分析和代數原理(4)

04-22

拓撲空間

稱非空集合 $X$ 的拓撲 $mathcal{T}$ 是 $X$ 的一個子集族，若(1) $X,emptysetinmathcal{T}$ (2) $mathcal{T}$ 中任意集合的並集是 $mathcal{T}$ 中的集合 (3) $mathcal{T}$ 中有限多個集合的交集是 $mathcal{T}$ 中的集合。稱定義了拓撲 $mathcal{T}$ 的集合 $X$ 是拓撲空間，記作 $(X,mathcal{T})$ 。在明確 $X$ 上的拓撲之後，就可以簡記為拓撲空間 $X$ ，而默認它的拓撲。

從現在開始，有時會稱集合中的元素是一個點。 $X$ 是拓撲空間，稱 $X$ 的任意子集 $O$ 是開集，此時若點 $pin O$ ，則稱 $O$ 是 $p$ 的鄰域；同樣若 $Vsubset O$ 則稱 $O$ 是 $V$ 的鄰域。稱 $Csubset X$ 是閉集，若 $Xackslash C$ 是開集。稱 $X$ 的開子集族 $mathfrak{B}$ 是一個拓撲基，若 $forall Uin mathcal{T}$ 是 $mathfrak{B}$ 中一些開集的並集。稱拓撲空間 $X$ 是一個Hausdorff空間，若任意不同兩點有不相交鄰域。

設 $f : X o Y$ 是從具有拓撲基 $mathfrak{B}=left{ B_i ight}$ 的拓撲空間 $X$ 映到拓撲空間 $Y$ 的映射。稱 $Ain Y$ 是 $f : X o Y$ 關於 $mathfrak{B}$ 的極限，記作 $lim_{mathfrak{B}}{f(x)}=A$ ，若任意鄰域 $forall O(A)subset Y$ ， $exists Bin mathfrak{B}$ 使 $f(B)subset O(A)$ 。稱從拓撲空間 $(X,mathcal{T}_X)$ 映到 $(Y,mathcal{T}_Y)$ 的映射 $f : X o Y$ 在點 $xin X$ 連續，若 $forall O(f(x))subset Y$ ， $exists O(x)subset X$ 使 $f(O(x))subset O(f(x))$ 。若 $forall xin X$ ， $f$ 都連續，則稱 $f$ 是 $X$ 上的連續映射。

定理 $f : X o Y$ 是拓撲空間 $(X,mathcal{T}_X)$ 映到 $(Y,mathcal{T}_Y)$ 的映射，那麼 $f$ 在 $X$ 上連續當且僅當 $Y$ 中任意閉集的原像是 $X$ 中閉集。

換句話說，上述定理說明連續映射把閉集映成閉集，同樣，開集映成開集。類似於同構，針對與拓撲空間，我們有同胚：稱兩個拓撲空間 $X$ 和 $Y$ 同胚，若它們之間可以建立同胚映射 $f : X o Y$ ，其中 $f$ 是連續的雙射，且 $f^{-1}$ 也連續。由於建立了同胚映射的拓撲空間之間，開集和閉集分別相互一一對應，從而相當於兩空間上給出的是相同的拓撲。

對於複合映射，有下面兩個命題。

命題 拓撲空間 $X$ 和 $Y$ 分別有拓撲基 $mathfrak{B}_X$ 和 $mathfrak{B}_Y$ ，且映射 $f : X o Y$ 滿足 $forall B_Yinmathfrak{B}_Y$ ， $exists B_Xin mathfrak{B}_X$ 使 $f(B_X)subset B_Y$ ，而映射 $g : Y o Z$ 關於 $mathfrak{B}_Y$ 有極限， $Z$ 是拓撲空間，那麼複合映射的極限 $lim_{mathfrak{B}_X}{(gcirc f)(x)}$ 存在並且 $lim_{mathfrak{B}_X}{(gcirc f)(x)}=lim_{mathfrak{B}_Y}{g(y)}$ 。

命題 拓撲空間 $X,Y,Z$ 間有映射 $f: X o Y$ 和 $g:Y o Z$ ，若 $Y$ 在 $yin Y$ 連續， $X$ 在 $xin X$ 連續且 $f(x)=y$ ，那麼 $gcirc f :X o Z$ 在 $xin X$ 連續。

