電磁場的能量動量張量和電磁場與電荷系統相互作用的四維動量

04-23

本文主要有兩個內容：①導出電磁場的四維能量動量張量，有兩個方法，一種是利用諾特定理，這導出的是正則能量動量張量，不是對稱的；另一種是直接利用洛倫茲力密度來推導，本文採用這一種方法。②得到電磁場與帶電系統相互作用的能量動量張量，並且得到帶電粒子在電磁場中運動時的總的四維動量，它比自由的帶電粒子多了一個電磁場相互作用項。

1.電磁場的能量動量張量

四維的麥克斯韋方程如下

$partial_mu F^{mu u}=mu_0J^ u$ （1）

四維的洛倫茲力密度為

$f^ u=F^{ ulambda}J_lambda$ （2）

帶電系統和電磁場總的能動量守恆定律為

$partial_mu T^{mu u}+partial_mu T_m^{mu u}=0$

上式中，下標m表示帶電系統，或者說場源，第一項沒有下標的表示電磁場的能量動量張量，電磁場和場源的總能量動量是守恆的。洛倫茲力密度表示單位時間內，單位體積的場源從電磁場中獲得的四維動量，即洛倫茲力密度應當滿足

$f^ u=partial_mu T_m^{mu u}=-partial_mu T^{mu u}$ （3）

現在我們根據（3）式來推導電磁場的能量動量張量，利用（1）和（3）可得

$f^ u=frac{1}{mu_0}F^{ ulambda}partial_mu F^mu_lambda =frac{1}{mu_0}partial_mu (F^{ ulambda} F^mu_lambda)-frac{1}{mu_0}partial^mu F^{ ulambda} F_{mulambda}$ （4）

利用恆等式

$partial^mu F^{ ulambda}+partial^lambda F^{mu u}+partial^ u F^{lambdamu}=0$

方程（4）可變形為

$f^ u=frac{1}{mu_0}partial_mu (F^{ ulambda} F^mu_lambda)+frac{1}{mu_0}(partial^lambda F^{mu u}+partial^ u F^{lambdamu}) F_{mulambda}$

$Rightarrow f^ u=frac{2}{mu_0}partial_mu (F^{ ulambda} F^mu_lambda)-f^ u-frac{1}{2mu_0}partial^ u( F^{lambdamu}F_{lambdamu} )$

最後得到

$f^ u=frac{1}{mu_0}partial_mu (F^{ ulambda} F^mu_lambda)-frac{1}{4mu_0}partial^ u( F^{alphaeta}F_{alphaeta} )$

也就是

$f^ u=partial_mu[frac{1}{mu_0} F^{ ulambda} F^mu_lambda-frac{1}{4mu_0}eta^{mu u}F^{alphaeta}F_{alphaeta} ]$ （5）

對比（3）和（5）式，發現電磁場的能量動量張量為

$T^{mu u}=-frac{1}{mu_0} F^{ ulambda} F^mu_lambda+frac{1}{4mu_0}eta^{mu u}F^{alphaeta}F_{alphaeta}$ （6）

如果是無源的電磁場，則可以把 $F^{mu u}=partial^mu A^ u-partial^ u A^mu$ 代入（6）式的第一項，得到

$F^ u_lambda F^{mulambda}=F^{mulambda}partial^ u A_lambda-partial_lambda(F^{mulambda}A^ u)$

即此時的能量動量張量變為

$T^{mu u}=-frac{1}{mu_0}F^{mulambda}partial^ u A_lambda+frac{1}{4mu_0}eta^{mu u}F^{alphaeta}F_{alphaeta}+partial_lambda(frac{1}{mu_0}F^{mulambda}A^ u)$ （7）

上式的最後一項是一個全微分，並且關於（ $mu$ ， $lambda$ ）是反對稱的，自然滿足

$partial_mupartial_lambda(frac{1}{mu_0}F^{mulambda}A^ u)=0$

所以，可以重新定義一個自由電磁場的能量動量張量

$heta^{mu u}=-frac{1}{mu_0}F^{mulambda}partial^ u A_lambda+frac{1}{4mu_0}eta^{mu u}F^{alphaeta}F_{alphaeta}$ （8）

這就是利用諾特定理得到的自由電磁場的正則能量動量張量，可以看到在無源的情況下，（7）和（8）給出相同的電磁場總能量和總動量。

2.電磁場和帶電系統相互作用的能量動量張量

現在從（6）式的能量動量張量出發

$T^{mu u}=-frac{1}{mu_0} F^{ ulambda} F^mu_lambda+frac{1}{4mu_0}eta^{mu u}F^{alphaeta}F_{alphaeta}$ （6）

把 $F^{mu u}=partial^mu A^ u-partial^ u A^mu$ 代入（6）式的第一項，得到

$F^ u_lambda F^{mulambda}=F^{mulambda}partial^ u A_lambda-partial_lambda(F^{mulambda}A^ u)+partial_lambda F^{mulambda}A^ u$

利用有源的麥克斯韋方程，上式可變為

$F^ u_lambda F^{mulambda}=F^{mulambda}partial^ u A_lambda-partial_lambda(F^{mulambda}A^ u)-mu_0J^mu A^ u$

所以，（6）式變為

$T^{mu u}= heta^{mu u}+partial_lambda(frac{1}{mu_0}F^{mulambda}A^ u)+J^mu A^ u$ （9）

由於第二項是一個全微分，且關於（ $mu$ ， $lambda$ ）反對稱，它自然滿足 $partial_mupartial_lambda(frac{1}{mu_0}F^{mulambda}A^ u)=0$ ，並且對總能量和總動量沒有貢獻，我們可以將其略去，則（9）式變為

$T^{mu u}= heta^{mu u}+J^mu A^ u$ （10）

由於 $heta^{mu u}$ 為自由電磁場的能量動量張量，它可以給出自由電磁場總的四維動量，所以（10）式第二項應當解釋為電磁場和場源相互作用的能量動量張量，由它得出總的相互作用的四維動量為

$P_{int}^ u=frac{1}{c}int J^0 A^ u dV=int ho A^ u dV$ （11）

對於點粒子而言，積分號中的 $A^ u$ 可以提到積分號外，相互作用的四維動量為

$P_{int}^ u=qA^ u$ （12）

即帶電粒子在電磁場中運動時，會附加上一個相互作用的四維動量，總的四維動量為

$P^ u=m_0u^ u+qA^ u$ （13）