Wallis乘積中的π從何而來？（下）

04-23

先看上篇：

Solara570：Wallis乘積中的π從何而來？?

zhuanlan.zhihu.com

五、掃尾工作

1. 矩形的估計效果到底怎麼樣？

雖然這個問題需要嚴格討論，但是先留個直觀印象也無妨。要是你覺得只添加 $5$ 組矩形不夠的話，添加 $570$ 組總該夠了吧，這裡面可是足足有 $162735$ 個矩形呢！

外圍的灰色線條就是我們要估計的四分之一圓，內部的彩虹色圖案就是用超過十萬個矩形拼湊而成的，這個估計結果是不是已經非常好了？單從這個圖來看，添加的矩形越多，估計效果確實會越好。

回過頭再看看 $n=5$ 的情況，這個估計真是讓人糟心。

2. 圖看起來不錯，但是怎麼證明呢？

只是「看圖說話」沒有嚴謹性，不過這並不代表上面這張圖一點意義也沒有。正是因為它的邊緣粗糙，我們才能直接看到一條有趣的性質：所有綠色矩形的右上角全都在四分之一圓內部，而所有的藍色矩形的右上角全都在四分之一圓外部。

在上圖中，藍色部分是我們添加的最後一組矩形，而綠色部分是倒數第二組矩形。假設你已經添加了 $n$ 組矩形，並且以 $s_n$ 為半徑做出了四分之一圓，如此一來，這句話背後的含義就可以這樣解讀：

如果去掉最後一組矩形，整個圖形的面積就會變為 $n-1$ ；又因為倒數第二組矩形的右上角全部在圓內，所以四分之一圓包含了剩餘的矩形，也就是說 $frac{1}{4} pi s_n^2 > n-1$
如果在最外圍再加上一組矩形，整個圖形的面積就會變為 $n+1$ ；又因為原本最後一組矩形的右上角全部在圓外，所以新圖形包含了四分之一圓，也就是說 $frac{1}{4} pi s_n^2 < n+1$

下面的動畫說明了這條性質在 $n=5$ 時成立：

注意當n改變時，四分之一圓與矩形之間的關係

有了這個思路，我們就需要用數學語言來表達「矩形右上角」。

根據之前 $s_n$ 的定義，再配合適當的直角坐標系，我們可以給用二維坐標來表示「矩形右上角」這個概念。假設現在已經添加了 $n$ 組矩形，那麼最外圍兩組矩形的右上角就可以這樣表示：

最後一組矩形的右上角為 $(s_k, s_{n+1-k})$ ，其中 $1 leq k leq n$ ，特點是兩個坐標的 $s$ 角標之和為 $n+1$
倒數第二組矩形的右上角為 $(s_k, s_{n-k})$ ，其中 $1 leq k leq n-1$ ，特點是兩個坐標的 $s$ 角標之和為 $n$
最後提醒一下，四分之一圓的半徑是 $s_n$

還是用 $n=5$ 的例子進行說明，此時半徑是 $s_5$ ：

由於圓內的點到原點的距離小於半徑，而圓外的點到原點的距離大於半徑。根據勾股定理，我們實際上要證明的是：

$s_k^2 + s_{n-k}^2 < s_n^2 < s_k^2 + s_{n+1-k}^2$

只要證明了這個不等式成立，我們就證明了以 $s_n$ 為半徑的四分之一圓的面積至少是 $n-1$ ，至多是 $n+1$ ，因此四分之一圓的面積就位於區間 $(n-1, n+1)$ 內，從而為後續取極限提供支持。

該如何證明呢？我們看看從序列 ${ s_n }$ 上能不能找到突破口。

3. ${ s_n }$ 中的等式與不等式

(1) $s_{n+k}^2$ 與 $s_n^2$ 之間的關係

回顧一下 $s_n$ 的解析表達式：

$s_n = frac{3}{2} cdot frac{5}{4} cdots frac{2n-1}{2n-2}$

和 ${ a_n }$ 類似，序列 ${ s_n }$ 同樣存在遞推關係：

$s_{n+1} = s_{n} cdot frac{2n+1}{2n}$

高興了還可以多推幾項，順便整理一下：

$egin{aligned} s_{n+k} &= s_{n} cdot frac{2n+1}{2n} cdot frac{2n+3}{2n+2} cdots frac{2(n+k)-1}{2(n+k)-2} \[5pt] &= s_{n} cdot left( 1+frac{1}{2n} ight) cdot left( 1+frac{1}{2(n+1)} ight) cdots left( 1+frac{1}{2(n+k-1)} ight) end{aligned}$

為了構造上述不等式，兩邊再取平方：

$s_{n+k}^2 = s_{n}^2 cdot left( 1+frac{1}{2n} ight)^2 cdot left( 1+frac{1}{2(n+1)} ight)^2 cdots left( 1+frac{1}{2(n+k-1)} ight)^2$