現在引入緊集的概念。稱一個開集族 $mathcal{O}=left{ O_i ight}$ 是集合 $U$ 的開覆蓋，若 $Usubsetigcup_{i}O_i$ ；若能夠選出有限多個開集 $O_jin mathcal{O}$ ，使 $Usubsetigcup_{j}O_j$ ，則稱開集族 $left{ O_j ight}$ 是 $mathcal{O}$ 的有限子覆蓋。稱拓撲空間 $X$ 的子集 $Ksubset X$ 是緊集，若 $K$ 的任意開覆蓋存在有限子覆蓋。若 $X$ 本身也是緊集，則稱拓撲空間 $X$ 是緊的。

引理(Heine-Borel) 若 $K$ 是Hausdorff空間 $X$ 中的緊集，那麼 $K$ 是閉集。

引理(Cauchy-Cantor) 若 $K_1supset K_2 supsetcdotssupset K_nsupsetcdots$ ，其中 $K_i$ 是緊集，那麼 $igcap_{i=1}^{infty}K_i$ 非空。

上述兩個引理是所謂「實數系六大定理」的其中二者的拓撲描述。

定理 拓撲空間之間的連續映射，使緊集的像是緊集。

這個定理直接給出了：

命題(Weierstrass) 從拓撲緊集 $K$ 映到實數的連續映射 $f:K omathbb{R}$ 在 $K$ 中可以取到最大值 $sup f(K)in f(K)$ 和最小值 $inf f(K)in f(K)$ 。

一般，在討論實數的拓撲性質時，是把實數看做度量空間，它的開集就是開球。

稱拓撲空間 $X$ 是連通的，若 $mathcal{T}$ 中除了 $X$ 和 $emptyset$ 沒有其他既開又閉集。稱 $mathcal{S}$ 是子集 $Asubset X$ 上由 $mathcal{T}$ 導出的誘導拓撲，若 $mathcal{S}=left{ Usubset A|exists Oin mathcal{T},U=Acap O ight}$ 。稱 $(A,mathcal{S})$ 是 $(X,mathcal{T})$ 誘導拓撲定義的拓撲子空間。稱 $Usubset X$ 是連通集，若它作為誘導拓撲定義的拓撲子空間是連通的。

命題 非空集合 $Usubset mathbb{R}$ 是連通集，當且僅當 $forall x,zin U,exists yin mathbb{R},(x<y<z)Rightarrow(yin U)$ 。

命題 從連通拓撲空間映到拓撲空間的連續映射，使映射的像是連通集。

度量空間

稱 $d : X imes X o X$ 是集合 $X$ 上的度量，並稱 $(X,d)$ 是一個度量空間，若 $forall x,y,zin X$ ，(1) $(d(x,y)=0)Leftrightarrow(x=y)$ (2) $d(x,y)=d(y,x)$ (3) $d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)$ 。

稱 $B(x_{0},r)subset X$ 是開球，或 $x_{0}$ 的 $r$ 鄰域，若 $B(x_{0},r)=left{xin X|d(x_{0},x)<r ight}$ 。稱 $Usubset X$ 是開集，若 $forall xin U,exists B(x,r),B(x,r)subset U$ 。稱開集 $O(x)subset X$ 是 $x$ 的一個鄰域，若 $xin O(x)$ 。稱 $Usubset X$ 是閉集，若 $Xackslash U$ 是開集。可以驗證，度量空間中的緊集都是閉集。在度量空間中，拓撲基一般就採用開球的集合。

稱度量空間 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 是等距的，如果有等距映射 $f :X o Y$ 使 $forall x_1,x_2in X$ ， $d_Y(f(x_1),f(x_2))=d_X(x_1,x_2)$ 且 $f$ 是雙射。類似於同構和同胚，兩個等距的度量空間本質上是一樣的。

稱拓撲空間 $(X,mathcal{T})$ 是可度量化的，若存在度量 $d$ 使 $(X,d)$ 中的開集和 $(X,mathcal{T})$ 的開集一致。稱拓撲空間中的一個拓撲基是可數基，若它和 $mathbb{N}$ 等勢；此時稱拓撲空間是第二可數的。稱拓撲空間是正規的，若它的任意兩個不相交閉集有不相交鄰域。

定理(Urysohn) 第二可數正規Hausdorff拓撲空間可度量化。

這個定理，使得我們可以在性質良好的拓撲空間上定義度量，從而拓撲空間上的一切定義和結論都可轉移到度量空間上。

稱 $xin X$ 是 $Usubset X$ 的內點，若 $exists B(x,r),B(x,r)subset U$ ；外點，若 $x$ 是 $Xackslash U$ 的內點；邊界點，若 $x$ 既不是 $U$ 的內點也不是外點。稱 $xin Usubset X$ 是 $U$ 的極限點，或聚點，若 $forall O(x)$ ， $Ucap O(x)$ 是無窮集。稱 $Usubset X$ 和它在 $X$ 中所有極限點的集合是 $U$ 的閉包，記作 $overline{U}$ 。

