微積分思想釋疑小時候的困惑--圓柱圓錐體積比為啥是3..... 能不能別耍流氓啊,人家只是個孩子......

微積分思想釋疑小時候的困惑--圓柱圓錐體積比為啥是3..... 能不能別耍流氓啊,人家只是個孩子......

【輕鬆一刻---------耍流氓的數學】

車輪在地上旋轉一圈的過程中，車輪圓周上的某一點划過的曲線就叫做「旋輪線」。在數學和物理中，旋輪線都有著非常重要而優美的性質。比如說，一段旋輪線下方的面積恰好是這個圓的面積的三倍。這個結論最早是由伽利略發現的。不過，在沒有微積分的時代，計算曲線下方的面積幾乎是一件不可能完成的任務。伽利略是如何求出旋輪線下方的面積的呢？他的方法簡單得實在是出人意料：它在金屬板上切出旋輪線的形狀，拿到秤上稱了稱，發現重量正好是對應的圓形金屬片的3倍。在試遍了各種數學方法卻都以失敗告終之後，伽利略果斷地耍起了流氓，用物理實驗的方法測出了圖形的面積。

【小學教材也在耍流氓---悲劇的小明】

有個敢於質疑的同學小明就疑問了?實驗不都有誤差的嗎,為什麼一定是3,而不是3.1,2.9,3.0001呢,因為3看著整齊嗎?

或者會不會是π啊,3.1415....,π也很有可能啊,偏差一點就是π了啊,而且圓柱,圓錐都和圓有關,和π關係也很大啊,會不會真是π啊?

但是如果小明提出了自己的疑問,也許回得到一句"小明你又來搗亂了!小明你給我滾滾滾......."的悲劇結局,想來真是悲劇啊......

就這麼一個簡單的可能帶有誤差的實驗,就能得出這麼嚴格的結論?你服嗎?不管你服不服,反正我是不服.......

所以才需要嚴格論證,數學是需要嚴密性的,不能這麼耍流氓.不好意思,我可從來沒聽說過數學是一門以實驗為基礎的科學,實驗頂多只是輔助驗證,

不能用來證明,否則就是耍流氓了.不廢話了,開證吧.............

【幾何證明--反正我是沒有看下去的慾望】

(出處:邵百成--圓錐體積,圓柱體積之間關係的幾何論證)

看看這幾何證明,估計大部分的人,看了這輔助線,結構構造都沒有繼續看下去的慾望了吧。如果一個東西用了很多意想不到的技巧,搞得非常複雜,玄之又玄,相信除了部分專業人士,大部分人都是望而卻步的,畢竟這玩意估計看也看不懂,

廢了九牛二虎之力看懂了,對自己也沒什麼幫助,馬上忘個精光,將來永遠用不上........還沒開始看就已經失去了進一步領略數學之美的興趣.

那麼有沒有簡單,自然一點,很好理解的,又是嚴格的證明呢?當然有,下面有請微積分出場為大家解答............

【微積分的偉大思想】

大千世界,繁雜異常,作為其中的人類,我們的工具,精力有限,只能處理一部分簡單的東西.比如我們只能解4次及以下的一元n次方程,只能解很少的某幾個固定類型的微分方程.........,而對於面積體積,,我們一開始只能計算矩形,三角形,梯形等簡單線段構成的簡單圖形面積,對於一大波曲線型的,是無能為力的,只能望洋興嘆.但人類總得進步啊,社會總的發展啊,問題總得解決吧,你看或不看,問題就在哪裡,不滅不完......

經過了漫長的摸索,人類終於想到了解決的辦法----想辦法化為已知的情形來求解.我們不是就知道直線的情況嗎,那好,把曲線分割為直線來近似求解啊.什麼,你說有誤差?別擔心,有高端霸氣的夾逼定理護航,沒問題的.只要分的足夠小了,曲線也可以近似為直線來出來,最後把小份的結果累積起來就解決了問題.把曲的分解成小的直的,以直代曲的過程就是微分的思想,把小的直的結果累積起來的過程就是積分的思想,此就是所謂的微積分思想也,化曲為直,把未知化為已知,真是化腐朽為神奇的妙著，真是太偉大了！

【基本思想--超簡單有木有】

如果是微積分來解決這個問題,那就太簡單了.

基本思想,把圓錐分成n等分,把每一小片都看成是一個小圓柱

然後把每個小圓柱的體積相加,再對n取極限,就可以得到圓錐的體積公式

【核心推導過程】

如圖所示，設DE是第i個圓柱體的半徑，則由三角形相似關係

看吧果然就是1/3,這才是毫無疑問的令人信服的解釋

稱重,倒水,裝沙子啥的都是耍流氓...........

【再次膜拜偉大的微積分思想】

神鵰俠侶中劍魔獨孤求敗的第三把武器：「重劍無鋒，大巧不工。四十歲前恃之橫行天下。」「重劍無鋒」指的是笨重的、沒有鋒刃、很重的劍，即使它沒有開刃，並不鋒利，但是使用它的人有極大的力量，也是可以有極大的殺傷力。「大巧不工」指的是沒有經過精心打造，讓其自然。比喻大智慧實際上並不是我們平時所理解的靈巧的設計，計算。其實其所指的道理就是順其自然。

微積分的這種解決問題的思路正是重劍無鋒,大巧不工的典範,沒有什麼花里胡哨,玄之又玄的花招,一招一式看似普普通通平淡無奇,然而卻是最自然最實用的大招.在這個圓錐問題中,沒有做任何多餘的輔助線,只是一個簡單的一個分解,近似,累積,求極限,就完成了問題的解答,而且這種思路對其他的函數圖像求面積,幾何面積,體積等等一大波問題也有著同樣的處理,思路解法幾乎都一致,一通全通,一了百了,真有一勞永逸,穩賺不賠的快感.這才是數學的魅力,真正的數學之美......................