這樣我們就找到了 $s_{n+k}^2$ 與 $s_n^2$ 之間的關係。注意後面乘上的因子都有同樣的形式。

(2) 一個引理

$s_{n+k}^2$ 與 $s_n^2$ 的關係中的因子很有趣，因為它們都是這樣的形式：

$left( 1+frac{1}{2m} ight)^2$

接下來我們稍微調整一下這個因子，讓 $s_{n+k}^2$ 與 $s_n^2$ 的關係式更容易化簡。

一方面，我們可以將這個因子縮小：

$left( 1+frac{1}{2m} ight)^2 = 1+ frac{1}{m} + frac{1}{4m^2} > 1+frac{1}{m} = frac{m+1}{m}$

另一方面，我們也可以將這個因子放大：

$left( 1+frac{1}{2m} ight)^2 = 1+ frac{1}{m} + frac{1}{4m^2} < 1+frac{1}{m} + frac{1}{m(m-1)} = frac{m}{m-1}$

只關註上述不等式的兩頭，我們就得到了：

$frac{m+1}{m} < left( 1+frac{1}{2m} ight)^2 < frac{m}{m-1}$

(3) 從等式到不等式

將剛才證明的不等式和 $s_{n+k}^2$ 與 $s_n^2$ 的關係式結合，先縮小：

$egin{aligned} s_{n+k}^2 &= s_{n}^2 cdot left( 1+frac{1}{2n} ight)^2 cdot left( 1+frac{1}{2(n+1)} ight)^2 cdots left( 1+frac{1}{2(n+k-1)} ight)^2 \[5pt] &> s_n^2 cdot frac{n+1}{n} cdot frac{n+2}{n+1} cdots frac{n+k}{n+k-1} \[5pt] &= s_n^2 cdot frac{n+k}{n} end{aligned}$

後放大：

$egin{aligned} s_{n+k}^2 &= s_{n}^2 cdot left( 1+frac{1}{2n} ight)^2 cdot left( 1+frac{1}{2(n+1)} ight)^2 cdots left( 1+frac{1}{2(n+k-1)} ight)^2 \[5pt] &< s_n^2 cdot frac{n}{n-1} cdot frac{n+1}{n} cdots frac{n+k-1}{n+k-2} \[5pt] &= s_n^2 cdot frac{n+k-1}{n-1} end{aligned}$

為了避免和前面的 $n$ 混淆，我們把 $n$ 和 $k$ 改成 $i$ 和 $j$ ，總結起來就是一個不等式：

$s_i^2 cdot frac{i+j}{i} < s_{i+j}^2 < s_i^2 cdot frac{i+j-1}{i-1}$

(4) Finally...

先使用左邊的不等號，選擇合適的 $i$ 和 $j$ ：

$s_{i+j}^2 > s_i^2 cdot frac{i+j}{i} Rightarrow left{ egin{aligned} & s_{color{red}{k}+color{blue}{(n-k)}}^2 > s_color{red}{k}^2 cdot frac{color{red}{k}+color{blue}{(n-k)}}{color{red}{k}} &Rightarrow quad &s_{color{red}{k}}^2 < frac{color{red}{k}}{n} s_n^2 \[5pt] & s_{color{red}{(n-k)}+color{blue}{k}}^2 > s_color{red}{n-k}^2 cdot frac{color{red}{(n-k)}+color{blue}{k}}{color{red}{n-k}} &Rightarrow quad &s_{color{red}{n-k}}^2 < frac{color{red}{n-k}}{n} s_n^2 end{aligned} ight.$

兩個不等式相加得到：

$s_n^2 > s_k^2 + s_{n-k}^2$

另一邊同理，這裡不再展開。總之，我們花了很長的篇幅，終於證明了這個不等式：

$s_k^2 + s_{n-k}^2 < s_n^2 < s_k^2 + s_{n+1-k}^2$

按照我們之前的討論，這實際上就等價於：

$n-1 < frac{1}{4} pi s_n^2 < n+1$

除以 $n$ ，再根據夾逼定理，我們就得到了重要的極限：

$lim_{n o infty} frac{pi s_n^2}{4n} = 1$

參考資料（全篇）

Wallis乘積的初等證明方法

這個證明是數學家Johan W?stlund提出的，用矩形去逼近圓的幾何構造方法就來自這篇文獻。
在《數學譯林》2015年第1期上可以找到它的譯文《π的Wallis乘積公式的一個初等證明》

Aba Mbirika關於隨機行走和Wallis乘積的講義

這個講義中詳細解釋了為什麼用一系列矩形構造的圖形可以逼近一個四分之一圓。

Donald Knuth在斯坦福的講座「Why Pi?」

很有趣的lecture，值得一聽。

Random Walks and Catalan Factorization

這篇文獻中提到了Edward Nelson證明一維隨機行走中「正點到家」和「不經過家門」的路徑數相同的方法。

Caltech數學系的關於隨機行走的一個講座

其中16.5的Main Lemma同樣涉及不同類路徑數目相同的證明，而且也使用了時間-位置圖像。

本文封面以及所有配圖均由3Blue1Brown的數學動畫引擎manim製作而成