數學版的愚公移山,揭秘由夾逼定理保駕護航的黎曼積分的苦逼心酸奮鬥史
數學版的愚公移山,揭秘由夾逼定理保駕護航的黎曼積分的苦逼心酸奮鬥史
2017-03-28 今日方知 笑看數學數學版的愚公移山,揭秘由夾逼定理保駕護航的黎曼積分的苦逼心酸奮鬥史
【輕鬆一刻----核彈坑做水庫,瘋狂的蘇聯】
眾所周知核武器很牛叉,那麼能不能為國家工程做點兒貢獻呢？你還別說,真有這事,1965年，前蘇聯在塞米巴拉金斯克州的恰剛河灘地區的地下搞了一次核爆,結果形成深約100米，直徑430米的漏斗形水庫。這次核爆的引爆深度為地下178米，爆炸威力相當於14萬噸TNT,如此當量的威力肯定是氫彈而不是原子彈了。最重要的是，氫彈爆炸後，相對來說，產生的輻射要比原子彈少得多.過了不久，前蘇聯說，人工水庫周圍的輻射劑量降到天然本底水平(15～20微倫/小時)水平。當然，這是前蘇聯說的。當時，為了說明工程質量和絕對的安全性，當時的蘇聯原子能部部長Е.П.斯拉夫斯基，他第一個跳進湖內游泳。。。(雖然這哥們的行為讓人捏一把汗,不過最後還活了93歲,也不錯了)
【小明請聽題】
什麼,還有題目???
題目:假設蘇聯所得水庫表面是拋物面形狀的,深100米,最大直徑430,求水庫的體積?
什麼,不會?
那好吧,簡化一下問題,問個簡單的
求y=x^2,x屬於[0,1]時候,下面的陰影面積
小明:還是不會,求我的心裡陰影面積,5555555.............
好吧,看來你得學點函數積分的東西了.............
【求曲邊所圍面積】
(圖片來源:維基百科,達步積分)
積分的最直接的一個起源是求函數圖像與x軸所圍的面積,進而能求解很多圖形的面積,體積,在實際生活中有很多需求與應用,很有意義.但是在微積分發明前人們只會求解一些簡單圖形的面積,矩形,梯形,三角形等,那麼一個很自然的思路就是,把這些曲的問題,分解轉化為直的情況來近似處理.把曲的分割成一個個很小的部分,把每一小部分近似看成能處理的矩形,梯形等形狀,然後求解,最後再累積回來近似得到原始圖形的面積.
其中最簡單的情形無非就是計算曲線片段最高點所在的矩形面積(圖片淡紫色大矩形部分)s1,與最低點所在的矩形面積(圖片中綠色小矩形部分)s2,顯然真正的面積應該是介於二者之間的.如果只是近似計算,對計算出來的s1,s2任取一個,或者取個平均也行.但是這不是精確的啊,能求出精確的值嗎?
當然是可以的,理論上可以證明,只要分的足夠細了,在極限情況下,s1,s2的極限是一樣的,而本身的真實面積s介於s1,s2之間,所以由夾逼定理可以得到s的準確值就是使得s1,s2取同一極限的那個值,這就是積分求面積的基本原理.
【羞羞的學術用語】
由夾逼定理領銜的,諸如閉域套定理,內#射,A-B(差),活塞yun動等一波學術用語,讓上課老師頭疼不已,每當老師上課說到這些辭彙,就會在一部分內心不純潔的學生中引發陣陣騷動,多多少少的有幾分尷尬.有道是,如今叫名字顯示出來的尷尬,都是當年取名字時腦子進的水,多麼慘痛的領悟.......
【輕鬆搞定夾逼定理】
不管怎麼說,夾逼定理的證明還是比較簡單的,
可以輕鬆搞定,如下所述:
設 xn≤yn≤zn
且xn,zn極限都是a,下面證明yn的極限也是a|yn-a|=|yn-xn+xn-a|
(加一項,減一項,雖然看似脫褲子放屁,
但是能解決問題,很常用的技巧)
≤|yn-xn|+|xn-a|
≤|zn-xn|+|xn-a|(z,x的跨度當然比y,x跨度大了)
≤|zn-a+a-xn|+|xn-a|≤|zn-a|+|a-xn|+|xn-a|≤ ε/4 + ε/4+ ε/4< ε【沒大沒小,其實一樣】
從上面的計算來看，大矩形，小矩形極限其實是一樣的,那麼由霸氣的夾逼定理可以知道x^2在[0,1]部分與x軸所謂面積是貨真價實如假包換的1/3，這是有嚴格的理論支撐的。
(注:專業術語上,大矩形的和叫達步大和,小的叫達步小和)
【黎曼積分的建立】
好了,到此我們可以建立嚴格的黎曼積分了,對於函數f(x),x屬於[a,b],
把[a,b]進行劃分,a=x0<x1...<xn=b,使得每一小段都足夠小(換句話說就是最長半徑足夠小,其實一個意思)
把每一小段都看作一個小矩形,然後在每一個小段上任取一點ci,取其函數值f(ci)作為矩形的高,
每一小段面積si=底*高=Δxi*f(ci)
總面積就是各個si相加再取極限
如果無論怎麼劃分,怎麼取分點,所得到的極限值都一樣
那麼就說這個函數黎曼可積
因為黎曼積分和劃分,分點都是無關的,所以當已知一個函數可積,並且用極限方法來求積分時,就可以任取一種劃分,任取一種分點來處理,最簡單的就是n等分,分點都取第一個點，這樣就不用每次辛辛苦苦的求達步大和,達步小和,然後再逼近了，解放了生產力,提高了效率,但是請注意,這是在可積的條件下才成立的,不可積的時候就不行了，那麼那些函數是可積的啊?
