IV.2 Lebesgue積分|回顧微積分

04-24

初代萌王可耐如斯

評註9 在推論4.32的證明中，當 $m(E)=infty$ 的時候，定義集合序列 $F_k =[-n,n]cap E$ 就可以把結論輕易地推廣到測度為無窮的可測集上去。

評註10(命題） 若 ${xin E: f(x)>y}$ 對於幾乎處處的 $y$ 是可測集，那麼 $f$ 是可測函數，理由是那些零測集中的 $y$ 可以由一列不在零測集中的序列 ${y_n }$ 逼近。

評註11（Cauchy-Schwarz） 若 $f,ginmathrm{L}^2 (E)$ ，那麼 $fginmathrm{L}^2 (E)$ 且 $(int_E fg mathrm{d} x)^2 leqint_E f^2 mathrm{d} xint_E g^2 mathrm{d} x$

證明設 $tinmathbb{R}$ ，則有 $0leqint_E (f+tg)^2 mathrm{d} x=int_E f^2 mathrm{d} x+2tint_E fg mathrm{d} x+t^2 int_E g^2 mathrm{d} x$ 因此有 $(2int_E fg mathrm{d} x)^2 -4int_E f^2 mathrm{d} xint_E g^2 mathrm{d} xleq 0$ ，即 $(int_E fg mathrm{d} x)^2 leqint_E f^2 mathrm{d} xint_E g^2 mathrm{d} x$

評註12 設 $f$ 是一個實函數，如果對任意的 $xinmathbb{R}$ 都有 $lim_{h ightarrow 0} f(x+h)$ 存在，那麼 $f$ 的不連續點至多可數。

證明由條件可知 $f$ 只有第一類間斷點。設集合 $A_n ={xinmathbb{R} :vertlim_{h ightarrow 0} f(x+h)-f(x)vert geqfrac{1}{n}}$ 那麼 $A_n$ 顯然在任意有界閉區間上只有至多有限個點，從而 $A_n$ 在整個實數集上也只有至多可數個點，又注意到 $f$ 的所有不連續點的集合是 $igcup_{k=1}^{infty } A_k$ ，因此 $f$ 的不連續點至多可數。

這一次的內容是不是有點驚人地少……orz本辣雞太懶了……