稱 $omega(f,U)=sup_{x_1,x_2in U}d(f(x_1),f(x_2))$ 是 $f : X o Y$ 在 $Usubset X$ 上的振幅。

定理(Cauchy) $f : X o Y$ 是從具有拓撲基 $mathfrak{B}$ 的拓撲空間 $X$ 映到完備度量空間 $(Y,d)$ 的映射，那麼 $f$ 關於 $mathfrak{B}$ 有極限，當且僅當 $forall varepsilon>0$ ， $exists Bin mathfrak{B}$ 使 $omega(f,B)<varepsilon$ 。

稱 $mathrm{diam}U=sup_{x_1,x_2in U} d(x_1,x_2)$ 是度量空間子集 $U$ 的直徑。上述Cauchy定理的直接推論是下述的：

命題度量空間 $X$ 和 $Y$ 之間的映射 $f : X o Y$ 在點 $xin X$ 連續，當且僅當 $omega(f,x)=0$ 。其中 $lim_{mathrm{diam}O(x) o0}{omega(f,O(x))}=omega(f,x)$ ，拓撲基是 $mathrm{diam}O(x) o0$ 時的任一 $x$ 的鄰域族。

關於連續點處的像集的直徑，有如下命題，它說明像是有界集：

命題 拓撲空間到度量空間的映射 $f:X o Y$ 在 $xin X$ 連續，那麼 $exists O(x)$ 使 $mathrm{diam}f(O(x))in mathbb{R}$ 。

稱從 $mathbb{N}$ 映到拓撲空間 $X$ 的映射是一個點列(或序列，數列等)，通常把這一些可數的點的集合記成 $left{ x_n ight}$ 。從點列 $left{ x_n ight}$ 中任意選出一些點，按原來的順序排列，構成新的點列 $left{ x_{n_k} ight}$ ，稱 $left{ x_{n_k} ight}$ 是 $left{ x_n ight}$ 的一個子列。稱拓撲空間 $X$ 中的點列 $left{ x_n ight}$ 收斂於 $Ain X$ ，若 $forall O(A),exists Ninmathbb{N}$ 使 $forall n>N$ ， $x_nin O(A)$ 。稱度量空間 $X$ 中的點列 $left{ x_n ight}$ 收斂於 $Ain X$ ，若 $forall varepsilon>0，exists Nin mathbb{N}$ ，使 $forall n>N$ ， $d(x_n,A)<varepsilon$ ，記作 $lim_{{n oinfty}}{d(x_n,A)}=0$ 。

命題 度量空間 $(K,d)$ 是緊的，當且僅當任意 $mathbb{N}$ 到 $K$ 的點列有收斂到 $K$ 中的子列。

稱度量空間 $X$ 中的點列 $left{ x_n ight}$ 是基本列，若 $forall varepsilon>0,exists Nin mathbb{N}$ ，使 $forall m,nin mathbb{N}$ ， $d(x_m,x_n)<varepsilon$ 。稱度量空間 $(X,d)$ 是完備度量空間，若 $X$ 中每個基本列都收斂。稱 $Dsubset X$ 是拓撲空間中的稠密集，若 $forall xin X,forall O(x)subset X$ ，集合 $Dcap O(x)$ 非空，其中 $O(x)$ 是 $x$ 的鄰域。稱度量空間 $(X_1,d_1)$ 是 $(X,d)$ 的子空間，若 $X_1subset X$ ，且 $forall x_1,x_2in X_1$ ， $d_1(x_1,x_2)=d(x_1,x_2)$ 。稱完備度量空間 $(Y,d_Y)$ 是度量空間 $(X,d_X)$ 的完備化空間，若 $Y$ 中有稠密的子空間與 $X$ 等距。

命題 任意度量空間都有完備化空間。

稱度量空間 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 之間的映射 $f:Xsupset U o Y$ 在 $U$ 上一致連續，若 $forall varepsilon>0,existsdelta>0$ 使 $forall x_1,x_2in U,d_X(x_1,x_2)<delta$ 滿足 $d_Y(f(x_1),f(x_2))<varepsilon$ 。

命題 若映到度量空間上的映射 $f:K o X$ 在度量空間的緊子集 $K$ 上連續，則它在 $K$ 上一致連續。