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證明Weierstrass逼近定理的三種途徑（一）

04-23

這篇文章介紹一下關於Weierstrass逼近定理的三種不同的證明方法。三種方法分別來自三種不同的方向，分別是：調和分析，實分析&概率論，拓撲。其中拓撲的方法是最好的可以把該定理推廣到一般情形即Stone-Weierstrass定理。調和分析和概率論的方法則更偏技術性，構造性。

Weierstrass:

任何定義在 $[a,b]$ 上的實連續函數 $f$ ，任何 $varepsilon >0$ 都存在一個多項式 $p(x)$ 使得

$sup_{x} left| f(x)-p(x) ight|<varepsilon$ $xin [a,b]$

即C[a,b]上的任何函數都已被多項式函數一致逼近，或者從拓撲的角度來看就是，P[a,b]是C[a,b]的稠密子空間，進一步可以說明C[a,b]是可分的（即P[a,b]可數）。這裡P[a,b]代表定義在[a,b]上的多項式函數空間。

調和分析的方法(參考Stein 1 Chapter 5)

Def 1:

具有以下三個性質的含參數函數族叫做good kernel

$int_{-infty }^{+infty } K_{delta } (x) dx =1$

$int_{-infty }^{+infty } left| K_{delta } (x) ight| dx leq M$

對任意 $eta >0$ , $int_{|x|>eta }^{} left| K_{delta } (x) ight| dx ightarrow 0$ 當 $delta ightarrow 0$

lemma 1:

$left{ delta ^{-1/2} e^{-pi x^{2}/delta } ight} ,delta >0$ 是good kernel

lemma 2:

$f$ 是定義上具有緊支集M的連續函數，則當 $delta ightarrow 0$ 時， $(f*K_{delta } )(x)$ 一致趨近於 $f(x)$

其中 $K_{delta }(x)$ 是good kernel

proof:

$|(f*K_{delta } )(x)-f(x)|leq int_{|t|>R}^{}+int_{|t|leq R}^{} K_{delta }^{} (t)|f(x-t)-f(x)| dtleq varepsilon$

其中 $f$ 的緊支集被包含在區間[-R,R]中，又由good kernel 積分有界的性質可知不等式右邊第一項為0.右邊第二項在緊支集M上面函數 $f$ 一致連續，因此可以任意小。

Q.E.D

第一個證明：

令[-M,M]是任意一個包含區間[a,b]的區間，並定義連續函數 $g(x)$ .g(x)以[-M,M]為支集，並且當 $g(x)$ 限制在[a,b]上時是等於 $f(x)$ 的。

令 $K_{delta}(x)= delta ^{-1/2} e^{-pi x^{2}/delta }$ ，由 lemma 2 可知，任意 $varepsilon >0$ ,存在 $delta _{0}$ 使得 $|g(x)-(g*K_{delta _{0} }^{} )|<varepsilon /2$
用 $R(x)$ 表示 $K_{delta}(x)$ Taylor級數的前N項，即 $delta _{0}^{-1/2} sum_{n=0}^{N}{frac{(-pi x^{2}/delta _{0} )^{n} }{n!} }$ ，則任意 $varepsilon >0$ 有N使得

$|K_{delta _{0} } (x)-R(x)|leq frac{varepsilon }{4MB}$

3. $|(g*K_{delta _{0} } )(x)-(g*R)(x)|leq int_{-M}^{M}|g(t)||K_{delta _{0} }(x-t)-R(x-t) |dt$

$leq 2MBsup_{z}|K_{delta _{0} }(z)-R(z) |<varepsilon /2$ $zin [-2M,2M]$

綜合以上三段由三角不等式可知 $|f-(g*R)(x)|<varepsilon$

由於 $R(x-t)=sum_{n}^{}{a_{n}(t)x^{n} }$ 是多項式，於是卷積 $(g*R)(x)$ 也是多項式。

Q.E.D

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