收斂的，因為按照幾乎處處收斂的定義，先對隨機序列 $x(n)$ 取極限，其極限根本不存在。即使將其理解成是存在的，則 $Prleft{ lim_{n ightarrow infty }{x(n)=x} ight} =1-1/n e 1$ 。如果要使上面的序列幾乎處處收斂於0，則需要規定，當 $n>N$ 時，序列 $x(n)$ 以概率1取0。