【可積類型】
1閉區間上的連續函數(因為此時是一致連續函數,函數變化幅度可控)
2閉區間上單調有界(此時最大最小情況恰好就是端點,可以控制幅度)
3閉區間有界,且只有有限個間斷點(根據間斷點分區間分段積分,然後合起來)
可以看到,可積是一個很松的限制,一般比連續松一些.所以我們又得到了一個比連續稍弱的條件,一個定理如果能把條件從連續降低到可積,則定理適用範圍又擴大了,威力又增強了.
一般來說條件強弱:無窮次可微>高階可微>導函數連續>可導>連續>可積>可測(實變函數)
數學的發展一定程度上就是不斷試圖使用更低的條件,得出更強結論的過程.很多定理看起來啰哩啰唆的,一大串條件,其實都是經過千錘百鍊的,少一個條件不行,多一個條件浪費,字字珠璣,不浪費筆墨,此所謂數學之嚴謹也.看官有興趣不妨試試中值定理,把其中某些條件去掉得到的反例.....
但對於理解來說,沒必要一開始就扣那麼多細節,可以適當把條件加強一些來理解.有些定理的證明,如果非得按照那個條件來弄的話,難度還挺大的,這種情況下,就可以先把條件適當加強,先就簡單情形理解一下,若有餘力,再去看看一般情形的細節.
【不可積例子】
可積是有條件的,不可積是有實例的,
最著名的就是狄利克雷函數,有理數取1,無理數取0
這個函數就不是黎曼可積的,因為你無論取什麼劃分,每個小區間里都有無理數,有理數分點,
如果全取有理數分點,則積分為1,如果全取無理數分點,則積分為0,產生矛盾,所以不是黎曼可積
(在實變函數裡面可以知道,它勒貝格可積,積分為0)
【切勿混淆不可積,積不出】
不可積:是指類似狄利克雷函數那樣的不是黎曼可積的
積不出:求不定積分時候原函數不能用初等形式表達的類型,如six/x...
但是積不出的函數也許是可積的,比如sinx/x,是[1,2]上的連續函數,是可積的.....
【黎曼積分的推廣】
黎曼積分只是積分的一種,是微積分思想的一個運用,在不同的領域,視需求情況可能會定義其他的積分,
如曲線積分,曲面積分.同時在另外一些更深入精細的領域,黎曼積分就顯得不夠了,需要推廣,就產生了勒貝格積分等其他積分.
比如上面提到的狄利克雷函數,黎曼積分下不可積,但是在勒貝格積分下,是可積的,積分為0.
【黎曼積分的啟示】人生者,不如意事常八九;
數學者,可被人解無二三.
困難總是有的,而且是不停不斷的,絕大部分的事情都是會遇到困難的,關鍵的是如何面對.
面對攔路之虎時,是漫天抱怨,畏畏縮縮,自暴自棄,不敢向前?
還是咬牙堅持,迎難而上,不斷努力,走出困境?
黎曼積分的留下的啟示還是挺好的:
----我去,居然是曲線!!!,這種面積不會算,怎麼辦?
分解成小的直的來算啊,化為已知的情況近似處理
----我靠,小的直的也有誤差啊,不精確怎麼辦?
分的足夠細,取極限啊
----哎呀媽呀，取了極限也分大小和,本身還是不知道怎麼辦?
用夾逼定理啊,繞過本身,間接求解,換個角度,迂迴處理
----啊啊啊,難道每次都要這麼麻煩,大小和,夾逼......能不能簡化?
那就總結歸納可積函數的類型,確定可積的就隨便劃分,隨便取分點,怎麼簡單方便怎麼來,大大簡化過程
----大爺啊，可是每次都還得做劃分,取分點,求極限,好苦逼啊,受不鳥了,還能再簡單點嗎?
牛萊公式出馬消滅落後的生產方式,解放處於水深火熱之中的勞苦大眾
-----蒼天啊，可是積分原函數也好難算啊,還能再簡單點嗎?
湊微分,換元,分部積分,有理函數積分,萬能公式替換......應運而生
----我的個神啊，可是有些函數黎曼積分根本就不可積,無法處理怎麼辦?
喂,勒貝格積分嗎?你過來一下.....
.........................
一步一步,坦然面對,迎難而上,不求一步到位,只需步步為營,一點一滴,層層改善,愚公移山般不懈努力,終將走出困境,遇到的困難其實最後也都變成了進一步飛越的催化劑,最終迎來豐收的喜悅..............
推薦閱讀：